2019屆高考數(shù)學二輪復習專題--三角函數(shù)（有答案）與2019屆高考數(shù)學二輪復習專題--導數(shù)與函數(shù)綜合問題（帶答案）

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2019 屆高考數(shù)學二輪復習專題 --三角函數(shù)（有答案）與 2019 屆高考數(shù)學二輪復習專題 --導數(shù)與函數(shù)綜合問題（帶答案）2019 屆高考數(shù)學二輪復習專題-- 三角函數(shù)（有答案）1．三角函數(shù)的圖象，主要涉及圖象變換問題以及由圖象確定解析式問題，主要以選擇題、填空題的形式考查；2．利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域、單調(diào)區(qū)間等，主要以解答題的形式考查；3．三角函數(shù)的化簡與求值是高考的命題熱點，其中同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導公式是解決計算問題的工具，三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進行變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心．1．常用三種函數(shù)的圖象性質(zhì)(下表中 )函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x圖象 遞增區(qū)間 遞減區(qū)間 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)對稱中心 對稱軸 x＝ kπ＋x＝kπ 周期性 2π 2π π2．三角函數(shù)的常用結(jié)論(1)y＝Asin(ωx＋φ)，當 φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)；當 φ＝kπ＋ ( )時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由 ωx＋φ＝kπ＋ ( )求得．(2)y＝Acos(ωx＋φ)，當 φ＝kπ＋ (k∈Z)時為奇函數(shù)；當 φ＝kπ(k∈Z) 時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由 ωx＋φ＝kπ( )求得．(3)y＝Atan(ωx ＋φ) ，當 φ＝kπ( )時為奇函數(shù)．3．三角函數(shù)的兩種常見變換(1)y＝sin xy＝ sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．y＝ Asin(ωx＋φ)(A ＞0 ， ω＞0)．4．三角函數(shù)公式(1)同角關(guān)系：sin2α ＋cos2α＝1， ．(2)誘導公式：對于“ ， 的三角函數(shù)值”與“α 角的三角函數(shù)值 ”的關(guān)系可按下面口訣記憶：奇變偶不變，符號看象限．(3)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：；；．(4)二倍角公式： ， ．(5)輔助角公式：asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x ＋φ)，其中 ．熱點一 三角函數(shù)的圖象【例 1】(1) (2018?清流一中)已知函數(shù) ，（1）用 “五點法”作出這個函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象；（2）函數(shù) 圖象經(jīng)過怎樣的變換可以得到 的圖象？(2)函數(shù) f(x)＝ Asin(ωx＋φ) 的部分圖象如圖所示，則函數(shù) f(x)的解析式為( )A． B．C． D．(1)解 (1)列表0 2 0 0 2【注：列表每行 1 分，該行必須全對才得分；圖象五點對得 1 分，圖象趨勢錯扣 1 分 】（2）把 的圖象向左平移 個單位得到 的圖象，再把 的圖象縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2 倍得到 的圖象，最后把 的圖象橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?2 倍，得到 的圖象．(2)由 (1)知 ，根據(jù)圖象平移變換，得 ．因為 y＝sin x 的對稱中心為 ， ．令 2x＋2θ－ ＝kπ， ，解得 ， ．由于函數(shù) y＝ g(x)的圖象關(guān)于點 成中心對稱，令 ， ，解得 ， ．由 θ0 可知，當 k＝1 時，θ 取得最小值 ．(2)解析 (1)由題意知 A＝ 2， ，ω＝2，因為當 時取得最大值 2，所以 ，所以 ， ，解得 ， ，因為|φ|0，ω0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求 A；由函數(shù)的周期確定 ω；確定 φ常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置．【訓練 1】(1) (2018?孝感期末)已知函數(shù) ， ，的圖像在 軸上的截距為 1，且關(guān)于直線 對稱．若對于任意的 ，存在 ，使得 ，則實數(shù) 的取值范圍為______．(2)(2017?貴陽調(diào)研 )已知函數(shù) f(x)＝Asin(ωx＋φ)( ， ， )的部分圖象如圖所示．①求函數(shù) f(x)的解析式；②將函數(shù) y＝ f(x)的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的 12 倍，再把所得的函數(shù)圖象向左平移 π6 個單位長度，得到函數(shù) y＝g(x)的圖象，求函數(shù) g(x)在區(qū)間 0，π8 上的最小值．解析(1)因為 的圖像在 軸上的截距為 1，且關(guān)于直線 對稱，所以 ， ，又 ， ，所以 ， ，所以 ， ，所以 ， ， ， ，因為 ， ，所以 ，若對于任意的 ，存在 ，使得 ，則 ，所以 ，解得 ，所以實數(shù) m 的取值范圍為 ，答案為 ．答案(2)解 ①設(shè)函數(shù) f(x)的最小正周期為 T，由題圖可知A＝1 ，T2＝ 2π3－π6 ＝π2，即 T＝ π，所以 π＝2πω，解得 ω＝2，故 f(x)＝sin(2x＋φ) ．由 0＝ sin2×π6＋φ 可得 π3＋φ ＝2kπ， ，則 φ＝2kπ－π3，k∈Z，因為 |φ|＜π2，所以 φ＝－π3 ，故函數(shù) f(x)的解析式為 f(x)＝sin2x－π3．②根據(jù)條件得 g(x)＝sin4x＋π3，當 x∈0，π8 時，4x＋π3∈π3，5π6 ，所以當 x＝π8 時，g(x)取得最小值，且 g(x)min＝ 12．熱點二 三角函數(shù)的性質(zhì)【例 2】(2018? 哈爾濱三中 )已知函數(shù) 的圖象與 軸的交點為 ，它在 軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為 和 ．（1）求 解析式及 的值；（2）求 的單調(diào)增區(qū)間；（3）若 時，函數(shù) 有兩個零點，求實數(shù) 的取值范圍．解（1）由題意知， ， ，∴ ，∴ ；又∵ 圖象過點 ，∴ ，∴ ；又∵ ， ∴ ； ∴ ；又∵ 是 在 軸右側(cè)的第 1 個最高點，∴ ，解得 ．（2）由 ，得 ，∴ 的單調(diào)增區(qū)間為 ；（3）∵在 時，函數(shù) 有兩個零點，∴ 有兩個實數(shù)根，即函數(shù)圖象有兩個交點．∴ 在 上有兩個根，∵ ， ∴ ，∴結(jié)合函數(shù)圖象，函數(shù) 有兩個零點的范圍是 ．∴ ．探究提高 1．討論三角函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對稱性，都必須首先利用輔助角公式，將函數(shù)化成一個角的一種三角函數(shù)．2．求函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的單調(diào)區(qū)間，是將 ωx＋φ 作為一個整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間) ，求出的區(qū)間即為 y＝Asin(ωx ＋φ)的增區(qū)間(或減區(qū)間 )，但是當 A＞0，ω＜0 時，需先利用誘導公式變形為y＝－ Asin(－ωx－φ)，則 y＝Asin( －ωx－φ)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間．【訓練 2】(2017? 浙江卷 )已知函數(shù) f(x)＝sin2x－cos2x－23sin xcos x(x∈R)．(1)求 f 2π3 的值；(2)求 f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．解 (1)f(x)＝sin2x－cos2x－23sin xcos x＝－cos 2x－3sin 2x＝－2sin2x＋π6，則 f 2π3＝－2sin4π3 ＋π6＝2．(2)f(x)的最小正周期為 π．由正弦函數(shù)的性質(zhì)，令 2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z ，得 kπ＋ π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z．所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 kπ＋π6 ，kπ＋2π3，k∈Z．熱點三 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例 3】(2017? 西安調(diào)研 )已知函數(shù) f(x)＝2sin ωxcos ωx＋23sin2ωx－3(ω0)的最小正周期為 π．(1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．(2)將函數(shù) f(x)的圖象向左平移 π6 個單位，再向上平移 1 個單位，得到函數(shù)y＝ g(x)的圖象，若 y＝g(x)在[0，b](b0)上至少含有 10 個零點，求 b 的最小值．解 (1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋3(2sin2ωx －1)＝sin 2ωx－3cos 2ωx＝2sin2ωx－π3．由最小正周期為 π，得 ω＝1，所以 f(x)＝2sin2x－π3，由 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2， ，整理得 kπ－π12≤x≤kx＋5π12， ，所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 kπ－π12 ，kπ＋5π12， ．(2)將函數(shù) f(x)的圖象向左平移 π6 個單位，再向上平移 1 個單位，得到 y＝2sin 2x＋1 的圖象；所以 g(x)＝2sin 2x＋1．令 g(x)＝0 ，得 x＝kπ ＋7π12 或 x＝kπ＋11π12( )，所以在[0，π]上恰好有兩個零點，若 y＝g(x)在[0，b]上有 10 個零點，則 b 不小于第 10 個零點的橫坐標即可．所以 b 的最小值為 4π＋11π12＝59π12．探究提高 1．研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是將函數(shù)化為y＝ Asin(ωx＋φ)＋B(或 y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正余弦函數(shù)與復合函數(shù)的性質(zhì)求解．2．函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期 T＝2π|ω|．應(yīng)特別注意 y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期為 T＝π|ω|．【訓練 3】 函數(shù)的性質(zhì)通常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等，請選擇適當?shù)奶骄宽樞?，研究函?shù) 的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上填寫下表，作出 在區(qū)間 上的圖象．性質(zhì) 理由 結(jié)論 得分定義域 值域 奇偶性 周期性 單調(diào)性 對稱性 作圖解∵1-sinx≥0 且 1+sinx≥0，在 R 上恒成立，∴函數(shù)的定義域為 R；∵ ，∴由 |cosx|∈[0，1]，f2 （x）∈[2，4]，可得函數(shù)的值域為[√2，2]；∵ ， ∴函數(shù)的最小正周期為 π，∵當 時， ，在 上為減函數(shù)，當 時， ，在 上為增函數(shù)，∴ 在 上遞增，在 上遞減 ，∵ ，且 ，∴ 在其定義域上為偶函數(shù)，結(jié)合周期為 π 得到圖象關(guān)于直線 對稱，因此，可得如下表格：性質(zhì) 理由 結(jié)論 得分定義域 定義域值域 值域奇偶性 偶函數(shù) 周期性 周期單調(diào)性 在 上遞增，在 上遞減對稱性 f（-x）=f（x）， ，…關(guān)于直線 x=kπ/2 對稱作圖 熱點四 三角恒等變換及應(yīng)用【例 4】(1)(2015?重慶卷 )若 tan α＝2tan π5，則 cosα－3π10sinα－π5＝( )A．1 B．2 C．3 D．4解析cosα－3π10sinα－π5 ＝sinπ2＋α－3π10sinα－ π5＝sinα＋π5sinα －π5 ＝sin αcosπ5＋cos αsinπ5sin αcosπ5－cos αsinπ5＝tan αtanπ5＋1tan αtanπ5－1＝2 ＋12 －1 ＝3．答案 C．探究提高 1．三角恒等變換的基本思路：找差異，化同角( 名)，化簡求值．2．解決條件求值問題的三個關(guān)注點(1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來表示未知角．(2)正確地運用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示．(3)解三角函數(shù)中給值求角的問題時，要根據(jù)已知求這個角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大?。居柧?4】 (1) (2018?泰安一中 )平面直角坐標系 中，點 在單位圓 上，設(shè) ，若 ，且 ，則 的值為_________．(2)(2017?石家莊質(zhì)檢 )若 cos(2α－β) ＝－1114，sin(α－2β)＝437，00)，滿足：f(x_1)=0，f(x_2)=-2，且|x_1-x_2 |的最小值為 π/2，則 ω 的值為（）A．1 B．2 C．3 D．42．(2018? 濱州期末 )已知函數(shù) f(x)=sin(ωx+φ)(ω0，|φ|0，ω0)的性質(zhì)：(1)y_max “=“ A“+“ B，y_min=A-B．(2)周期 T=2π/ω．(3)由 ωx+φ=“π“ /2+k“π“(k∈Z)求對稱軸，(4)由 -“π“ /2+2k“π“≤ωx+φ≤“π“ /2+2k“π“(k∈Z) 求增區(qū)間；由“π“ /2+2k“π“≤ωx+φ≤“3π“ /2+2k“π“(k∈Z) 求減區(qū)間．3．【解題思路】將函數(shù) 進行化簡即可【答案】由已知得 ，的最小正周期 ，故選 C．4．【解題思路】求出 3x+π/6 的范圍，再由函數(shù)值為零，得到 3x+π/6 的取值可得零點個數(shù)．【答案】 ， ，由題可知 3x+π/6=π/2，3x+π/6=3π/2，或 3x+π/6=5π/2，解得 x= π/9，4π/9，或 7π/9，故有 3 個零點．5．【解題思路】利用兩角差的正切公式展開，解方程可得 tanα=3/2．【答案】tan(α-5π/4)=(tanα-tan 5π/4)/(1+tanα?tan 5π/4)=(tanα-1)/(1+tanα)=1/5，解方程得 tanα=3/2．1．【解題思路】由極值點的導數(shù)為 0 確定 ，由奇函數(shù)確定 ．【答案】 ，因為當 時有極大值，所以 =0，解得 ， ，當 時， ；因為 為奇函數(shù)，所以 ， ，當 時， ，故選 D．2．【解題思路】根據(jù)題意得到 aω(cos π/4ω-sin π/4ω)=0，得 ω=1，得出f(x)=√2 sin(x+π/4)，即可求解函數(shù)的最小正周期，得到答案．【答案】由題設(shè)，有 f(π/4ω)=±√(a^2+b^2 )，即√2/2 (a+b)=±√(a^2+b^2 )，得 a=b，又 f^' (π/4)=0，所以 aω(cos π/4ω-sin π/4ω)=0，從而 tan π/4ω=1，所以 π/4ω=kπ+π/4，k∈Z，即 ω=4k+1，k∈Z，又由 00)，因為|x_1-x_2 |的最小值為 T/4=π/2，所以 T=2π，則由 T=2π/ω 得 ω=1．2．【解題思路】由函數(shù)的最值求出 A，由周期求出 ω，由五點法作圖求出 φ的值，可得函數(shù) f(x)的解析式，再利用 y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【答案】由函數(shù) y=Asin(ωx+φ)(其中 A0，|φ|0，且 a≠1)；(4)(logax)′＝1xln a(a0，且 a≠1，x0).3.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(1)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.①f′(x)0 是 f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù) f(x)＝x3 在( －∞ ，＋∞)上單調(diào)遞增，但 f′(x)≥0.②f′(x)≥0 是 f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有 f′(x)＝0 時，則 f(x)為常數(shù)函數(shù).(2)利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法.①若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性) ，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明) 不等式 f′(x)0 或 f′(x)0，右側(cè) f′(x)0，則 f(x0)為函數(shù) f(x)的極小值.(2)設(shè)函數(shù) y＝f(x) 在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，則 f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得.5.利用導數(shù)研究函數(shù)的零點函數(shù)的零點、方程的實根、函數(shù)圖象與 x 軸的交點的橫坐標是三個等價的概念，解決這類問題可以通過函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，畫出函數(shù)圖象的變化趨勢，數(shù)形結(jié)合求解.6.三次函數(shù)的零點分布三次函數(shù)在存在兩個極值點的情況下，由于當 x→∞時，函數(shù)值也趨向∞，只要按照極值與零的大小關(guān)系確定其零點的個數(shù)即可.存在兩個極值點 x1，x2 且x10兩個 f(x1)＝0 或者 f(x2)＝0三個 f(x1)＞0 且 f(x2)＜0a＜0(f(x1)為極小值，f(x2)為極大值) 一個 f(x1)0 或 f(x2)＜0兩個 f(x1)＝0 或者 f(x2)＝0三個 f(x1)＜0 且 f(x2)＞07.利用導數(shù)解決不等式問題(1)利用導數(shù)證明不等式.若證明 f(x)g(x)對一切 x∈I 恒成立?I 是 f(x)g(x)的解集的子集?[f(x)－g(x)]min0(x∈I).②?x∈I，使 f(x)g(x)成立?I 與 f(x)g(x)的解集的交集不是空集?[f(x) －g(x)]max0(x∈I).③對?x1，x2∈I 使得 f(x1)≤g(x2)?f(x)max≤g(x)min.④對?x1∈I，? x2∈I 使得 f(x1)≥g(x2)?f(x)min≥g(x)min.熱點一 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例 1】(2019? 衡水中學 )已知函數(shù) ， .（1）討論 的單調(diào)性；（2）當 , ， 為兩個不相等的正數(shù)，證明： .解（1）函數(shù) 的定義域為 ， .若 ， ，則 在區(qū)間 內(nèi)為增函數(shù)；若 ，令 ，得 .則當 時， ， 在區(qū)間 內(nèi)為增函數(shù)；當 時， ， 在區(qū)間 內(nèi)為減函數(shù).（2）當 時， .不妨設(shè) ，則原不等式等價于 ，令 ，則原不等式也等價于即 .下面證明當 時， 恒成立.設(shè) ，則 ，故 在區(qū)間 內(nèi)為增函數(shù)， ，即 ，所以 .探究提高 1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只需在函數(shù)的定義域內(nèi)解(證)不等式 f′(x)0或 f′(x)0.(2)對 k 分類討論不全，題目中已知 k0，對 k 分類討論時容易對標準劃分不準確，討論不全面.【訓練 1】 已知 a∈R，函數(shù) f(x)＝( －x2＋ax)ex(x∈R，e 為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)當 a＝2 時，求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù) f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增，求 a 的取值范圍；(3)函數(shù) f(x)是否為 R 上的單調(diào)減函數(shù)？若是，求出 a 的取值范圍，若不是，請說明理由.解 (1)當 a＝ 2 時，f(x)＝(－x2＋2x)?ex，所以 f′(x)＝(－2x ＋2)ex ＋ (－x2 ＋2x)ex＝(－x2＋ 2)ex.令 f′(x)＞0 ，即( －x2＋2)ex＞0，因為 ex＞0 ，所以－x2 ＋2＞0，解得－2＜x＜2.所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( －2 ，2).(2)因為函數(shù) f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增，所以 f′(x)≥0 對 x∈( －1，1) 都成立.因為 f′(x)＝(－2x ＋a)ex ＋ (－x2 ＋ax)ex＝[－x2＋(a －2)x ＋a]ex，所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0 對 x∈(－1，1)都成立.因為 ex＞0 ，所以－x2 ＋(a－2)x＋a≥0 ，則 a≥x2＋2xx＋1＝（x＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x＋1 對 x∈(－1，1)都成立.令 g(x)＝(x＋1)－1x＋1，則 g′(x)＝1＋1（x＋1）2＞0.所以 g(x)＝(x＋1)－1x＋ 1 在( －1 ，1) 上單調(diào)遞增.所以 g(x)＜g(1)＝(1 ＋1)－11 ＋ 1＝32.所以 a 的取值范圍是 32，＋∞.(3)若函數(shù) f(x)在 R 上單調(diào)遞減，則 f′(x)≤0 對 x∈R 都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0 對 x∈R 都成立 .因為 ex＞0 ，所以 x2－(a－2)x－a≥0 對 x∈R 都成立.所以 Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即 a2＋4≤0，這是不可能的.故函數(shù) f(x)不可能在 R 上單調(diào)遞減 .熱點二 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值【例 2】 (2018?安陽調(diào)研)已知函數(shù) 的極大值為 2．（1）求實數(shù) 的值；（2）求 在 上的最大值．解（1）依題意 ，所以 在 和 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，所以 在 處取得極大值，即 ，解得 ．（2）由（ 1）知 在 和 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，①當 ，即 時， 在 上單調(diào)遞增，所以 在 上的最大值為 ．②當 ，即 時， 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，在 上的最大值為 ．③當 且 ，即 時， 在 上單調(diào)遞減，所以 在 上的最大值為 ．④當 ，即 時，令 ，得 或 （舍去）當 時， 在 上的最大值為 ．當 時， 在 上的最大值為 ．綜上可知：當 或 時， 在 上的最大值為 ；當 時， 在 上的最大值為 ；當 時， 在 上的最大值為 ．探究提高 1.求函數(shù) f(x)的極值，則先求方程 f′(x)＝ 0 的根，再檢查 f′(x)在方程根的左右附近函數(shù)值的符號.2.若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程 f′(x)＝0 根的大小或存在情況來求解.3.求函數(shù) f(x)在閉區(qū)間[a，b]的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值 f(a)，f(b)與 f(x)的各極值進行比較得到函數(shù)的最值 .【訓練 2】(2017? 郴州二模選編 )已知函數(shù) f(x)＝ax2 ＋(1－2a)x－ln x.(1)當 a0 時，求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當 a0，因為 a0，x0，∴2ax＋1x0 ，∴x－ 10，得 x1，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞).(2)由 (1)可得 f′(x)＝2ax－1－2a（x－1）x，因為 a1 ，即－120，因此 f(x)在 12，1 上是增函數(shù)，∴f(x)的最小值為 f12＝12－34a＋ln 2.綜上，函數(shù) f(x)在區(qū)間 12，1 上的最小值為：f(x)min＝12 －34a＋ln 2，a－1， 1－14a＋ln （－2a），－1≤a≤ －12，1 －a，－12a0.熱點三 利用導數(shù)研究函數(shù)的零點(方程的根)【例 3】(2019? 上高二中 )已知函數(shù) .（Ⅰ）求 的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若 ，求證：函數(shù) 只有一個零點 ，且 ；解（Ⅰ）解： 的定義域為 . ，令 ， 或 ，當 時， ，函數(shù) 與 隨 的變化情況如下表：所以，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 和 ，當 時， .所以，函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，當 時， ，函數(shù) 與 隨 的變化情況如下表：所以，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 和 .（Ⅱ）證明：當 時，由（Ⅰ）知， 的極小值為 ，極大值為 .因為 ， ，且又由函數(shù) 在 是減函數(shù)，可得 至多有一個零點，又因為 ，所以函數(shù) 只有一個零點 ，且 .探究提高 1.三步求解函數(shù)零點( 方程根)的個數(shù)問題 .第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與 x 軸(或直線y＝ k)在該區(qū)間上的交點問題；