（浙江專(zhuān)用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.5 橢圓（第2課時(shí)）直線與橢圓講義（含解析）.docx

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第2課時(shí)直線與橢圓題型一直線與橢圓的位置關(guān)系1.若直線ykx1與橢圓1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()A.m1B.m0C.0m5且m1D.m1且m5答案D解析方法一由于直線ykx1恒過(guò)點(diǎn)(0，1)，所以點(diǎn)(0，1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，則00且m5，m1且m5.2.已知直線l：y2xm，橢圓C：1.試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒(méi)有公共點(diǎn).解將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判別式(8m)249(2m24)8m2144.(1)當(dāng)0，即3m3時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解.這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn).(2)當(dāng)0，即m3時(shí)，方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解.這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn)，即直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn).(3)當(dāng)0，即m3時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解.這時(shí)直線l與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn).思維升華研究直線與橢圓位置關(guān)系的方法(1)研究直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個(gè)數(shù).(2)對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的直線，也可以通過(guò)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn).題型二弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問(wèn)題命題點(diǎn)1弦長(zhǎng)問(wèn)題例1斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為()A.2B.C.D.答案C解析設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，則x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，當(dāng)t0時(shí)，|AB|max.命題點(diǎn)2中點(diǎn)弦問(wèn)題例2已知P(1，1)為橢圓1內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過(guò)P引一條弦，使此弦被P點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為_(kāi).答案x2y30解析方法一易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)其方程為y1k(x1)，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2，又x1x22，2，解得k.故此弦所在的直線方程為y1(x1)，即x2y30.方法二易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為k，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1，得0，x1x22，y1y22，y1y20，k.此弦所在的直線方程為y1(x1)，即x2y30.思維升華 (1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系，解決相關(guān)問(wèn)題.涉及中點(diǎn)弦的問(wèn)題時(shí)用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單.(2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|(k為直線斜率).(3)利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式.跟蹤訓(xùn)練1已知橢圓E：1(ab0)的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(c，0)，(0，b)的直線的距離為c.(1)求橢圓E的離心率；(2)如圖，AB是圓M：(x2)2(y1)2的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程.解(1)過(guò)點(diǎn)(c，0)，(0，b)的直線方程為bxcybc0，則原點(diǎn)O到該直線的距離d，由dc，得a2b2，解得離心率e.(2)方法一由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，圓心M(2，1)是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|.易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，由x1x24，得4，解得k，從而x1x282b2.于是|AB|x1x2|，由|AB|，得，解得b23，故橢圓E的方程為1.方法二由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2，依題意，點(diǎn)A，B關(guān)于圓心M(2，1)對(duì)稱(chēng)，且|AB|，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x4y4b2，x4y4b2，兩式相減并結(jié)合x(chóng)1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0，易知AB與x軸不垂直，則x1x2，所以AB的斜率kAB，因此直線AB的方程為y(x2)1，代入得x24x82b20，所以x1x24，x1x282b2，于是|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23，故橢圓E的方程為1.題型三橢圓與向量等知識(shí)的綜合例3(2019杭州質(zhì)檢)已知橢圓C：1(ab0)，e，其中F是橢圓的右焦點(diǎn)，焦距為2，直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且(其中1).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求實(shí)數(shù)的值.解(1)由橢圓的焦距為2，知c1，又e，a2，故b2a2c23，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由，可知A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2).若直線ABx軸，則x1x21，不符合題意；當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1).由消去y得(34k2)x28k2x4k2120.的判別式64k44(4k23)(4k212)144(k21)0.x1x22，k2.將k2代入方程，得4x22x110，解得x.又(1x1，y1)，(x21，y2)，即1x1(x21)，又1，.思維升華一般地，在橢圓與向量等知識(shí)的綜合問(wèn)題中，平面向量只起“背景”或“結(jié)論”的作用，幾乎都不會(huì)在向量的知識(shí)上設(shè)置障礙，所考查的核心內(nèi)容仍然是解析幾何的基本方法和基本思想.跟蹤訓(xùn)練2(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(ab0)的離心率為，焦距為2.(1)求橢圓C的方程；(2)記斜率為k的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，橢圓C上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足，求四邊形OAPB的面積.解(1)由題意得c1，a2，b，故橢圓C的方程是1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，直線AB：ykxm，由消去y，可得(34k2)x28kmx4m2120，故48(4k23m2)0且由，可得又點(diǎn)P在橢圓C上，所以1，其中x1x2，y1y2k(x1x2)2m，代入1中，可得4m234k2.|AB|x1x2|，設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d，則d.所以四邊形AOBP的面積S|AB|d3.1.若直線mxny4與O：x2y24沒(méi)有交點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.至多為1B.2C.1D.0答案B解析由題意知，2，即b0)，則c1.因?yàn)檫^(guò)F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|3，所以，b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，橢圓的方程為1.5.經(jīng)過(guò)橢圓y21的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn).設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于()A.3B.C.或3D.答案B解析依題意，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)(1，0)時(shí)，其方程為y0tan45(x1)，即yx1.代入橢圓方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x.所以?xún)蓚€(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，1)，B，所以(0，1).同理，直線l經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)時(shí)，也可得.6.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓y21的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使()0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則F1PF2的面積是()A.4B.3C.2D.1答案D解析()()0，PF1PF2，F(xiàn)1PF290.設(shè)|PF1|m，|PF2|n，則mn4，m2n212，2mn4，mn2，mn1.7.直線ykxk1與橢圓1的位置關(guān)系是_.答案相交解析由于直線ykxk1k(x1)1過(guò)定點(diǎn)(1，1)，而(1，1)在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓必相交.8.(2018浙江余姚中學(xué)質(zhì)檢)若橢圓C：1的弦被點(diǎn)P(2，1)平分，則這條弦所在的直線l的方程是_，若點(diǎn)M是直線l上一點(diǎn)，則M到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和的最小值為_(kāi).答案x2y40解析當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)不滿(mǎn)足題意，所以設(shè)l的斜率為k，橢圓C：1的弦被點(diǎn)P(2，1)平分，由點(diǎn)差法得k，代入已知的中點(diǎn)P的坐標(biāo)得到直線方程為x2y40.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)F2(3，0)關(guān)于x2y40的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F2，連接F2F1，交直線于點(diǎn)M，此時(shí)距離之和最小，最小值為|F2F1|.9.已知橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)為F，橢圓C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF，若|AB|10，|AF|6，cosABF，則橢圓C的離心率e_.答案解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，在ABF中，由余弦定理可解得|BF|8，所以ABF為直角三角形，且AFB90，又因?yàn)樾边匒B的中點(diǎn)為O，所以|OF|c5，連接AF1，因?yàn)锳，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以|BF|AF1|8，所以2a14，a7，所以離心率e.10.已知直線MN過(guò)橢圓y21的左焦點(diǎn)F，與橢圓交于M，N兩點(diǎn).直線PQ過(guò)原點(diǎn)O與MN平行，且PQ與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則_.答案2解析不妨取直線MNx軸，橢圓y21的左焦點(diǎn)F(1，0)，令x1，得y2，所以y，所以|MN|，此時(shí)|PQ|2b2，則2.11.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，E的離心率為，點(diǎn)(0，1)是E上一點(diǎn).(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，且2，求直線BF2的方程.解(1)由題意知，b1，且e2，解得a22，所以橢圓E的方程為y21.(2)由題意知，直線AB的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線AB的方程為xmy1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).由得(m22)y22my10，則y1y2，y1y2，因?yàn)镕1(1，0)，所以(1x2，y2)，(x11，y1)，由2可得y22y1，由可得B，則或，所以直線BF2的方程為yx或yx.12.(2019紹興質(zhì)檢)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，1).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(6，0)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，Q是x軸上的點(diǎn)，若ABQ是以AB為斜邊的等腰直角三角形，求l的方程.解(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c，由離心率e及a2b2c2，得a23b2，則橢圓的方程為1，代入點(diǎn)(3，1)得1，解得b24，則a212，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l：xty6，則由得(t23)y212ty240，由0，得t26，y0，x0ty06，則AB的中垂線方程為yt，所以Q.易知點(diǎn)Q到直線l的距離為d，|AB|，所以62，解得t29，滿(mǎn)足t26，則t3，所以直線l的方程為x3y60.13.(2018臺(tái)州模擬)已知橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)A是直線MF2與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)，且|OA|OF2|2|OM|，則橢圓C的離心率為()A.B.C.D.答案D解析方法一|OA|OF2|2|OM|，M在橢圓C的短軸上，設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1，連接AF1，|OA|OF2|，|OA|F1F2|，AF1AF2，從而AF1F2OMF2，又|AF1|2|AF2|2(2c)2，|AF1|c，|AF2|c，又|AF1|AF2|2a，c2a，即.故選D.方法二|OA|OF2|2|OM|，M在橢圓C的短軸上，在RtMOF2中，tanMF2O，設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1，連接AF1，|OA|OF2|，|OA|F1F2|，AF1AF2，tanAF2F1，設(shè)|AF1|x(x0)，則|AF2|2x，|F1F2|x，e，故選D.14.已知橢圓1(ab0)短軸的端點(diǎn)為P(0，b)，Q(0，b)，長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，AB為經(jīng)過(guò)橢圓中心且不在坐標(biāo)軸上的一條弦，若PA，PB的斜率之積等于，則點(diǎn)P到直線QM的距離為_(kāi).答案b解析設(shè)A(x0，y0)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則，即，由于1，則，故，則，不妨取M(a，0)，則直線QM的方程為bxayab0，則點(diǎn)P到直線QM的距離為db.15.平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓1，直線AB的斜率k12，則直線AD的斜率k2等于()A.B.C.D.2答案C解析設(shè)AB的中點(diǎn)為G，則由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，O為平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，則GOAD.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式相減得，整理得k12，即.又G，所以kOG，即k2，故選C.16.過(guò)橢圓1(ab0)上的動(dòng)點(diǎn)M作圓x2y2的兩條切線，切點(diǎn)分別為P和Q，直線PQ與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為E和F，求EOF面積的最小值.解設(shè)M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由題意知PQ的斜率存在，且不為0，所以x0y00，則直線MP和MQ的方程分別為x1xy1y，x2xy2y.因?yàn)辄c(diǎn)M在MP和MQ上，所以有x1x0y1y0，x2x0y2y0，則P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程x0xy0y，所以直線PQ的方程為x0xy0y，可得E和F，所以SEOF|OE|OF|，因?yàn)閎2ya2xa2b2，b2ya2x2ab|x0y0|，所以|x0y0|，所以SEOF，當(dāng)且僅當(dāng)b2ya2x時(shí)取“”，故EOF面積的最小值為.