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第Ⅰ篇 高考專題講練 思想篇
角度一 函數(shù)與方程思想
函數(shù)思想是指用函數(shù)的觀點、方法去分析問題、轉化問題和解決問題.如求數(shù)列中的項或最值、求不等式中的參量、求解析幾何中距離或面積的最值等相關的非函數(shù)問題,都可利用函數(shù)思想,轉化為函數(shù)問題.
方程思想是從問題的數(shù)量關系入手,運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為方程或方程組去分析問題和解決問題.如變量的取值范圍、直線與圓錐曲線的位置關系、數(shù)列中基本量等問題.
示例
解法關鍵
[2018全國卷Ⅲ] 設a=log0.20.3,b=log20.3,則 ( )
A.a+b
0,b<0,且0<1a+1b=a+bab=log0.30.4<1,可得ab0,函數(shù)f(x)=x2+2ax+a,x≤0,-x2+2ax-2a,x>0.若關于x的方程f(x)=ax恰有2個互異的實數(shù)解,則a的取值范圍是 .
根據(jù)x的范圍分段處理方程f(x)=ax,得到含a的關于x的方程,通過研究方程得出a的取值范圍,答案:(4,8)
[2016全國卷Ⅱ] 函數(shù)f(x)=cos2x+6cosπ2-x的最大值為 ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
先將函數(shù)f(x)化為關于sinx的二次函數(shù),再用二次函數(shù)的性質(zhì)去解,答案選B
[2016全國卷Ⅲ] 已知a=243,b=425,c=2513,則 ( )
A.b0)的焦點為F,過點F且傾斜角為π4的直線l與拋物線相交于A,B兩點,若以線段AB為直徑的圓過點-p2,2,則該拋物線的方程為 .
角度二 數(shù)形結合思想
數(shù)形結合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系,通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法.數(shù)形結合思想體現(xiàn)了數(shù)與形之間的溝通與轉化,它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方面.數(shù)形結合的實質(zhì)是把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形語言結合起來,即將代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化.
數(shù)形結合思想常用來解決函數(shù)零點、方程根與不等式問題,參數(shù)范圍問題,立體幾何模型研究代數(shù)問題,解析幾何中的斜率、截距、距離等模型問題.
示例
解法關鍵
[2018全國卷Ⅰ] 已知雙曲線C:x23-y2=1,O為坐標原點,F為C的右焦點,過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M,N.若△OMN為直角三角形,則|MN|= ( )
A.32 B.3
C.23 D.4
不妨設∠OMF=90,由漸近線方程及作圖可知,|OM|=|OF|cos30,|MN|=|OM|tan60,答案選B
[2018全國卷Ⅰ] 已知函數(shù)f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個零點,則a的取值范圍是 ( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
g(x)有兩個零點等價于y=f(x)的圖像與直線y=-x-a有兩個交點,作圖可得,答案選C
[2017全國卷Ⅱ] 設x,y滿足約束條件2x+3y-3≤0,2x-3y+3≥0,y+3≥0,則z=2x+y的最小值是 ( )
A.-15 B.-9 C.1 D.9
畫出約束條件表示的可行域,結合圖形求直線y=-2x+z在y軸上截距的最小值,答案選A
[2017全國卷Ⅲ] 設函數(shù)f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,則滿足f(x)+fx-12>1的x的取值范圍是 .
先寫出函數(shù)y=fx-12的表達式,原不等式可化為fx-12>1-f(x),畫出y=fx-12與y=1-f(x)的圖像,從圖像得解集,答案:-14,+∞
測題
1.設實數(shù)x,y滿足不等式組x2+y2≥1,0≤x≤1,0≤y≤1,則z=x+y取得最小值時的最優(yōu)解的個數(shù)是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.無數(shù)個
2.當x∈0,12時,14x-logax<0恒成立,則a的取值范圍是 ( )
A.0,14 B.14,1
C.(1,4) D.(2,4)
3.拋物線y2=2ax(a>0)的焦點為F,其準線與雙曲線y24-x29=1相交于M,N兩點,若∠MFN=120,則a= ( )
A.21313 B.31313
C.22613 D.32613
4.已知函數(shù)f(x)=-x2-2x,x≤m,x-4,x>m,如果函數(shù)f(x)恰有兩個零點,那么實數(shù)m的取值范圍為 .
5.已知集合A={x|-1≤x≤2,x∈Z},集合B={y|-2≤y≤2},集合C={(x,y)|x∈A,y∈B},從集合C中任取一點P(x0,y0),則x02+y02≤1的概率為 .
角度三 分類討論思想
分類討論思想就是將一個復雜的數(shù)學問題分解成若干個簡單的基礎問題,通過對基礎問題的解答,解決原問題的思維策略.實質(zhì)上就是“化整為零,各個擊破,再積零為整”的策略,利用分類討論思想解題應明白這樣幾點:一是引起分類討論的原因;二是分類討論的原則,不重不漏,分類標準統(tǒng)一;三是分類討論的步驟.
常見的分類討論問題有以下幾種:1.由概念引起的分類討論;2.由性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的分類討論;3.由數(shù)學運算引起的分類討論;4.由圖形的不確定性引起的分類討論;5.由參數(shù)的變化引起的分類討論.
示例
解法關鍵
[2017全國卷Ⅰ] 設A,B是橢圓C:x23+y2m=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB=120,則m的取值范圍是 ( )
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0,3]∪[4,+∞)
分焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況討論求解,答案選A
[2017天津卷] 已知函數(shù)f(x)=x2-x+3,x≤1,x+2x,x>1. 設a∈R,若關于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立,則a的取值范圍是 ( )
A.-4716,2 B.-4716,3916
C.[-23,2] D.-23,3916
分x≤1,x>1兩種情況分別求參數(shù)a,答案選A
[2016全國卷Ⅲ] 在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是 ( )
A.4π B.9π2
C.6π D.32π3
分球與三棱柱的三個側面相切和球與三棱柱的上、下兩個底面相切兩種情況進行求解,答案選B
[2014全國卷Ⅰ] 設x,y滿足約束條件x+y≥a,x-y≤-1,且z=x+ay的最小值為7,則a= ( )
A.-5 B.3
C.-5或3 D.5或-3
分a>0和a≤0兩種情況討論求解,答案選B
測題
1.若函數(shù)f(x)=2x-1+1,x>1,1-12x-1,x<1,則f(x)+f(2-x)= ( )
A.-2 B.1
C.2 D.3
2.若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞減,且f(3)=0,則不等式(x-1)f(x)>0的解集是 ( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.(-3,1)∪(3,+∞)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-3,1]∪(3,+∞)
3.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,a1=0,若an+1=[1+(-1)n]an+(-2)n,則S100= .
4.能夠說明“(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示的曲線不是雙曲線”的一個m的值是 .
角度四 轉化與化歸思想
轉化與化歸思想是指在研究解決數(shù)學問題時,采用某種手段將問題通過轉化,使問題得以解決的一種思維策略,其核心是把復雜的問題化歸為簡單的問題,將較難的問題化歸為較容易求解的問題,將未能解決的問題化歸為已經(jīng)解決的問題.
常見的轉化與化歸思想應用具體表現(xiàn)在:將抽象函數(shù)問題轉化為具體函數(shù)問題,立體幾何和解析幾何中一般性點或圖形問題轉化為特殊點或特殊圖形,“至少…”或“是否存在”等正向思維轉化為逆向思維,空間與平面的轉化,相等問題與不等問題的轉化等.
示例
解法關鍵
[2018北京卷] 在平面直角坐標系中,記d為點P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離.當θ,m變化時,d的最大值為 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
P為單位圓上一點,原問題轉化為圓心(定點)到直線的距離,而直線過定點,這樣進一步轉化為圓心與直線所過定點的距離問題,答案選C
[2018全國卷Ⅰ] 已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是 .
利用導數(shù)的符號與導數(shù)為0著手進行求解,答案:-332
[2017全國卷Ⅰ] 設A,B是橢圓C:x23+y2m=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB=120,則m的取值范圍是 ( )
A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,3]∪[4,+∞)
將橢圓上的點M轉化為短軸的一個端點去處理,答案選A
[2017全國卷Ⅱ] 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x∈(-∞,0)時,f(x)=2x3+x2,則f(2)= .
根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),把f(2)中的自變量轉化為小于零時去解,答案:12
測題
1.已知P為拋物線C:y2=8x上一點,直線l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,則P到這兩條直線的距離之和的最小值為 ( )
A.2 B.234
C.161534 D.181734
2.若關于x的不等式2x+1-2-x-a>0的解集包含區(qū)間(0,1),則a的取值范圍為 ( )
A.-∞,72 B.(-∞,1)
C.-∞,72 D.(-∞,1]
3.函數(shù)f(x)=(log2x)2-x的零點個數(shù)為 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.已知平面向量OA,OB,OC滿足|OA|=|OB|=|OC|=1,OAOB=12.若OC=xOA+yOB(x,y∈R),則x+y的最大值是 ( )
A.1 B.33
C.2 D.233
角度一
1.A [解析] 由已知得x,y,z為正實數(shù),設k=log2x=log3y=log5z<0,則x2=2k-1,y3=3k-1,z5=5k-1,由1-k>0,可得2x=21-k>1,3y=31-k>1,5z=51-k>1,∵函數(shù)f(x)=x1-k 在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴2x<3y<5z.
2.D [解析] 以C為原點,CB為x軸的正半軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則B(3,0).設D(t,3t)0≤t≤32,則BDBC=(t-3,3t)(-3,0)=9-3t≥9-332=92,即BDBC的最小值為92,故選D.
3.A [解析]BDCD=(BC+CD)CD=BCCD+14.設BC=x,∠BCD=θ,則BDCD=-x2cos θ+14=-x2+14,x∈(0,2),易得BDCD的取值范圍為-34,14,故選A.
4.y2=4x [解析] 以線段AB為直徑的圓與拋物線的準線相切,又以線段AB為直徑的圓過點
-p2,2,可知AB的中點的縱坐標為2.設直線l的方程為y=x-p2,則由y=x-p2,y2=2px,可得y2-2py-p2=0,則AB中點的縱坐標為2p2=2,解得p=2,則該拋物線的方程為y2=4x.
角度二
1.B [解析] 畫出不等式組表示的可行域,如圖中陰影部分所示.由圖可知,目標函數(shù)在點A(0,1),B(1,0)處取得最小值.故選B.
2.B [解析] 當01時,2-x<1,f(x)+f(2-x)=2x-1+1+1-122-x-1=2.同理可得,當x<1時,f(x)+f(2-x)=2,
∴f(x)+f(2-x)=2.
2.B [解析] 偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞減,則其在[0,+∞)上為增函數(shù),又由f(3)=0,得f(-3)=0,則當x<-3或x>3時,f(x)>0;當-33時,若(x-1)f(x)>0,則x-1>0,解得x>3;當-30,則x-1<0,解得-30的解集是(-3,1)∪(3,+∞).故選B.
3.2-21013 [解析] 由an+1=[1+(-1)n]an+(-2)n(n∈N*)得,當n為奇數(shù)時,有an+1=(-2)n,當n為偶數(shù)時,有an+1=2an+2n,所以數(shù)列{an}的所有偶數(shù)項構成以-2為首項,以4為公比的等比數(shù)列,所以S100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100)=2(a2+a4+a6+…+a98)+(22+24+26+…+298)+(a2+a4+a6+…+a100)=3(a2+a4+a6+…+a100)-2a100+(22+24+26+…+298)=3-2(1-450)1-4-2(-2)99+4(1-449)1-4=2-21013.
4.2(1≤m≤3即可) [解析](m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)中,當m=1或3時,表示的曲線不是雙曲線;當m≠1且m≠3時,原式可化為x23-m+y2m-1=1,若表示的曲線為雙曲線,則(3-m)(m-1)<0,解得m<1或m>3.綜上可知,當m<1或m>3時,曲線是雙曲線,當1≤m≤3時,曲線不是雙曲線.
角度四
1.D [解析] 由題意得,拋物線C:y2=8x的準線為l1:x=-2,焦點為F(2,0).過點P作PM⊥l1于M,由拋物線的定義可得|PM|=|PF|.設點P到直線l2的距離為d,則d+|PM|=d+|PF|.結合圖形可得,點P到直線l1,l2的距離之和的最小值即為拋物線的焦點到l2的距離,即為|32+30|32+52=183417.故選D.
2.D [解析] 原不等式等價于a<2x+1-12xmin,x∈(0,1),易知函數(shù)y=2x+1-12x在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù),當x=0時,y=1,故a≤1.故選D.
3.C [解析] 函數(shù)f(x)零點的個數(shù)即為方程(log2x)2-x=0,即(log2x)2=x的解的個數(shù),從而可以轉化為函數(shù)y=(log2x)2的圖像與直線y=x的交點的個數(shù).在同一個坐標系中畫出函數(shù)y=(log2x)2的圖像以及直線y=x,可以發(fā)現(xiàn)兩條曲線有3個交點,從而可知函數(shù)f(x)的零點有3個,故選C.
4.D [解析] 由|OC|=1可設C(cos θ,sin θ),O(0,0).又由OAOB=12,|OA|=|OB|=1,可設A(1,0),
B12,32.由已知可得cos θ=x+y2,sin θ=32y,即得y=2sinθ3,x=cos θ-sinθ3,則x+y=cos θ+sinθ3=23sinθ+π3,所以x+y的最大值是233,故選D.
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