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第5章 數(shù)列 第2講
A組 基礎(chǔ)關(guān)
1.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,則n=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 D
解析 ∵an=1+(n-1)2=2n-1,∴Sn+2-Sn=36?an+2+an+1=36?2n+3+2n+1=36?n=8,故選D.
2.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,已知S7=49,則a2,a6的等差中項是( )
A. B.7 C.7 D.
答案 B
解析 由已知得S7==7a4=49,所以a4=7.所以a2,a6的等差中項為=a4=7.
3.(2018西安質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1=15,且3an+1=3an-2.若akak+1<0,則正整數(shù)k=( )
A.21 B.22 C.23 D.24
答案 C
解析 因為3an+1=3an-2,所以an+1-an=-,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,首項a1=15,公差為-.所以an=15-(n-1)=.
因為akak+1<0,所以<0.
可化為(2k-45)(2k-47)<0,
解得
9),若Sn=336,則n的值為( )
A.18 B.19 C.20 D.21
答案 D
解析 由題意得S9=9a5=18,解得a5=2,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得Sn===(2+30)=336,解得n=21.
7.等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn,若=,則等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由題意得,======.
8.若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=________時,{an}的前n項和最大.
答案 8
解析 根據(jù)題意知a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0.又a8+a9=a7+a10<0,∴a9<0,∴當(dāng)n=8時,{an}的前n項和最大.
9.在等差數(shù)列{an}中,公差d=,前100項的和S100=45,則a1+a3+a5+…+a99=________.
答案 10
解析 因為S100=(a1+a100)=45,所以a1+a100=,a1+a99=a1+a100-d=,
則a1+a3+a5+…+a99=(a1+a99)==10.
10.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1=-2014,-=6,則S2018=________.
答案 6054
解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為等差數(shù)列.
設(shè)其公差為d,
則-=6d=6,
∴d=1.
故=+2017d=-2014+2017=3,
∴S2018=32018=6054.
B組 能力關(guān)
1.設(shè){an}是等差數(shù)列,則以下三個命題:
①若a2016+a2017<0,則a2017+a2018<0;
②若a2016+a2018>0,則a2016+a2017>0;
③若0.
其中正確的個數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 由①②不能判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列,所以命題①②錯誤;由00,由等差數(shù)列的性質(zhì)和均值不等式可知a2017=>=.故選B.
2.(2018銀川模擬)在等差數(shù)列{an}中,已知a3=7,a6=16,依次將等差數(shù)列的各項排成如圖所示的三角形數(shù)陣,則此數(shù)陣中,第10行從左到右的第5個數(shù)是________.
答案 148
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則d===3,an=7+(n-3)d=3n-2.第10行從左到右第5個數(shù)是等差數(shù)列{an}中第1+2+…+9+5=50項,即a50=350-2=148.
3.(2019合肥三模)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,若數(shù)列{}也是公差為d的等差數(shù)列,則an=________.
答案?。?或n-
解析 由題意得,Sn=na1+n(n-1)
=n2+n.
Sn+n=n2+n.
因為數(shù)列{}也是公差為d的等差數(shù)列.
所以設(shè) =dn+B.
于是n2+n=(dn+B)2(n∈N*).
因此解得或
所以an=-1或an=n-.
4.(2018全國卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解 (1)設(shè){an}的公差為d,由題意,得3a1+3d=-15.
由a1=-7,得d=2.
所以{an}的通項公式為an=2n-9.
(2)由(1),得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.
所以當(dāng)n=4時,Sn取得最小值,最小值為-16.
5.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù).
(1)證明:an+2-an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由.
解 (1)證明:由題設(shè),得anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1.
兩式相減,得an+1(an+2-an)=λan+1.
由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)由題設(shè),a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.
由(1)知,a3=λ+1.
令2a2=a1+a3,解得λ=4.
故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
6.已知數(shù)列{an}滿足,an+1+an=4n-3(n∈N*).
(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求a1的值;
(2)當(dāng)a1=2時,求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
解 (1)解法一:∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,
∴an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd.
由an+1+an=4n-3,得a1+nd+a1+(n-1)d=4n-3,
∴2dn+(2a1-d)=4n-3,
即2d=4,2a1-d=-3,
解得d=2,a1=-.
解法二:在等差數(shù)列{an}中,
由an+1+an=4n-3,得
an+2+an+1=4(n+1)-3=4n+1,
∴2d=an+2-an=4n+1-(4n-3)=4,
∴d=2.
又∵a1+a2=2a1+d=2a1+2=1,∴a1=-.
(2)由題意知,①當(dāng)n為奇數(shù)時,
Sn=a1+a2+a3+…+an
=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an)
=2+4[2+4+…+(n-1)]-3
=.
②當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn=a1+a2+a3+…+an
=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)
=1+9+…+(4n-7)=.
綜上,Sn=
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