（浙江專版）2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題3.1 導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義（講）.doc

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第01節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 【考綱解讀】 考 點(diǎn) 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計(jì) 分析預(yù)測(cè) 導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 了解導(dǎo)數(shù)的概念與實(shí)際背景，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 2013浙江卷文21；理22; 2018浙江卷22. 1.求切線方程或確定切點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題為主； 2.單獨(dú)考查導(dǎo)數(shù)概念的題目極少. 3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義為全國(guó)卷高考熱點(diǎn)內(nèi)容，常見(jiàn)的命題探究角度有： (1)求切線斜率、傾斜角、切線方程． (2)確定切點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題． (3)已知切線問(wèn)題求參數(shù)． (4)切線的綜合應(yīng)用． 4.備考重點(diǎn)： (1) 熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則； (2) 熟練掌握直線的傾斜角、斜率及直線方程的點(diǎn)斜式. 【知識(shí)清單】 1．導(dǎo)數(shù)的概念 1．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) 定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率 為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即. 2．函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 稱函數(shù)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)． 2．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)幾何意義 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn) (x0，f(x0))處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1 利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【1-1】一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為. （1）求質(zhì)點(diǎn)在[1，1+Δt]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度； （2）求質(zhì)點(diǎn)在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度（用定義及求求導(dǎo)兩種方法） 【答案】（1）；（2）. 【領(lǐng)悟技法】 1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的方法： ①求函數(shù)的增量； ②求平均變化率； ③得導(dǎo)數(shù)，簡(jiǎn)記作：一差、二比、三極限. 2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值的區(qū)間與聯(lián)系：導(dǎo)數(shù)是原來(lái)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，而導(dǎo)數(shù)值是導(dǎo)函數(shù)在某一點(diǎn)的函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)值是常數(shù) 【觸類旁通】 【變式一】若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一（注重導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用的解法）：因?yàn)?，所? ，選B； 法二（注重導(dǎo)數(shù)定義中各變量的聯(lián)系的解法）：因?yàn)?，所? （其中：），故選B. 考點(diǎn)2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 【2-1】【2018年全國(guó)卷II文】曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________． 【答案】y=2x–2 點(diǎn)睛：求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟：①求出函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率；②寫出切線的點(diǎn)斜式方程；③化簡(jiǎn)整理. 【2-2】【2018年全國(guó)卷Ⅲ理】曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則________． 【答案】 【解析】分析：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可。 詳解： 則 所以 故答案為-3. 【2-3】【2018屆天津市河?xùn)|區(qū)二?！亢瘮?shù)在點(diǎn)處切線斜率為3，則值為_(kāi)______． 【答案】2 【解析】分析：首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即為導(dǎo)函數(shù)在相應(yīng)的點(diǎn)的函數(shù)值等于3，從而得到其所滿足的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果. 詳解：根據(jù)題意可得，， 令，解得， 則，所以的值為2. 【2-4】已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則 ． 【答案】 【解析】 由函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)在該點(diǎn)的切線的斜率可知，有點(diǎn)必在切線上，代入切線方程，可得，所以有． 【2-5】【2017屆北京西城八中高三上期中】某堆雪在融化過(guò)程中，其體積（單位：）與融化時(shí)間（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系：（為常數(shù)），其圖像如圖所示．記此堆雪從融化開(kāi)始到結(jié)束的平均融化速度為．那么，，，中，瞬時(shí)融化速度等于的時(shí)刻是圖中的__________． 【答案】 點(diǎn)睛：本題考查瞬時(shí)變化率與平均變化率的概念與區(qū)別，考查識(shí)別與應(yīng)用基本概念解決問(wèn)題的能力. 【領(lǐng)悟技法】 1.求函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線方程的關(guān)鍵在于確定該點(diǎn)切線處的斜率，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，故當(dāng)存在時(shí)，切線方程為. 2.可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，由于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程，可按如下方式求得： 第一，求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率； 第二，在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程；如果曲線在點(diǎn)處的切線平行于y軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，由切線的定義可知，切線的方程為. 【觸類旁通】 【變式一】【福建省廈門市2018屆二?！吭O(shè)函數(shù)，直線是曲線的切線，則的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】分析：設(shè)切點(diǎn)是，求出切線方程，可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出的最小值即可的結(jié)果. 詳解：設(shè)切點(diǎn)是， 由是切線斜率， 切線方程為， 整理得， ， 記， 當(dāng)，遞減； 當(dāng)，遞增； 故， 即的最小值是故選C. 點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程. 【變式二】【2018屆云南省昆明第一中學(xué)第八次月考】已知定義在上的函數(shù)，設(shè)兩曲線與在公共點(diǎn)處的切線相同，則值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)題意設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩曲線與在公共點(diǎn)處的切線相同可得，解方程組即可求得的值 詳解：依題意設(shè)曲線與在公共點(diǎn)處的切線相同. ∵， ∴， ∴，即 ∵ ∴， 故選D. 點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解答本題的關(guān)鍵是列出方程組，方程組主要是從“兩曲線與在公共點(diǎn)處的切線相同”轉(zhuǎn)化引申出來(lái)的，說(shuō)明切線的斜率相等，且這個(gè)切點(diǎn)在兩個(gè)函數(shù)的圖象上，即切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)相等，且切點(diǎn)的坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式. 【變式三】曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A． B． C．和 D． 【答案】C. 【解析】因，令，故或，所以或，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)，均不在直線上，故選C． 【變式四】曲線過(guò)點(diǎn)處的切線方程是_____________. 【答案】 【變式五】已知函數(shù)，則函數(shù)點(diǎn)P（1，）的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 . 【答案】 【解析】因?yàn)榍芯€斜率所以切線方程為，與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為因此圍成的三角形的面積為 【易錯(cuò)試題常警惕】 易錯(cuò)典例1：已知曲線． （1）求曲線在處的切線方程； （2）求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程． 易錯(cuò)分析：易于因?yàn)閷忣}不嚴(yán)或理解有誤，將兩道小題混淆，特別是第（2）小題獨(dú)立出現(xiàn)時(shí)． 正確解析：（1）∵ ， ∴曲線在處的斜率． ∵時(shí)，， ∴曲線在處的切線方程為， 即． (2) 設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線與曲線相切于點(diǎn)， 則切線的斜率為， ∴， 整理得， ∴， 解得，或， ∴所求的切線為，或． 溫馨提醒：(1)對(duì)于曲線切線方程問(wèn)題的求解，對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，因此求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算原則要熟練掌握．(2)對(duì)于已知的點(diǎn)，應(yīng)首先認(rèn)真審題,對(duì)于確定切線的方程問(wèn)題，要注意區(qū)分“該曲線過(guò)點(diǎn)P的切線方程”與“該曲線在點(diǎn)P處的切線方程”的兩種情況，避免出錯(cuò).從歷年高考題看，“該曲線在點(diǎn)P處的切線方程”問(wèn)題的考查較為普遍. 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 ————近似與精確、有限與無(wú)限——無(wú)限逼近的極限思想 1.由可以知道，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的瞬時(shí)變化率，函數(shù)的瞬時(shí)變化率是平均變化率的極限，充分說(shuō)明極限是人們從近似中認(rèn)識(shí)精確的數(shù)學(xué)方法.極限的實(shí)質(zhì)就是無(wú)限近似的量，向著有限的目標(biāo)無(wú)限逼近而產(chǎn)生量變導(dǎo)致質(zhì)變的結(jié)果，這是極限的實(shí)質(zhì)與精髓，也是導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵. 2.曲線的切線定義，充分體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化及無(wú)限逼近的思想：“兩個(gè)不同的公共點(diǎn)→兩公共點(diǎn)無(wú)限接近→兩公共點(diǎn)重合(切點(diǎn))”“割線→切線”. (1)在求曲線的切線方程時(shí)，注意兩個(gè)“說(shuō)法”：求曲線在點(diǎn)P處的切線方程和求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線方程，在點(diǎn)P處的切線，一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的切線，不論點(diǎn)P在不在曲線上，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)． 【典例】己知曲線存在兩條斜率為3的切線，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ． 【答案】 【解析】 由題意得，的導(dǎo)數(shù)為，由題意可得，即有兩個(gè)不等的正根，則，，，解得．