（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理 10.3 二項(xiàng)式定理講義（含解析）.docx

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10.3二項(xiàng)式定理最新考綱考情考向分析1.了解二項(xiàng)式定理.2.理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).以理解和應(yīng)用二項(xiàng)式定理為主，常考查二項(xiàng)展開式，通項(xiàng)公式以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，賦值法求系數(shù)的和也是考查的熱點(diǎn)；本節(jié)內(nèi)容在高考中以選擇、填空題的形式進(jìn)行考查，難度中檔.1.二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tk1Cankbk，它表示第k1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C(k0，1，2，n)2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)C1，C1.CCC.(2)CC.(3)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.(4)(ab)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和：CCCC2n.概念方法微思考1.(ab)n與(ba)n的展開式有何區(qū)別與聯(lián)系？提示(ab)n的展開式與(ba)n的展開式的項(xiàng)完全相同，但對應(yīng)的項(xiàng)不相同而且兩個(gè)展開式的通項(xiàng)不同.2.二項(xiàng)展開式形式上有什么特點(diǎn)？提示二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從C，C，一直到C，C.3.二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大時(shí)該項(xiàng)的系數(shù)就最大嗎？提示不一定最大，當(dāng)二項(xiàng)式中a，b的系數(shù)為1時(shí)，此時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)等于項(xiàng)的系數(shù)，否則不一定.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)Cankbk是二項(xiàng)展開式的第k項(xiàng).()(2)二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng).()(3)(ab)n的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無關(guān).()(4)(ab)n的展開式第k1項(xiàng)的系數(shù)為Cankbk.()(5)(x1)n的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為2n.()題組二教材改編2.P31例2(2)(12x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于()A.80B.40C.20D.10答案B解析Tk1C(2x)kC2kxk，當(dāng)k2時(shí)，x2的系數(shù)為C2240.3.P31例2(2)若n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A.10B.20C.30D.120答案B解析二項(xiàng)式系數(shù)之和2n64，所以n6，Tk1Cx6kkCx62k，當(dāng)62k0，即當(dāng)k3時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，T4C20.4.P41B組T5若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則a0a2a4的值為()A.9B.8C.7D.6答案B解析令x1，則a0a1a2a3a40，令x1，則a0a1a2a3a416，兩式相加得a0a2a48.題組三易錯(cuò)自糾5.(xy)n的二項(xiàng)展開式中，第m項(xiàng)的系數(shù)是()A.CB.CC.CD.(1)m1C答案D解析(xy)n二項(xiàng)展開式第m項(xiàng)的通項(xiàng)公式為TmC(y)m1xnm1，所以系數(shù)為C(1)m1.6.已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若數(shù)列a1，a2，a3，ak(1k11，kN*)是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是()A.5B.6C.7D.8答案B解析由二項(xiàng)式定理知，anC(n1，2，3，11).又(x1)10展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第6項(xiàng)，所以a6C，則k的最大值為6.7.(xy)4的展開式中，x3y3項(xiàng)的系數(shù)為_.答案6解析二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是Tk1C(x)4k(y)k，令423，解得k2，故展開式中x3y3的系數(shù)為(1)2C6.題型一二項(xiàng)展開式命題點(diǎn)1求指定項(xiàng)(或系數(shù))例1(1)(1x)6的展開式中x2的系數(shù)為()A.15B.20C.30D.35答案C解析因?yàn)?1x)6的通項(xiàng)為Cxk，所以(1x)6的展開式中含x2的項(xiàng)為1Cx2和Cx4.因?yàn)镃C2C230，所以(1x)6的展開式中x2的系數(shù)為30.故選C.(2)(2018溫州市高考適應(yīng)性測試)在9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是()A.CB.CC.8CD.8C答案D解析二項(xiàng)式9的展開式的通項(xiàng)公式為C9k(2x)k，令0，得k3，則二項(xiàng)式9的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(2)3C8C，故選D.(3)(x2xy)4的展開式中，x3y2的系數(shù)是_.答案12解析方法一(x2xy)4(x2x)y4，其展開式的第k1項(xiàng)的通項(xiàng)公式為Tk1C(x2x)4kyk，因?yàn)橐髕3y2的系數(shù)，所以k2，所以T3C(x2x)42y26(x2x)2y2.因?yàn)?x2x)2的展開式中x3的系數(shù)為2，所以x3y2的系數(shù)是6212.方法二(x2xy)4表示4個(gè)因式x2xy的乘積，在這4個(gè)因式中，有2個(gè)因式選y，其余的2個(gè)因式中有一個(gè)選x，剩下的一個(gè)選x2，即可得到含x3y2的項(xiàng)，故x3y2的系數(shù)是CCC12.命題點(diǎn)2求參數(shù)例2(1)若(x2a)10的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于()A.B.C.1D.2答案D解析由題意得10的展開式的通項(xiàng)公式是Tk1Cx10kkCx102k，10的展開式中含x4(當(dāng)k3時(shí))，x6(當(dāng)k2時(shí))項(xiàng)的系數(shù)分別為C，C，因此由題意得CaC12045a30，由此解得a2，故選D.(2)若6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則實(shí)數(shù)a的值為()A.2B.C.2D.答案A解析6的展開式的通項(xiàng)為Tk1C(x2)6kkCkx123k，令123k0，得k4.故C4，即4，解得a2，故選A.思維升華求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k1，代回通項(xiàng)公式即可.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2018浙江七彩陽光聯(lián)盟聯(lián)考)(1x)6的展開式中x3的系數(shù)為_.答案14解析在(1x)6的展開式中x3的系數(shù)為C20，(1x)6的展開式中x3的系數(shù)為C6，所以(1x)6的展開式中x3的系數(shù)為20614.(2)(2018麗水、衢州、湖州三地教學(xué)質(zhì)量檢測)若6的展開式中x3的系數(shù)為12，則a_；常數(shù)項(xiàng)是_.答案260解析由于二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk1Cx6kk(a)kCx63k，令63k3，則k1，所以(a)C6a12，a2；令63k0，則k2，所以常數(shù)項(xiàng)是(2)2C41560.題型二二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)的系數(shù)和問題例3(1)(ax)(1x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a_.答案3解析設(shè)(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展開式中x的奇數(shù)次冪的系數(shù)之和為a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3.(2)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，則實(shí)數(shù)m的值為_.答案1或3解析令x0，則(2m)9a0a1a2a9，令x2，則m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.(3)若n的展開式中含x的項(xiàng)為第6項(xiàng)，設(shè)(13x)na0a1xa2x2anxn，則a1a2an的值為_.答案255解析n展開式的第k1項(xiàng)為Tk1C(x2)nkkC(1)kx2n3k，當(dāng)k5時(shí)，2n3k1，n8.對(13x)8a0a1xa2x2a8x8，令x1，得a0a1a828256.又當(dāng)x0時(shí)，a01，a1a2a8255.思維升華 (1)“賦值法”普遍適用于恒等式，對形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，b，cR)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法.(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5.跟蹤訓(xùn)練2已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71094.(3)()2，得a0a2a4a61093.(4)方法一(12x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1093(1094)2187.方法二|a0|a1|a2|a7|即為(12x)7展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和，令x1，|a0|a1|a2|a7|372187.題型三二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例4(1)設(shè)aZ且0a13，若512012a能被13整除，則a等于()A.0B.1C.11D.12答案D解析512012a(521)2012aC522012C522011C52(1)2011C(1)2012a，C522012C522011C52(1)2011能被13整除且512012a能被13整除，C(1)2012a1a也能被13整除，因此a的值為12.(2)設(shè)復(fù)數(shù)x(i是虛數(shù)單位)，則CxCx2Cx3Cx2017等于()A.iB.iC.1iD.1i答案C解析x1i，CxCx2Cx3Cx2017(1x)20171i20171i1.思維升華 (1)逆用二項(xiàng)式定理的關(guān)鍵根據(jù)所給式子的特點(diǎn)結(jié)合二項(xiàng)展開式的要求，使之具備二項(xiàng)式定理右邊的結(jié)構(gòu)，然后逆用二項(xiàng)式定理求解.(2)利用二項(xiàng)式定理解決整除問題的思路觀察除式與被除式間的關(guān)系；將被除式拆成二項(xiàng)式；結(jié)合二項(xiàng)式定理得出結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練3(1)190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余數(shù)是()A.1B.1C.87D.87答案B解析190C902C903C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10項(xiàng)均能被88整除，余數(shù)是1.(2)若(12x)2018a0a1xa2x2a2018x2018，則_.答案1解析當(dāng)x0時(shí)，左邊1，右邊a0，a01.當(dāng)x時(shí)，左邊0，右邊a0，01，即1.1.在6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為()A.240B.60C.60D.240答案D解析6的展開式中，通項(xiàng)公式為Tk1C(x2)6kk(2)kCx123k，令123k0，得k4，故常數(shù)項(xiàng)為T5(2)4C240，故選D.2.(2018杭州質(zhì)檢)二項(xiàng)式5的展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)是()A.80B.48C.40D.80答案D解析5展開式的通項(xiàng)為Tk1C(2x)5kk(1)k25kCx52k，52k3，則k1，含x3的項(xiàng)為T2(1)124Cx380x3，其中系數(shù)為80，故選D.3.(xy)(2xy)6的展開式中x4y3的系數(shù)為()A.80B.40C.40D.80答案D解析(2xy)6的展開式的通項(xiàng)公式為Tk1C(2x)6k(y)k，當(dāng)k2時(shí)，T3240x4y2，當(dāng)k3時(shí)，T4160x3y3，故x4y3的系數(shù)為24016080，故選D.4.(13x)n的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則x4的二項(xiàng)式系數(shù)為()A.21B.35C.45D.28答案B解析Tk1C(3x)k3kCxk，由已知得35C36C，即C3C，n7，因此，x4的二項(xiàng)式系數(shù)為C35，故選B.5.(2018浙江省考前熱身聯(lián)考)3展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A.120B.160C.200D.240答案B解析36，展開式的通項(xiàng)為Tk1C6k(2x)kC2kx2k6，令2k60，可得k3，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為160.6.若在(x1)4(ax1)的展開式中，x4項(xiàng)的系數(shù)為15，則a的值為()A.4B.C.4D.答案C解析(x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，x4項(xiàng)的系數(shù)為4a115，a4.7.(2018浙江省重點(diǎn)中學(xué)高三調(diào)研)9的展開式中，除常數(shù)項(xiàng)外，各項(xiàng)系數(shù)的和為()A.671B.671C.672D.673答案B解析令x1，可得該二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為1.因?yàn)樵摱?xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tk1C9k(2x2)kC(2)kx3k9，令3k90，得k3，所以該二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C(2)3672，所以除常數(shù)項(xiàng)外，各項(xiàng)系數(shù)的和為1(672)671，故選B.8.若(13x)2018a0a1xa2018x2018，xR，則a13a232a201832018的值為()A.220181B.820181C.22018D.82018答案B解析由已知，令x0，得a01，令x3，得a0a13a232a201832018(19)201882018，所以a13a232a20183201882018a0820181，故選B.9.(2018紹興諸暨期末)已知(2x1)6a6(x1)6a5(x1)5a4(x1)4a1(x1)a0，則a0a1a2a6_，a2_.答案160解析令x0，即得16a6a5a1a0，又(2x1)62(x1)16的展開式的通項(xiàng)為Tk1C2(x1)6k(1)k，則a2C22(1)460.10.(2018杭州四校聯(lián)考)已知n的展開式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n_；若含x8項(xiàng)的系數(shù)為，則常數(shù)項(xiàng)為_.答案12解析因?yàn)檎归_式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開式共有13項(xiàng)，n12，則二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk1令12k8，得k3，所以Ca9，得a9，得a9，即a.令12k0，得k9，故常數(shù)項(xiàng)為T10Ca33.11.9192除以100的余數(shù)是_.答案81解析9192(901)92C9092C9091C902(C90C)k10092901k1008210081(k為正整數(shù))，所以9192除以100的余數(shù)是81.12.若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，則a2a4a12_.(用數(shù)字作答)答案364解析令x1，得a0a1a2a1236，令x1，得a0a1a2a121，a0a2a4a12.令x0，得a01，a2a4a121364.13.(2014浙江)在(1x)6(1y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m，n)，則f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)等于()A.45B.60C.120D.210答案C解析因?yàn)閒(m，n)CC，所以f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)CCCCCCCC120.14.已知n(nN*)的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和、系數(shù)之和分別為p，q，則p64q的最小值為_.答案16解析顯然p2n.令x1，得q.所以p64q2n216，當(dāng)且僅當(dāng)2n，即n3時(shí)取等號，此時(shí)p64q的最小值為16.15.(2018金華模擬)若(32x)10a0a1xa2x2a3x3a10x10，則a12a23a34a410a10_.答案20解析對原等式兩邊求導(dǎo)，得20(32x)9a12a2x3a3x210a10x9，令x1，得a12a23a34a410a1020.16.若n展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為163，求：(1)展開式中所有x的有理項(xiàng)；(2)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).解易求得展開式前三項(xiàng)的系數(shù)為1，2C，4C.由題意得12C4C163，可得n9.(1)設(shè)展開式中的有理項(xiàng)為Tk1，由Tk1C()9kk又0k9，k2，6.故有理項(xiàng)為T3144x3，(2)設(shè)展開式中Tk1項(xiàng)的系數(shù)最大，則k，又kN，k6，故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T75376.