（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何單元過(guò)關(guān)檢測(cè) 文.doc

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第八章 平面解析幾何 單元過(guò)關(guān)檢測(cè)(八) (120分鐘　150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.過(guò)點(diǎn)(-1,3)且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為 (　　) A.2x+y-1=0　　　　 B.2x+y-5=0 C.x+2y-5=0 D.x-2y+7=0 【解析】選A.設(shè)所求直線方程為2x+y+m=0,因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,3),所以2(-1)+3+m=0,所以m=-1,所以所求直線方程為2x+y-1=0. 2.已知P1(a1,b1)與P2(a2,b2)是直線y=kx+1(k為常數(shù))上兩個(gè)不同的點(diǎn),則關(guān)于x和y的方程組的解的情況是 (　　) A.無(wú)論k,P1,P2如何,總是無(wú)解 B.無(wú)論k,P1,P2如何,總有唯一解 C.存在k,P1,P2,使之恰有兩解 D.存在k,P1,P2,使之有無(wú)窮多解 【解析】選B.由題意,直線y=kx+1一定不過(guò)原點(diǎn)O,P,Q是直線y=kx+1上不同的兩點(diǎn),則與不平行,因此a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程組 一定有唯一解. 3.點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是 (　　) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 【解析】選A.設(shè)圓上任意一點(diǎn)N(x0,y0), 線段PN的中點(diǎn)M(x,y). 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得x=,y=, 化簡(jiǎn)得x0=2x-4,y0=2y+2. 因?yàn)辄c(diǎn)N(x0,y0)在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng), 所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4, 化簡(jiǎn)得(x-2)2+(y+1)2=1. 【變式備選】當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(a-1)x-y+a+1=0恒過(guò)定點(diǎn)C,則以C為圓心,半徑為的圓的方程為 (　　) A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0 【解析】選C.該直線可整理為a(x+1)+(-x-y+1)=0,故定點(diǎn)C為(-1,2),所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0. 4.圓x2+y2-2x-1=0關(guān)于直線2x-y+3=0對(duì)稱(chēng)的圓的方程是 (　　) A.(x+3)2+(y-2)2= B.(x-3)2+(y+2)2= C.(x+3)2+(y-2)2=2 D.(x-3)2+(y+2)2=2 【解析】選C.圓x2+y2-2x-1=0?(x-1)2+y2=2,圓心(1,0),半徑,關(guān)于直線2x-y+3=0對(duì)稱(chēng)的圓半徑不變,排除A,B,兩圓圓心連線段的中點(diǎn)在直線2x-y+3=0上,C中圓(x+3)2+(y-2)2=2的圓心為(-3,2),驗(yàn)證適合. 5.已知點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B是圓F:x2-2x+y2-11=0(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 (　　) A.+=1 B.-=1 C.-=1 D.+=1 【解析】選D.由題意可知|PA|+|PF|=|BF|=2,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A,F為焦點(diǎn),以2為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓,所以它的軌跡方程為+=1. 6.若直線+=1通過(guò)點(diǎn)M(cos α,sin α),則 (　　) A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C.+≤1 D.+≥1 【解析】選D.因?yàn)橹本€+=1通過(guò)點(diǎn)M(cos α,sin α),所以+=1,所以+=+++≥++2==1. 7.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線 (　　) A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.有無(wú)窮多條 D.不存在 【解析】選B.y2=4x的焦點(diǎn)是(1,0),設(shè)直線方程為y=k(x-1),k≠0,(1) 將(1)代入拋物線方程可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x顯然有兩個(gè)實(shí)根,且都大于0,它們的橫坐標(biāo)之和是=5?3k2=4?k=. 8.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為右支上一點(diǎn),點(diǎn)Q滿足=λ1(λ1>0)且||=2a,=λ2,=0,則|OT|的值為 (　　) A.4a　　　　 B.2a　　 　　C.a　　 　　D. 【解析】選C.由題知Q,F1,P三點(diǎn)共線,F2,T,Q三點(diǎn)共線. 因?yàn)閨PF1|-|PF2|=2a=|F1Q|,所以|PQ|=|PF2|,又PT⊥QF2,所以T為等腰三角形QPF2底邊QF2的中點(diǎn),連接OT,則OT為△F1QF2的中位線,所以|OT|=a. 9.如圖F1,F2是橢圓C1:+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點(diǎn),若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選D.因?yàn)镕1,F2是橢圓C1:+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),所以c=, 由橢圓、雙曲線的定義可知|AF1|+|AF2|=4,|AF2|-|AF1|=2a,所以|AF2|=2+a, |AF1|=2-a,又因?yàn)樗倪呅蜛F1BF2為矩形,所以AF1⊥AF2,所以(2+a)2+(2-a)2= (2)2,解得a=,所以C2的離心率是e==. 10.已知拋物線C:y2=2px(00,所以當(dāng)且僅當(dāng)x=-(p-4)時(shí),|PA|取得最小值,所以16-(p-4)2=15,解得p=3,所以拋物線的焦點(diǎn)為F,B(3,3),所以|BF|=. 11.已知雙曲線x2-=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則的最小值為 (　　) A.-2 B.- C.1 D.0 【解析】選A.設(shè)點(diǎn)P(x,y),其中x≥1. 依題意得A1(-1,0),F2(2,0), 則有=x2-1,y2=3(x2-1), =(-1-x,-y)(2-x,-y) =(x+1)(x-2)+y2 =x2+3(x2-1)-x-2 =4x2-x-5=4-,其中x≥1. 因此,當(dāng)x=1時(shí),取得最小值-2. 12.已知以T=4為周期的函數(shù)f(x)=其中m>0.若方程3f(x)=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解,則m的取值范圍為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選B.令y=f(x).因?yàn)楫?dāng)x∈[-1,1]時(shí),將函數(shù)化為方程x2+=1(y≥0),實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半橢圓,其圖象如圖所示,同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x∈(1,3]的圖象,再根據(jù)周期性作出函數(shù)其他部分的圖象,由圖易知直線y=與第二個(gè)半橢圓(x-4)2+=1(y≥0)相交,而與第三個(gè)半橢圓(x-8)2+=1(y≥0)無(wú)公共點(diǎn)時(shí),方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解,將y=代入(x-4)2+=1(y≥0)得(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0,令t=9m2(t>0)則(t+1)x2-8tx+15t=0,由Δ1=(-8t)2-415t(t+1)>0,得t>15,且m>0得m>. 同樣由y=與第三個(gè)半橢圓(x-8)2+=1(y≥0)無(wú)公共點(diǎn),由Δ2<0可計(jì)算m<,綜上知m∈ . 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上) 13.已知F是橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn)P,使得直線PF與圓x2+y2=b2相切,當(dāng)直線PF的傾斜角為時(shí),此橢圓的離心率是________. 【解析】設(shè)直線PF與圓x2+y2=b2的切點(diǎn)為M,則依題意得OM⊥MF,因?yàn)橹本€PF的傾斜角為, 所以∠OFP=,所以sin==,橢圓的離心率e=====. 答案: 【一題多解】依題意可知PF:y=-(x+c),又O到PF的距離為b,即=b,所以=b2=a2-c2, 所以4a2=7c2,所以e==. 答案: 14.已知F為雙曲線C:-=1的左焦點(diǎn),P,Q為C上的點(diǎn),若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍,點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上,則△PQF的周長(zhǎng)為_(kāi)_______. 【解析】由題意可知|PQ|=16,因?yàn)镕,A分別是左右焦點(diǎn),所以由雙曲線的定義得△PQF的周長(zhǎng)為|PF|+|QF|+|PQ|=23+|QA|+23+|PA|+|PQ|=12+216=44. 答案:44 15.已知拋物線y2=8x的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn), 且雙曲線的離心率為2, 則該雙曲線的方程為_(kāi)_______. 【解析】拋物線y2=8x的準(zhǔn)線為x=-2,所以雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(-2,0),c=2,因?yàn)殡p曲線的離心率為2,所以e==2,所以a=1,b=,所以雙曲線的方程為x2-=1. 答案:x2-=1 16.設(shè)直線系M:xcos θ+(y-2)sin θ=1(0≤θ≤2π),對(duì)于下列四個(gè)命題: ①M(fèi)中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn); ②存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上; ③對(duì)于任意整數(shù)n(n≥3),存在正n邊形,其所有邊均在M中的直線上; ④M中的直線所能?chē)傻恼切蚊娣e都相等. 其中真命題的序號(hào)是________(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)). 【解析】對(duì)于①,由已知點(diǎn)(cos θ,2+sin θ)總在直線系上,但是這個(gè)點(diǎn)不是定點(diǎn),所以①錯(cuò)誤;對(duì)于②,點(diǎn)P(0,2)不在M中的任一條直線上,所以②真;對(duì)于③,定點(diǎn)P(0,2)到直線系M:xcos θ+(y-2)sin θ=1(0≤θ≤2π)的距離為d==1,這就是說(shuō)圓x2+(y-2)2=1與直線系M:xcos θ+(y-2)sin θ =1(0≤θ≤2π)總相切,所以存在正n邊形,其所有邊均在M中直線上,使這正n邊形的內(nèi)切圓為這個(gè)圓,所以③正確;對(duì)于④,由③可知M中的直線所能?chē)傻恼切蔚倪呴L(zhǎng)不一定相等,所以面積不一定相等. 答案:②③ 三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17.(10分)圓M和圓P:x2+y2-2x-10=0相內(nèi)切,且過(guò)定點(diǎn)Q(-,0). (1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程. (2)斜率為的直線l與動(dòng)圓圓心M的軌跡交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn),求直線l的方程. 【解析】(1)由已知|MP|=2-|MQ|, 即|MP|+|MQ|=2, 且2大于|PQ|, 所以M的軌跡是以(-,0),(,0)為焦點(diǎn),2為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓,其方程為+y2=1. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為y=x+m,代入橢圓方程得10x2+6mx+3m2-3=0, 所以x1+x2=-m, 則AB的中點(diǎn)為, AB的垂直平分線方程為 y-m=-, 將代入得m=, 所以直線l的方程為y=x+. 18.(12分)(2017江蘇高考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:+ =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1, F2,離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓E上,且位于第一象限,過(guò)點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1,過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2. (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)若直線l1,l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上,求點(diǎn)P的坐標(biāo). 【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為c. 因?yàn)闄E圓E的離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8,所以=,=8, 解得a=2,c=1,于是b==, 因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1. (2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0). 設(shè)P(x0,y0),因?yàn)辄c(diǎn)P為第一象限的點(diǎn),故x0>0,y0>0. 當(dāng)x0=1時(shí),l2與l1相交于F1,與題設(shè)不符. 當(dāng)x0≠1時(shí),直線PF1的斜率為,直線PF2的斜率為. 因?yàn)閘1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直線l1的斜率為-,直線l2的斜率為-, 從而直線l1的方程為:y=-(x+1), ① 直線l2的方程為:y=-(x-1). ② 由①②,解得x=-x0,y=, 所以Q. 因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上,由對(duì)稱(chēng)性,得=y0,即-=1或+=1. 又P在橢圓E上,故+=1. 由解得x0=,y0=; 無(wú)解. 因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 19.(12分)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T. (1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo). (2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,且與直線l交于點(diǎn)P.證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA||PB|,并求λ的值. 【解題指南】(1)利用直線和橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),聯(lián)立方程,方程由兩個(gè)相等的實(shí)根,解出b2的值,從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)利用橢圓的幾何性質(zhì),數(shù)形結(jié)合及根與系數(shù)的關(guān)系,進(jìn)行求解. 【解析】(1)由已知得,a=b, 則橢圓E的方程為+=1, 由方程組得3x2-12x+(18-2b2)=0①,方程①根的判別式為Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,此方程①的解為x=2, 所以橢圓E的方程為+=1. 點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,1). (2)由已知可設(shè)直線l′的方程為y=x+m(m≠0), 由可得3x2+4mx+(4m2-12)=0②,所以Δ=16(9-2m2)>0, 解得-0)于A,B兩點(diǎn),直線l2:x=-2交x軸于點(diǎn)Q. (1)設(shè)直線QA,QB的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值. (2)點(diǎn)P為拋物線C上異于A,B的任意一點(diǎn),直線PA,PB交直線l2于M,N兩點(diǎn),=2,求拋物線C的方程. 【解析】(1)設(shè)直線l1的方程為x=my+2,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2). 聯(lián)立方程得y2-2pmy-4p=0, 則y1+y2=2pm,y1y2=-4p. k1+k2=+ =+ = = =0. (2)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),直線PA:y-y1=(x-x1), 當(dāng)x=-2時(shí),yM=, 同理yN=. 因?yàn)?2, 所以4+yNyM=2, 即 = = ==-2, 故p=,所以拋物線C的方程為y2=x.