2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破二 焦點(diǎn)弦的性質(zhì)學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

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專題突破二焦點(diǎn)弦的性質(zhì)拋物線的焦點(diǎn)弦是考試的熱點(diǎn)，有關(guān)拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)較為豐富，對(duì)拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)進(jìn)行研究獲得一些重要結(jié)論，往往能給解題帶來新思路，有利于解題過程的優(yōu)化一、焦點(diǎn)弦性質(zhì)的推導(dǎo)例1拋物線y22px(p0)，設(shè)AB是拋物線的過焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，A，B在準(zhǔn)線上的射影為A1，B1.證明：(1)x1x2，y1y2p2；(2)若直線AB的傾斜角為，則|AF|，|BF|；(3)|AB|x1x2p(其中為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長為2p，通徑是最短的焦點(diǎn)弦；(4)為定值；(5)SOAB(為直線AB的傾斜角)；(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題證明(1)當(dāng)ABx軸時(shí)，不妨設(shè)A，B，y1y2p2，x1x2.當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)為k(k0)，則直線AB的方程為yk，代入拋物線方程y22px，消元得y22p，即y2p20，y1y2p2，x1x2.(2)當(dāng)90時(shí)，過A作AGx軸，交x軸于G，由拋物線定義知|AF|AA1|，在RtAFG中，|FG|AF|cos，由圖知|GG1|AA1|，則p|AF|cos|AF|，得|AF|，同理得|BF|；當(dāng)90時(shí)，可知|AF|BF|p，對(duì)于|AF|，|BF|亦成立，|AF|，|BF|.(3)|AB|AF|BF|x1x2p2p，當(dāng)且僅當(dāng)90時(shí)取等號(hào)故通徑長2p為最短的焦點(diǎn)弦長(4)由(2)可得，.(5)當(dāng)90時(shí)，SOAB2p，故滿足SOAB；當(dāng)90時(shí)，設(shè)直線AB：ytan，原點(diǎn)O到直線AB的距離dsin，SOAB|AB|sin.(6)如圖：M的直徑為AB，過圓心M作MM1垂直于準(zhǔn)線于M1，則|MM1|，故以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切二、焦點(diǎn)弦性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為()A.B.C.D.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案D解析方法一由題意可知，直線AB的方程為y，代入拋物線的方程可得4y212y90，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y23，y1y2，故所求三角形的面積為.方法二運(yùn)用焦點(diǎn)弦傾斜角相關(guān)的面積公式，則SOAB.(2)已知F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|DE|的最小值為()A16B14C12D10考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案A解析方法一拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k，l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y得k2x2(2k24)xk20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，由拋物線的定義可知，|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|444k2848816，當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k1時(shí)取等號(hào)，故|AB|DE|的最小值為16.方法二運(yùn)用焦點(diǎn)弦的傾斜角公式，注意到兩條弦互相垂直，因此|AB|DE|16.點(diǎn)評(píng)上述兩道題目均是研究拋物線的焦點(diǎn)弦問題，涉及拋物線焦點(diǎn)弦長度與三角形面積，從高考客觀題快速解答的要求來看，常規(guī)解法顯然小題大做了，而利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)，可以快速解決此類小題跟蹤訓(xùn)練1(1)過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|AF|3，則AOB的面積為()A.B.C.D2考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析方法一設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|3及拋物線定義可得，x113，x12，取A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，則直線AB的斜率k2，直線AB的方程為y2(x1)，即2xy20，則點(diǎn)O到該直線的距離d.由消去y得，2x25x20，解得x12，x2，|BF|x21，|AB|3，SAOB|AB|d.方法二設(shè)直線的傾斜角為，不妨設(shè)0，|AF|3，cos，SAOB.(2)過拋物線y22x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|，|AF|BF|，則|AF|_.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案解析方法一設(shè)直線的傾斜角為，不妨設(shè)0，|AB|，sin2，則cos ，又|AF|BF|，|AF|.方法二由于y22x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題干知A，B所在直線的斜率存在，設(shè)A，B所在直線的方程為yk，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x10)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若PF與FQ的長分別為p，q，則等于()A.B.C2aD4a考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析可采用特殊值法，設(shè)PQ過焦點(diǎn)F且垂直于x軸，則|PF|pxP，|QF|q，.3過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AF|BF|，則的值為()A3B2C.D.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案A解析由拋物線的性質(zhì)可知，|AF|，|BF|，3.4已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yy的最小值為()A4B6C8D10考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案C解析由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)知，y1y24，即|y1|y2|4，則yy2|y1|y2|8，當(dāng)且僅當(dāng)|y1|y2|2時(shí)，取等號(hào)故yy的最小值為8.5.如圖，過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|3|BF|，且|AF|4，則p的值為()A.B2C.D.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案C解析設(shè)直線l的傾斜角為，由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)知，|BF|，|AF|，解得6.已知拋物線y24x，圓F：(x1)2y21，過點(diǎn)F作直線l，自上而下順次與上述兩曲線交于點(diǎn)A，B，C，D(如圖所示)，則下列關(guān)于|AB|CD|的值的說法中，正確的是()A等于1B等于4C最小值是1D最大值是4考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案A解析設(shè)直線l：xty1，代入拋物線方程，得y24ty40.設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，根據(jù)拋物線的定義知，|AF|x11，|DF|x21，故|AB|x1，|CD|x2，所以|AB|CD|x1x2，而y1y24，故|AB|CD|1.7設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與C交于A，B兩點(diǎn)若|AF|3|BF|，則l的方程為()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或y(x1)考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案C解析當(dāng)cos0時(shí)，|AF|，|BF|，|AF|3|BF|，cos，則tan，l的方程為y(x1)，當(dāng)cos0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義可知y1y2p8，又AB的中點(diǎn)到x軸的距離為3，y1y26，p2，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24y.(2)由題意知，直線m的斜率存在，設(shè)直線m：ykx6(k0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由消去y得x24kx240，(*)易知拋物線在點(diǎn)P處的切線方程為y(xx3)，令y1，得x，R，又Q，F(xiàn)，R三點(diǎn)共線，kQFkFR，又F(0,1)，即(x4)(x4)16x3x40，整理得(x3x4)24(x3x4)22x3x41616x3x40，將(*)式代入上式得k2，k，直線m的方程為yx6.