（天津?qū)０妫?018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題10 二項(xiàng)式定理 理.doc

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母題十 二項(xiàng)式定理 【母題原題1】【2018天津，理10】 在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 ． 【答案】 【名師點(diǎn)睛】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中和的隱含條件，即均為非負(fù)整數(shù)，且，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)． 【母題原題2】【2016天津，理10】 的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為_(kāi)_________．(用數(shù)字作答) 【答案】 【解析】展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，，所以的．故答案為． 【母題原題3】【2015天津，理12】在 的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 ． 【答案】 【命題意圖】本類題主要考查二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力和基本計(jì)算能力． 【命題規(guī)律】高考對(duì)二項(xiàng)式定理的考查主要考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)等，同時(shí)考查賦值法與整體法的應(yīng)用，題型多以選擇題、填空題的形式考查． 【答題模板】解答本類題目，以2018年高考題為例，一般考慮如下三步： 第一步：首先求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng) 展開(kāi)式通項(xiàng)為； 第二步：根據(jù)已知求 令可得：， 第三步：得出結(jié)論 的系數(shù)為：． 【方法總結(jié)】 1．熟記二項(xiàng)式定理及通項(xiàng) （1）定理 公式叫做二項(xiàng)式定理． （2）通項(xiàng) 為展開(kāi)式的第項(xiàng)． 2．活用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) （1）對(duì)稱性：與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即． （2）增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的． 當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值． 當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值． （3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和 的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，即． 二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即． 3．求展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)：如求的展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)分別為，且第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用從而解出來(lái)，即得． 4．“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如、的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對(duì)形如的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令即可． 5．若，則： 展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為， 奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為， 偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為． 6．某一項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中字母前面的常數(shù)值(包括正負(fù)符號(hào))，它與的取值有關(guān)，而二項(xiàng)式系數(shù)與的取值無(wú)關(guān)． 1．【2018天津耀華一模】在展開(kāi)式所得的的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)有（ ） A．16項(xiàng) B．17項(xiàng) C．24項(xiàng) D．50項(xiàng) 【答案】B 【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，其中r=0，1，2…100， 要使系數(shù)為有理數(shù)則需要r是6的倍數(shù)， ∴r=0，6，16，18，…96共17個(gè)值， 故系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)有17項(xiàng)． 本題選擇B選項(xiàng)． 【名師點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)． 2．【2018江西六校聯(lián)考】已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足．若展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)等于數(shù)列的第三項(xiàng)，則的值為（　?。? A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】D 3．【2018北京海淀模擬】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第二項(xiàng)是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根據(jù)展開(kāi)式通項(xiàng)可得： 4．【2018廣東陽(yáng)揭二?！恳阎恼归_(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，則的值為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：首先寫出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程即可求得最終結(jié)果． 詳解： 展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為： ， 令可得： ，結(jié)合題意可得： ，即．本題選擇C選項(xiàng)． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力． 5．【2018華大新高考聯(lián)盟4月卷】展開(kāi)式中除—次項(xiàng)外的各項(xiàng)系數(shù)的和為（ ） A．121 B． C．61 D． 【答案】B 【解析】因?yàn)檎归_(kāi)式中—次項(xiàng)系數(shù)為 所以展開(kāi)式中除—次項(xiàng)外的各項(xiàng)系數(shù)的和為，選B． 【名師點(diǎn)睛】 “賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法， 只需令即可；對(duì)形如的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令即可． 6．【2018河北衡水信息卷三】已知，，若，則在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 7．【2018湖北荊州三?！恳阎?，則 A．?5 B．?20 C．15 D．35 【答案】A 【解析】在中，令得， ∴．∴．又展開(kāi)式的通項(xiàng)為，∴．選A． 8．【2018全國(guó)名校聯(lián)盟（五）】已知的展開(kāi)式的系數(shù)和比的展開(kāi)式系數(shù)和大，則的展開(kāi)式中含有的項(xiàng)為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取則的展開(kāi)式的系數(shù)和為，同理，在的展開(kāi)式中令，則的展開(kāi)式系數(shù)和為，故， 則的展開(kāi)式中含有的項(xiàng)是第六項(xiàng)： ，故選． 9．【2018天津三?！吭O(shè)，則 __________． 【答案】211 【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理、賦值法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和基本計(jì)算能力． 10．【2018天津市十二校二?！咳簦ㄆ渲校瑒t的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________． 【答案】280 【解析】分析：利用微積分基本定理，求得，可得二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)為令得進(jìn)而可得結(jié)果． 詳解：因?yàn)? ，所以，展開(kāi)式的通項(xiàng)為令得所以，的展開(kāi)式中的系數(shù)為，故答案為． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題．二項(xiàng)展開(kāi)式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開(kāi)式定理的應(yīng)用． 11．【2018天津部分區(qū)期末考試】在的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________．（用數(shù)字作答） 【答案】240 12．【2018天津一中模擬三】的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)是__________． 【答案】128 【解析】∵的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是，且，∴，當(dāng)時(shí)， ，∴的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)是，故答案為128． 13．【2018天津一中模擬五】已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是__________． 【答案】 【解析】試題分析：由題意可得：， 所以，令，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是10． 14．【2018天津市耀華模擬（三）】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________． 【答案】-160 【解析】二項(xiàng)式的通，項(xiàng)為，令，則，，故正確答案為． 15．【2018河南鄭州模擬】若的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______． 【答案】． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題．二項(xiàng)展開(kāi)式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開(kāi)式定理的應(yīng)用． 16．【2018天津?yàn)I海新區(qū)模擬】在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是______ 【答案】 【解析】分析：先求得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令的冪指數(shù)等于7，求得r的值，即可求得含項(xiàng)的系數(shù)值． 詳解：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，可得展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是，故答案是-5． 【名師點(diǎn)睛】根據(jù)所給的二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式寫出第r+1項(xiàng)，整理成最簡(jiǎn)形式，令x的指數(shù)為7求得r，再代入系數(shù)求出結(jié)果，所以解決該題的關(guān)鍵就是通項(xiàng)公式． 17．【2018河北衡水金卷調(diào)研（五）】已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是__________． 【答案】-540