（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何初步單元過關(guān)檢測(cè) 文.doc

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第七章 立體幾何初步 單元過關(guān)檢測(cè)(七) (120分鐘　150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.設(shè)a,b是平面α內(nèi)兩條不同的直線,l是平面α外的一條直線,則“l(fā)⊥a,l⊥b”是“l(fā)⊥α”的 (　　) A.充要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選C.若a,b是平面α內(nèi)兩條不同的直線,l是平面α外的一條直線,l⊥a,l⊥b,a∥b,則l可以與平面α斜交,推不出l⊥α.若l⊥α,a,b是平面α內(nèi)兩條不同的直線,l是平面α外的一條直線,則l⊥a,l⊥b.所以“l(fā)⊥a,l⊥b”是“l(fā)⊥α”的必要不充分條件. 2.關(guān)于空間兩條直線a,b和平面α,下列命題正確的是 (　　) A.若a∥b,b?α,則a∥α B.若a∥α,b?α,則a∥b C.若a∥α,b∥α,則a∥b D.若a⊥α,b⊥α,則a∥b 【解析】選D.線面平行的判定定理中的條件要求a?α,故A錯(cuò);對(duì)于線面平行,這條直線與面內(nèi)的直線的位置關(guān)系可以平行,也可以異面,故B錯(cuò);平行于同一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系:平行、相交、異面都有可能,故C錯(cuò);垂直于同一個(gè)平面的兩條直線是平行的,故D正確. 3.將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐,得到的幾何體如圖所示,則該幾何體的側(cè)視圖為 (　　) 【解析】選D.所得幾何體的輪廓線中,除長(zhǎng)方體原有的棱外,有兩條是原長(zhǎng)方體的面對(duì)角線,它們?cè)趥?cè)視圖中落在矩形的兩條邊上,另一條是原長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,在側(cè)視圖中體現(xiàn)為矩形的自左下至右上的一條對(duì)角線,因不可見,故用虛線表示. 4.(2018黃山模擬)已知正方體被過一面對(duì)角線和它對(duì)面兩棱中點(diǎn)組成的平面截去一個(gè)三棱臺(tái)后的幾何體的正視圖和俯視圖如圖所示,則它的側(cè)視圖是 (　　) 【解析】選A.如圖,由題意可知截取三棱臺(tái)后的幾何體是七面體,側(cè)視圖的輪廓是正方形,因AP不可見,故而用虛線. 5.如圖是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面展開圖,則多面體ABCDE的體積為 (　　) A.2 B. C. D. 【解析】選D.多面體ABCDE為四棱錐(如圖),利用割補(bǔ)法可得其體積V=4-=. 6.封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8, AA1=3,則V的最大值是 (　　) A.4π B. C.6π D. 【解析】選B.由題意知,底面三角形的內(nèi)切圓直徑為4,三棱柱的高為3,所以球的最大直徑為3,V的最大值為. 7.一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示,則該幾何體的表面積為 (　　) A.16 B.8+8 C.2+2+8 D.4+4+8 【解析】選D.由三視圖知, 該幾何體是底面邊長(zhǎng)為=2的正方形,高PD=2的四棱錐P-ABCD,因?yàn)镻D⊥平面ABCD,且四邊形ABCD是正方形,易得BC⊥PC,BA⊥PA, 又PC===2, 所以S△PCD=S△PAD=22=2, S△PAB=S△PBC=22=2. 所以幾何體的表面積為4+4+8. 8.在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為 (　　) A. B. C. D.2π 【解析】選C.過點(diǎn)C作CE垂直于AD所在直線于點(diǎn)E,梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長(zhǎng)為底面圓半徑,線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長(zhǎng)為底面圓半徑,ED為高的圓錐而成,如圖所示,該幾何體的體積為 V=V圓柱-V圓錐=πAB2BC-πCE2DE=π122-π121=. 9.在正三棱錐S-ABC中,點(diǎn)M是SC的中點(diǎn),且AM⊥SB,底面邊長(zhǎng)AB=2,則正三棱錐S-ABC的外接球的表面積為 (　　) A.6π B.12π C.32π D.36π 【解析】選B.因?yàn)槿忮FS-ABC為正三棱錐,所以SB⊥AC,又AM⊥SB,AC∩AM=A,所以SB⊥平面SAC,所以SB⊥SA,SB⊥SC,同理,SA⊥SC,即SA,SB,SC三線兩兩垂直,且AB=2,所以SA=SB=SC=2,所以(2R)2=322=12,所以球的表面積S= 4πR2=12π. 10.如圖所示,平面四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,將其沿對(duì)角線BD折成四面體A′BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面體A′BCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則該球的體積為 (　　) A.π B.3π C.π D.2π 【解析】選A.如圖所示, 取BD的中點(diǎn)E,BC的中點(diǎn)O,連接A′E,EO,A′O,OD. 因?yàn)槠矫鍭′BD⊥平面BCD,A′E⊥BD, 平面A′BD∩平面BCD=BD, A′E?平面A′BD, 所以A′E⊥平面BCD. 因?yàn)锳′B=A′D=CD=1,BD=, 所以A′E=,EO=,所以O(shè)A′=. 在Rt△BCD中,OB=OC=OD=BC=, 所以四面體A′BCD的外接球的球心為O,球的半徑為,所以V球=π= π. 11.如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45,∠BAD=90,將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD.則在三棱錐A-BCD中,下列命題正確的是 (　　) A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC 【解析】選D.因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45,∠BAD=90,所以BD⊥CD,又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,CD?平面BCD,所以CD⊥平面ABD,則CD⊥AB, 又AD⊥AB,AD∩CD=D,所以AB⊥平面ADC, 又AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC. 12.(2018金華模擬)棱長(zhǎng)為4的正四面體內(nèi)切一球,然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球,則這些小球的最大半徑為(　　) A. B. C. D. 【解析】選B.由于正四面體的棱長(zhǎng)為4,故四個(gè)面的面積都是 (4)2=12, 又頂點(diǎn)A在底面BCD上的投影為底面的中心G,點(diǎn)G到底面三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是4, 由此知頂點(diǎn)A到底面BCD的距離是=4, 此正四面體的體積是124=16, 設(shè)最初正四面體內(nèi)切球半徑為r,則正四面體的體積為r124=16r,故有r=, 故上半部分的以小球?yàn)閮?nèi)切球的三棱錐的高為2,原正四面體的高為4, 所以空隙處放入一個(gè)小球,設(shè)小球的最大半徑為a,=,所以a=. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上) 13.有一塊多邊形的菜地,它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示),∠ABC=45,AB=AD=1,DC⊥BC,則這塊菜地的面積為________. 【解析】如圖,在直觀圖中,過點(diǎn)A作AE⊥BC,垂足為點(diǎn)E, 則在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45,所以BE=. 而四邊形AECD為矩形,AD=1, 所以EC=AD=1,所以BC=BE+EC=+1. 由此可還原原圖形如圖. 在原圖形中,A′D′=1,A′B′=2,B′C′=+1, 且A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′, 所以這塊菜地的面積為 S=(A′D′+B′C′)A′B′ =2=2+. 答案:2+ 14.如圖所示,從棱長(zhǎng)為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD-A1B1C1D1中分離出來由三個(gè)正方形面板組成的幾何圖形.如果用圖示中這樣一個(gè)裝置來盛水,那么最多能盛的水的體積為________ cm3. 【解析】最多能盛多少水,實(shí)際上是求三棱錐C1-CD1B1的體積. 又= =6=36(cm3), 所以用圖示中這樣一個(gè)裝置來盛水,最多能盛36 cm3體積的水. 答案:36 15.已知幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm). 則這個(gè)幾何體的表面積為________,體積為________. 【解析】這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示. 這個(gè)幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單組合體,它的下部是一個(gè)圓柱(底面半徑為1 cm,高為 2 cm),它的上部是一個(gè)圓錐(底面半徑為1 cm,母線長(zhǎng)為2 cm,高為 cm).所以所求表面積 S=π12+2π12+π12=7π(cm2), 所求體積 V=π122+π12 =2π+π(cm3). 答案:7π cm2　π cm3 16.如圖,正方形BCDE的邊長(zhǎng)為a,已知AB=BC,將△ABE沿邊BE折起,折起后A點(diǎn)在平面BCDE上的射影為D點(diǎn),對(duì)翻折后的幾何體有如下描述: ①AB與DE所成角的正切值是; ②AB∥CE; ③VB-ACE是a3; ④平面ABC⊥平面ADC. 其中正確的是______________.(填寫你認(rèn)為正確的序號(hào)) 【解析】作出折疊后的幾何體的直觀圖如圖所示: 因?yàn)锳B=a,BE=a,所以AE=a. 所以AD==a, 所以AC==a. 在△ABC中,cos∠ABC= ==. 所以sin∠ABC==. 所以tan∠ABC==. 因?yàn)锽C∥DE,所以∠ABC是異面直線AB,DE所成的角,故①正確. 連接BD,CE,則CE⊥BD,又AD⊥平面BCDE, CE?平面BCDE,所以CE⊥AD, 又BD∩AD=D,BD?平面ABD, AD?平面ABD, 所以CE⊥平面ABD,又AB?平面ABD, 所以CE⊥AB.故②錯(cuò)誤. 三棱錐B-ACE的體積 V=S△BCEAD=a2a=,故③正確. 因?yàn)锳D⊥平面BCDE,BC?平面BCDE, 所以BC⊥AD,又BC⊥CD,AD∩CD=D, 所以BC⊥平面ACD,因?yàn)锽C?平面ABC, 所以平面ABC⊥平面ACD.故④正確. 答案:①③④ 三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(10分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N,P分別為棱AB,BC,C1D1的中點(diǎn). 求證:(1)AP∥平面C1MN. (2)平面B1BDD1⊥平面C1MN. 【證明】(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中, 因?yàn)辄c(diǎn)M,P分別為棱AB,C1D1的中點(diǎn), 所以AM=PC1. 又AM∥CD,PC1∥CD,故AM∥PC1, 所以四邊形AMC1P為平行四邊形. 從而AP∥C1M, 又AP?平面C1MN,C1M?平面C1MN, 所以AP∥平面C1MN. (2)連接AC,在正方形ABCD中,AC⊥BD. 又點(diǎn)M,N分別為棱AB,BC的中點(diǎn), 故MN∥AC. 所以MN⊥BD. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD, 又MN?平面ABCD,所以DD1⊥MN, 而DD1∩DB=D,DD1,DB?平面B1BDD1, 所以MN⊥平面B1BDD1, 又MN?平面C1MN, 所以平面B1BDD1⊥平面C1MN. 18.(12分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2, BC=1,E,F分別是A1C1,BC的中點(diǎn). (1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)求證:C1F∥平面ABE. (3)求三棱錐E-ABC的體積. 【解析】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,因?yàn)锽B1⊥底面ABC,AB?平面ABC,所以BB1⊥AB. 因?yàn)锳B⊥BC,BB1∩BC=B, 所以AB⊥平面B1BCC1.又AB?平面ABE, 所以平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)取AB的中點(diǎn)G,連接EG,FG. 因?yàn)镚,F分別是AB,BC的中點(diǎn), 所以FG∥AC, 且FG=AC. 因?yàn)锳C∥A1C1,且AC=A1C1, 所以FG∥EC1,且FG=EC1, 所以四邊形FGEC1為平行四邊形, 所以C1F∥EG. 又因?yàn)镋G?平面ABE,C1F?平面ABE, 所以C1F∥平面ABE. (3)因?yàn)锳A1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以AB==, 所以三棱錐E-ABC的體積 V=S△ABCAA1=12=. 19.(12分)(2018臨沂模擬)如圖,圓錐的軸截面為三角形SAB,O為底面圓圓心,C為底面圓周上一點(diǎn),D為BC的中點(diǎn). (1)求證:平面SBC⊥平面SOD. (2)如果∠AOC=∠SDO=60,BC=2,求該圓錐的側(cè)面積. 【解析】(1)由題意知,SO⊥平面OBC. 又BC?平面OBC.所以SO⊥BC. 在△OBC中,OB=OC,CD=BD, 所以O(shè)D⊥BC. 又SO∩OD=O,所以BC⊥平面SOD. 又BC?平面SBC, 所以平面SBC⊥平面SOD. (2)在△OBC中,OB=OC,CD=BD, 因?yàn)椤螦OC=60,所以∠COD=60. 因?yàn)镃D=BC=, 所以O(shè)D=1,OC=2, 在△SOD中,∠SDO=60, 又SO⊥OD,所以SO=, 在△SAO中,OA=OC=2,所以SA=. 所以該圓錐的側(cè)面積S側(cè)=πOASA=2π. 20.(12分)(2018南陽(yáng)模擬)如圖,四邊形ABCD是正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=DA=2AF=2. (1)求證:AC⊥平面BDE. (2)求證:AC∥平面BEF. (3)求四面體BDEF的體積. 【解析】(1)因?yàn)镈E⊥平面ABCD,所以DE⊥AC. 因?yàn)锳BCD是正方形, 所以AC⊥BD, 因?yàn)镈E∩BD=D, 所以AC⊥平面BDE. (2)設(shè)AC∩BD=O,取BE中點(diǎn)G,連接FG,OG,所以O(shè)GDE. 因?yàn)锳F∥DE,DE=2AF, 所以AFOG, 從而四邊形AFGO是平行四邊形,FG∥AO, 因?yàn)镕G?平面BEF,AO?平面BEF, 所以AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF. (3)因?yàn)镈E⊥平面ABCD, 所以DE⊥AB. 因?yàn)檎叫蜛BCD中,AB⊥AD,且AD∩DE=D, 所以AB⊥平面ADEF, 因?yàn)锳F∥DE,DE=DA=2AF=2, 所以△DEF的面積S=EDAD=2, 所以四面體BDEF的體積=S△DEFAB=. 21.(12分)如圖,在Rt△ABC中,AB=BC=4,點(diǎn)E在線段AB上.過點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F,將△AEF沿EF折起到△PEF的位置(點(diǎn)A與點(diǎn)P重合),使得∠PEB=30. (1)求證:EF⊥PB. (2)試問:當(dāng)點(diǎn)E在何處時(shí),四棱錐P-EFCB的側(cè)面PEB的面積最大?并求此時(shí)四棱錐P-EFCB的體積. 【解析】(1)因?yàn)镋F∥BC,且BC⊥AB, 所以EF⊥AB,即EF⊥BE,EF⊥PE. 又BE∩PE=E,所以EF⊥平面PBE, 又PB?平面PBE,所以EF⊥PB. (2)設(shè)BE=x,PE=y,則x+y=4. 所以S△PEB=BEPEsin∠PEB =xy≤=1. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí),S△PEB的面積最大. 此時(shí),BE=PE=2. 由(1)知EF⊥平面PBE,所以平面PBE⊥平面EFCB, 在平面PEB中,作PO⊥BE于點(diǎn)O, 又平面PBE∩平面EFCB=BE, 所以PO⊥平面EFCB. 即PO為四棱錐P-EFCB的高. 又PO=PEsin 30=2=1, S四邊形EFCB=(2+4)2=6, 所以VP-BCFE=61=2. 22.(12分)如圖1,在正△ABC中,E,F分別是AB,AC邊上的點(diǎn),且BE=AF=2CF.點(diǎn)P為邊BC上的點(diǎn),將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面BEFC,連接A1B,A1P,EP,如圖2所示. (1)求證:A1E⊥FP. (2)若BP=BE,點(diǎn)K為棱A1F的中點(diǎn),則在平面A1FP上是否存在過點(diǎn)K的直線與平面A1BE平行,若存在,請(qǐng)給予證明;若不存在,請(qǐng)說明理由. 【解析】(1)在正△ABC中,取BE的中點(diǎn)D,連接DF,如圖3. 因?yàn)锽E=AF=2CF,所以AF=AD,AE=DE,而∠A=60,所以△ADF為正三角形,又AE=DE, 所以EF⊥AD. 所以在題干圖2中,A1E⊥EF,BE⊥EF. 故∠A1EB為二面角A1-EF-B的一個(gè)平面角, 因?yàn)槠矫鍭1EF⊥平面BEFC, 所以∠A1EB=90,即A1E⊥EB. 因?yàn)镋F∩EB=E,所以A1E⊥平面BEFC. 因?yàn)镕P?平面BEFC,所以A1E⊥FP. (2)在平面A1FP上存在過點(diǎn)K的直線與平面A1BE平行.理由如下: 如圖1,在正△ABC中,因?yàn)锽P=BE,BE=AF,所以BP=AF,所以FP∥AB, 所以FP∥BE. 如圖4,取A1P的中點(diǎn)M,連接MK, 因?yàn)辄c(diǎn)K為棱A1F的中點(diǎn), 所以MK∥FP. 因?yàn)镕P∥BE,所以MK∥BE. 因?yàn)镸K?平面A1BE,BE?平面A1BE, 所以MK∥平面A1BE. 故在平面A1FP上存在過點(diǎn)K的直線MK與平面A1BE平行.