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第2章 圓錐曲線與方程
滾動(dòng)訓(xùn)練(三)
一、填空題
1.命題“?x∈，sinx<1”的否定是______________________.
考點(diǎn) 含有一個(gè)量詞的否定
題點(diǎn) 全稱命題的否定
答案 ?x∈，sinx≥1
解析 “?x∈，sinx<1”的否定是?x∈，sinx≥1.
2.雙曲線y2－x2＝2的漸近線方程是________.
考點(diǎn) 雙曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求雙曲線漸近線方程
答案 y＝x
解析 由題意知－＝1，y＝x.
3.已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為(3,0)，則該雙曲線的離心率為________.
考點(diǎn) 雙曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求雙曲線的離心率
答案
解析 因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，所以c＝3，b2＝5，則a2＝c2－b2＝9－5＝4，所以a＝2.所以e＝＝.
4.已知d為拋物線y＝2px2(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，則pd＝________.
考點(diǎn) 拋物線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求拋物線方程中的參數(shù)
答案
解析 拋物線方程可化為x2＝y(tǒng)，
所以d＝，則pd＝.
5.拋物線的焦點(diǎn)為橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)為橢圓中心，則拋物線方程為________.
考點(diǎn) 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程
題點(diǎn) 求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程
答案 y2＝－4x
解析 由c2＝9－4＝5，得F(－，0)，
則拋物線方程為y2＝－4x.
6.設(shè)命題p：c2
0，若p∧q為假，p∨q為真，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為________.
考點(diǎn) 邏輯聯(lián)結(jié)詞
題點(diǎn) 命題的真假求參數(shù)范圍
答案 ∪
解析 命題p：0b>0)的左頂點(diǎn)A(－a,0)作直線l交y軸于點(diǎn)P，交橢圓于點(diǎn)Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，則橢圓的離心率為________.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求橢圓的離心率
答案
解析 方法一 因?yàn)椤鰽OP是等腰三角形，
所以O(shè)A＝OP，故A(－a,0)，P(0，a).
又＝2，所以Q＝，
由點(diǎn)Q在橢圓上得＋＝1，解得＝，
故離心率e＝＝＝.
方法二 因?yàn)椤鰽OP是等腰三角形，所以O(shè)A＝OP，
故設(shè)直線AP的方程為y＝x＋a，
與橢圓方程聯(lián)立并消去y得
(a2＋b2)x2＋2a3x＋a2c2＝0，
從而(－a)xQ＝，即xQ＝－.
又由A(－a,0)，P(0，a)，＝2得xQ＝－，
故－＝－，
即5c2＝4a2，故e＝.
10.設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，與x軸正方向的夾角為60，則||＝__________.
考點(diǎn) 拋物線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 拋物線的幾何性質(zhì)的運(yùn)用
答案 p
解析 設(shè)點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，依題意可設(shè)AF所在直線方程為y－0＝tan60，
∴y＝.
聯(lián)立解得x＝或，
∵與x軸正方向夾角為60，∴x＝，y＝p，
∴||＝＝p.
二、解答題
11.已知命題p：函數(shù)y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上單調(diào)遞增，q：關(guān)于x的不等式ax2－ax＋1>0解集為R.若p∧q假，p∨q真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
考點(diǎn) “p∨q”“p∧q”形式命題的真假判斷
題點(diǎn) 由“p∨q”“p∧q”形式命題的真假求參數(shù)范圍
解 ∵函數(shù)y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3
＝[x＋(a2－a)]2－a2在[－2，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴－(a2－a)≤－2，即a2－a－2≥0，
解得a≤－1或a≥2.
即p：a≤－1或a≥2.
由不等式ax2－ax＋1>0的解集為R得a＝0或
解得0≤a<4，∴q：0≤a<4.
∵p∧q假，p∨q真，∴p與q一真一假，
∴p真q假或p假q真，
即或
∴a≤－1或a≥4或0≤a<2.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞).
12.如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l經(jīng)過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F.
(1)若點(diǎn)O到直線l的距離為，求直線l的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A是直線l與拋物線C在第一象限的交點(diǎn).點(diǎn)B是以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與x軸的交點(diǎn)，試判斷AB與拋物線C的位置關(guān)系，并給出證明.
考點(diǎn) 直線與拋物線
題點(diǎn) 直線與拋物線位置關(guān)系判斷
解 (1)拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即x＝1不符合題意.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
所以＝，解得k＝.
故直線l的方程為y＝(x－1)，即xy－1＝0.
(2)直線AB與拋物線C相切，證明如下：
設(shè)A(x0，y0)，則y＝4x0.
因?yàn)锽F＝AF＝x0＋1，所以B(－x0,0).
所以直線AB的方程為y＝(x＋x0)，
整理得x＝－x0，①
把方程①代入y2＝4x，得y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，
Δ＝64x－16x0y＝64x－64x＝0，
所以直線AB與拋物線C相切.
13.設(shè)橢圓M：＋＝1(a＞)的右焦點(diǎn)為F1，直線l：x＝與x軸交于點(diǎn)A，若＝2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求橢圓M的方程；
(2)設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，EF為圓N：x2＋(y－2)2＝1的任意一條直徑(E，F(xiàn)為直徑的兩個(gè)端點(diǎn))，求的最大值.
考點(diǎn) 直線與橢圓
題點(diǎn) 橢圓中的最值問題
解 由題意知，點(diǎn)A，F(xiàn)1(，0)，
由＝2，得＝2，
解得a2＝6.
所以橢圓M的方程為＋＝1.
(2)設(shè)圓N：x2＋(y－2)2＝1的圓心為點(diǎn)N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,2)，則＝(－)(－)＝(－－)(－)＝2－2＝2－1，
從而求最大值轉(zhuǎn)化為求2的最大值.
因?yàn)镻是橢圓M上的任意一點(diǎn)，設(shè)P(x0，y0)，
所以＋＝1，即x＝6－3y.
因?yàn)辄c(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,2)，
所以2＝|2|＝x＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12.
因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在橢圓M上，則y0∈[－，]，所以當(dāng)y0＝－1時(shí)，2取得最大值12，所以的最大值為11.
三、探究與拓展
14.拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B，C在此拋物線上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).若點(diǎn)F恰為△ABC的重心，則直線BC的方程為________________.
考點(diǎn) 直線與拋物線
題點(diǎn) 利用直線與拋物線位置關(guān)系求直線方程
答案 2x＋y－1＝0
解析 ∵點(diǎn)A在拋物線上，
∴4＝2p，p＝2，拋物線方程為y2＝4x，焦點(diǎn)F(1,0)，
設(shè)點(diǎn)B(x1，y1)，點(diǎn)C(x2，y2)，則有y＝4x1，①
y＝4x2，②
由①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，
得kBC＝＝.
又∵＝0，∴y1＋y2＝－2，∴kBC＝－2.
又∵＝1，∴x1＋x2＝2，
∴BC的中點(diǎn)為(1，－1)，
則BC所在直線方程為y＋1＝－2(x－1)，
即2x＋y－1＝0.
15.海事救援船對(duì)一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系(以1海里為單位長(zhǎng)度)，則救援船恰好在失事船正南方向12海里A處，如圖所示.現(xiàn)假設(shè)：①失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線y＝x2；②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；③救援船出發(fā)t小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為7t.
(1)當(dāng)t＝時(shí)，寫出失事船所在位置P的縱坐標(biāo).若此時(shí)兩船恰好會(huì)合，求救援船速度的大小；
(2)問救援船的時(shí)速至少是多少海里/時(shí)才能追上失事船？
考點(diǎn) 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點(diǎn) 拋物線的實(shí)際應(yīng)用
解 (1)當(dāng)t＝時(shí)，P的橫坐標(biāo)xP＝7t＝，
代入拋物線方程y＝x2，得P的縱坐標(biāo)yP＝3.
由AP＝，得救援船速度的大小為海里/時(shí).
(2)設(shè)救援船的時(shí)速為v海里/時(shí)，經(jīng)過t小時(shí)追上失事船，此時(shí)位置為(7t,12t2).
由vt＝，
整理得v2＝144＋337.
因?yàn)閠2＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)等號(hào)成立，
所以v2≥1442＋337＝252，即v≥25.
因此，救援船的時(shí)速至少是25海里/時(shí)才能追上失事船.
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