2018-2019高中數學 第三章 不等式 3.3.3 第1課時 線性規(guī)劃的有關概念及圖解法學案 蘇教版必修5.docx

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第1課時　線性規(guī)劃的有關概念及圖解法 學習目標　1.了解線性規(guī)劃的意義.2.理解約束條件、目標函數、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念.3.掌握線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題． 引例　已知x，y滿足條件① 該不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，求2x＋3y②的最大值． 以此為例，嘗試通過下列問題理解有關概念． 知識點一　線性約束條件及目標函數 1．在上述問題中，不等式組①是一組對變量x，y的約束條件，這組約束條件都是關于x，y的一次不等式，故又稱線性約束條件． 2．在上述問題中，②是要研究的目標，稱為目標函數．因為它是關于變量x，y的一次解析式，這樣的目標函數稱為線性目標函數． 知識點二　線性規(guī)劃問題 一般地，在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題，稱為線性規(guī)劃問題． 知識點三　可行解、可行域和最優(yōu)解 滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解．由所有可行解組成的集合叫做可行域．其中，使目標函數取得最大值或最小值的可行解叫做線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解．在上述問題的圖中，陰影部分叫可行域，陰影區(qū)域中的每一個點對應的坐標都是一個可行解，其中能使②式取最大值的可行解稱為最優(yōu)解． 1．可行域內每一個點都滿足約束條件．(√) 2．可行解有無限多，最優(yōu)解只有一個．() 類型一　最優(yōu)解問題 命題角度1　問題存在唯一最優(yōu)解 例1　已知x，y滿足約束條件 該不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示， 求2x＋3y的最大值． 考點　線性目標最優(yōu)解 題點　求線性目標函數的最值 解　設區(qū)域內任一點P(x，y)，z＝2x＋3y， 則y＝－x＋， 這是斜率為－，在y軸上的截距為的直線，如圖． 由圖可以看出， 當直線y＝－x＋經過直線x＝4與直線x＋2y－8＝0的交點M(4,2)時，截距的值最大， 此時2x＋3y＝14. 反思與感悟　圖解法是解決線性規(guī)劃問題的有效方法，基本步驟： (1)確定線性約束條件，線性目標函數． (2)作圖——畫出可行域． (3)平移——平移目標函數對應的直線z＝ax＋by，看它經過哪個點(或哪些點)時最先接觸可行域或最后離開可行域，確定最優(yōu)解所對應的點的位置． (4)求值——解有關的方程組求出最優(yōu)解的坐標，再代入目標函數，求出目標函數的最值． 跟蹤訓練1　已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范圍． 考點　線性目標最優(yōu)解 題點　求線性目標函數的最值 解　作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分所示)即為可行域． 設z＝2x－3y，變形得y＝x－z， 則得到斜率為，且隨z變化的一組平行直線． －z是直線在y軸上的截距， 當直線截距最大時，z的值最小， 由圖可知， 當直線z＝2x－3y經過可行域上的點A時，截距最大， 即z最小． 解方程組得A點坐標為(2,3)， ∴zmin＝2x－3y＝22－33＝－5. 當直線z＝2x－3y經過可行域上的點B時，截距最小， 即z最大． 解方程組得B點坐標為(2，－1)． ∴zmax＝2x－3y＝22－3(－1)＝7. ∴－5≤2x－3y≤7， 即2x－3y的取值范圍是[－5,7]． 命題角度2　問題的最優(yōu)解有多個 例2　已知x，y滿足約束條件若目標函數z＝ax＋y的最大值有無數個最優(yōu)解，求實數a的值． 考點　線性規(guī)劃中的參數問題 題點　無數個最優(yōu)解問題 解　約束條件所表示的平面區(qū)域如圖(陰影部分)， 由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z. 當a＝0時，最優(yōu)解只有一個，過A(1,1)時取得最大值； 當a＞0，y＝－ax＋z與x＋y＝2重合時，最優(yōu)解有無數個，此時a＝1； 當a<0，y＝－ax＋z與x－y＝0重合時，最優(yōu)解有無數個，此時a＝－1. 綜上，a＝1或a＝－1. 反思與感悟　當目標函數取最優(yōu)解時，如果目標函數與平面區(qū)域的一段邊界(實線)重合，則此邊界上所有點均為最優(yōu)解． 跟蹤訓練2　給出平面可行域(如圖陰影部分所示)，若使目標函數z＝ax＋y取最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則a＝______. 考點　線性規(guī)劃中的參數問題 題點　無數個最優(yōu)解問題 答案　 解析　由題意知，當直線y＝－ax＋z與直線AC重合時，最優(yōu)解有無窮多個，則－a＝＝－，即a＝. 類型二　生活中的線性規(guī)劃問題 例3　營養(yǎng)專家指出，成人良好的日常飲食應該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質，0.14kg脂肪，花費28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質，0.07kg脂肪，花費21元．為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B各多少kg? 將已知數據列成下表： 食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白質/kg 脂肪/kg A 0.105 0.07 0.14 B 0.105 0.14 0.07 考點　實際生活中的線性規(guī)劃問題 題點　線性規(guī)劃在實際問題中的應用 解　設每天食用xkg食物A，ykg食物B，總成本為z元，則即 目標函數為z＝28x＋21y. 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示， 把目標函數z＝28x＋21y變形為y＝－x＋， 它表示斜率為－，且隨z變化的一組平行直線， 是直線在y軸上的截距，當截距最小時，z的值最?。? 由圖可知，當直線z＝28x＋21y經過可行域上的點M時， 截距最小，即z最?。? 解方程組得M點的坐標為. 所以為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物Akg，食物Bkg. 反思與感悟　(1)目標函數z＝ax＋by(b≠0)在y軸上的截距是關于z的正比例函數，其單調性取決于b的正負．當b>0時，截距越大，z就越大；當b<0時，截距越小，z就越大． (2)最優(yōu)解的取值，和目標函數與邊界函數的斜率大小有關． 跟蹤訓練3　某廠擬用集裝箱托運甲、乙兩種貨物，集裝箱的體積、重量、可獲利潤和托運能力等限制數據列在下表中，那么為了獲得最大利潤，甲、乙兩種貨物應各托運的箱數為________. 貨物 體積(m3/箱) 重量(50kg/箱) 利潤(百元/箱) 甲 5 2 20 乙 4 5 10 托運限制 24 13 考點　生活實際中的線性規(guī)劃問題 題點　線性規(guī)劃在實際問題中的應用 答案　4,1 解析　設甲、乙兩種貨物應各托運的箱數為x，y，獲得利潤為z(百元)，則 目標函數z＝20x＋10y，畫出可行域如圖陰影部分所示． 由得A(4,1)． 易知當直線z＝20x＋10y平移經過點A時，z取得最大值，即甲、乙兩種貨物應各托運的箱數分別為4和1時，可獲得最大利潤． 1．若變量x，y滿足約束條件則x＋2y的最大值是________． 考點　線性目標最優(yōu)解 題點　求線性目標函數的最值 答案　 解析　畫出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示． 設z＝x＋2y，即y＝－x＋z，平行移動直線y＝－x＋z，當直線y＝－x＋過點B時，z取最大值，所以(x＋2y)max＝. 2．設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝2x＋3y的最小值為________． 考點　線性目標最優(yōu)解 題點　求線性目標函數的最值 答案　7 解析　作出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示． 由圖可知，z＝2x＋3y經過點A(2,1)時，z有最小值，z的最小值為7. 3.在如圖所示的坐標平面的可行域內(陰影部分且包括邊界)，目標函數z＝x＋ay取得最小值的最優(yōu)解有無數個，則a＝________. 考點　線性規(guī)劃中的參數問題 題點　無數個最優(yōu)解問題 答案　－3 解析　∵－＝＝，∴a＝－3. 4．設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝3x－y的取值范圍是____________． 考點　線性目標最優(yōu)解 題點　求目標函數的取值范圍 答案　 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分(含邊界)所示， 由z＝3x－y，可得y＝3x－z，則－z為直線y＝3x－z在y軸上的截距，截距越大，z越小，結合圖形可知，當直線y＝3x－z平移到B時，z最小，平移到C時，z最大，可得B，zmin＝－，C(2,0)， ＝6，∴－≤z≤6. 5．給出平面區(qū)域如圖陰影部分所示，若使目標函數z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則a＝______. 考點　線性規(guī)劃中的參數問題 題點　無數個最優(yōu)解問題 答案　 解析　將z＝ax＋y變形，得y＝－ax＋z. 當它與直線AC重合時，z取最大值的點有無窮多個． ∵kAC＝－，∴－a＝－，即a＝. 1．用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟： (1)尋找線性約束條件，線性目標函數． (2)作圖——畫出約束條件(不等式組)所確定的平面區(qū)域和目標函數所表示的平行直線系中的任意一條直線l. (3)平移——將直線l平行移動，以確定最優(yōu)解所對應的點的位置． (4)求值——解有關的方程組求出最優(yōu)解的坐標，再代入目標函數，求出目標函數的最值． 2．作不等式組表示的可行域時，注意標出相應的直線方程，還要給可行域的各頂點標上字母，平移直線時，要注意線性目標函數的斜率與可行域中邊界直線的斜率進行比較，確定最優(yōu)解． 3．在解決與線性規(guī)劃相關的問題時，首先考慮目標函數的幾何意義，利用數形結合方法可迅速解決相關問題． 一、填空題 1．若點(x，y)位于曲線y＝|x|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域內，則2x－y的最小值為________． 考點　線性目標最優(yōu)解 題點　求線性目標函數的最值 答案?。? 解析　如圖，曲線y＝|x|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示， 令z＝2x－y，則y＝2x－z，作直線y＝2x，在封閉區(qū)域內平行移動直線y＝2x，當經過點A(－2,2)時，z取得最小值，此時z＝2(－2)－2＝－6. 2．若變量x，y滿足約束條件則x＋y的最大值為________． 考點　線性目標最優(yōu)解 題點　求線性目標函數的最值 答案　9 解析　畫出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示， 令z＝x＋y，則y＝－x＋z. 當直線y＝－x＋z過點A時，z最大． 由 得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9. 3．設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝y(tǒng)－2x的最小值為________． 考點　線性目標最優(yōu)解 題點　求線性目標函數的最值 答案?。? 解析　可行域如圖陰影部分(含邊界)所示， 令z＝0，得直線l0：y－2x＝0，平移直線l0知， 當直線l0過D點時，z取得最小值． 由得D(5,3)． ∴zmin＝3－25＝－7. 4．設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝3x－4y的最大值和最小值分別為__________． 考點　線性目標最優(yōu)解 題點　求線性目標函數的最值 答案　3，－11 解析　作出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示， 由圖可知z＝3x－4y經過點A時，z有最小值，經過點B時，z有最大值．易求得A(3,5)，B(5,3)． ∴zmax＝35－43＝3， zmin＝33－45＝－11. 5．已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝________. 考點　線性規(guī)劃中的參數問題 題點　線性規(guī)劃中的參數問題 答案　 解析　作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示． 易知直線z＝2x＋y過交點B時，z取最小值， 由得 ∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝. 6．已知若z＝ax＋y的最小值是2，則a的值為________ 考點　線性規(guī)劃中的參數問題 題點　線性規(guī)劃中的參數問題 答案　2 解析　作出可行域，如圖中陰影部分所示， 又z＝ax＋y的最小值為2，若a>－2，則(1,0)為最優(yōu)解，解得a＝2；若a≤－2，則(3,4)為最優(yōu)解，解得a＝－，舍去，故a＝2. 7．已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組確定．若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為(，1)，則z＝的最大值為________． 考點　線性目標最優(yōu)解 題點　求線性目標函數的最值 答案　4 解析　由線性約束條件 畫出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示， 目標函數z＝＝x＋y，將其化為y＝－x＋z，結合圖形可知，當目標函數的圖象過點(，2)時，z最大，將點(，2)代入z＝x＋y，得z的最大值為4. 8．已知A(2,5)，B(4,1)．若點P(x，y)在線段AB上，則2x－y的最大值為________． 考點　線性目標最優(yōu)解 題點　求線性目標函數的最值 答案　7 解析　作出線段AB，如圖所示， 作直線2x－y＝0并將其向下平移至直線過點B(4,1)時，2x－y取最大值，為24－1＝7. 9．已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，則z＝2x－3y的取值范圍是________．(答案用區(qū)間表示) 考點　線性目標最優(yōu)解 題點　求目標函數的取值范圍 答案　[3,8] 解析　作出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示． 在可行域內平移直線2x－3y＝0， 當直線經過x－y＝2與x＋y＝4的交點A(3,1)時，目標函數有最小值， zmin＝23－31＝3； 當直線經過x＋y＝－1與x－y＝3的交點B(1，－2)時，目標函數有最大值， zmax＝21＋32＝8. 所以z∈[3,8]． 10．若x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最小值為________． 考點　線性目標最優(yōu)解 題點　求線性目標函數的最值 答案?。? 解析　方法一　 (通性通法)作出可行域，如圖中陰影部分所示，由z＝x－2y，得y＝x－z，作直線y＝x并平移，觀察可知，當直線經過點A(3,4)時，zmin＝3－24＝－5. 方法二　(光速解法)因為可行域為封閉區(qū)域，所以線性目標函數的最值只可能在邊界點取得，易求得邊界點分別為(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目標函數可求得zmin＝－5. 11．某公司租賃甲、乙兩種設備生產A，B兩類產品，甲種設備每天能生產A類產品5件和B類產品10件，乙種設備每天能生產A類產品6件和B類產品20件．已知設備甲每天的租賃費為200元，設備乙每天的租賃費為300元，現該公司至少要生產A類產品50件，B類產品140件，則所需租賃費最少為________元． 考點　生活實際中的線性規(guī)劃問題 題點　線性規(guī)劃在實際問題中的應用 答案　2300 解析　設需租賃甲種設備x臺，乙種設備y臺， 則 目標函數為z＝200x＋300y. 作出其可行域(圖略)，易知當x＝4，y＝5時，z＝200x＋300y有最小值2 300. 12．設x，y滿足則z＝x＋y的取值范圍是________． 考點　線性目標最優(yōu)解 題點　求線性目標函數的最值 答案　[2，＋∞) 解析　作出約束條件表示的可行域，如圖所示，z＝x＋y表示直線y＝－x＋z過可行域時，在y軸上的截距，當目標函數平移至過可行域內的A點時，z有最小值． 聯立解得A(2,0)． zmin＝2，z無最大值． ∴x＋y∈[2，＋∞)． 二、解答題 13．某運輸公司接受了向抗洪救災地區(qū)每天送至少180t支援物資的任務．該公司有8輛載重為6t的A型卡車與4輛載重為10t的B型卡車，有10名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數為A型卡車4次，B型卡車3次；每輛卡車每天往返的成本費A型為320元，B型為504元．請為公司安排一下，應如何調配車輛，才能使公司所花的成本費最低？ 考點　生活實際中的線性規(guī)劃問題 題點　線性規(guī)劃在實際問題中的應用 解　設需A型、B型卡車分別為x輛和y輛，成本費為z元．列表分析數據. A型車 B型車 限量 車輛數 x y 10 運物噸數 24x 30y 180 費用 320x 504y z 由表可知x，y滿足線性約束條件 且目標函數z＝320x＋504y. 作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示． 可知當直線z＝320x＋504y過A(7.5,0)時，z最小，但A(7.5,0)不是整點，繼續(xù)向上平移直線z＝320x＋504y，可知點(8,0)是最優(yōu)解．這時zmin＝3208＋5040＝2560(元)，即用8輛A型車，成本費最低． 所以公司每天調出A型卡車8輛時，花費成本最低． 三、探究與拓展 14．若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是______． 考點　線性目標最優(yōu)解 題點　求線性目標函數的最值 答案　 解析　畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖(陰影部分)所示， 由　 得A(1,2)， 由 得B(2,1)． 由題意可知當斜率為1的兩條直線分別過點A和點B時，陰影部分夾在這兩條直線之間，且與這兩條直線有公共點，所以這兩條直線為滿足條件的距離最小的一對直線，即AB＝＝. 15．已知變量x，y滿足的約束條件為若目標函數z＝ax＋y(其中a＞0)僅在點(3,0)處取得最大值，求a的取值范圍． 考點　線性規(guī)劃中的參數問題 題點　線性規(guī)劃中的參數問題 解　依據約束條件，畫出可行域． ∵直線x＋2y－3＝0的斜率k1＝－， 目標函數z＝ax＋y(a＞0)對應直線的斜率k2＝－a， 若符合題意，則需k1＞k2.即－＞－a，得a＞.