四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 第8課時 排列組合綜合應(yīng)用同步測試 新人教A版選修2-3.doc

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第8課時　排列組合綜合應(yīng)用 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.若從1,2,3,…,9這9個數(shù)中同時取4個不同的數(shù),其和為偶數(shù),則不同的取法共有(　　). A.60種 B.63種 C.65種 D.66種 【解析】9個數(shù)中有4個偶數(shù),5個奇數(shù).取的4個數(shù)均為奇數(shù)時,有C54=5種;均為偶數(shù)時,有C44=1種;兩奇兩偶時,有C42C52=60種.故共有5+1+60=66種. 【答案】D 2.學(xué)校團(tuán)委組織“共圓中國夢”知識演講比賽,現(xiàn)有4位選手參加決賽,若每位選手都可以從4個備選題目中任選1個進(jìn)行演講,則恰有1個題目沒有被這4位選手選中的情況有(　　). A.36種　　 B.72種　　 C.144種　　 D.288種 【解析】恰有1個題目沒有被這4位選手選中,即4位選手選中3個題目,即有1個題目被2位選手選中,故滿足條件的情況有C43C42A33=144種. 【答案】C 3.設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā),沿x軸跳動,每次向x軸正方向或負(fù)方向跳1個單位,經(jīng)過5次跳動,質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)(3,0)處(允許重復(fù)過此點(diǎn)),則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動方法共有(　　). A.3種 B.4種 C.5種 D.6種 【解析】記向左跳1次為-1,向右跳1次為+1,則只要5次和為+3,質(zhì)點(diǎn)一定落在(3,0),所以只需4個“+1”,1個“-1”即可,從5次中挑出1次取“-1”,結(jié)果數(shù)為C51=5,故質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方法共有5種. 【答案】C 4.某班組織文藝晚會,準(zhǔn)備從A,B等8個節(jié)目中選出4個節(jié)目演出.要求:A,B兩個節(jié)目至少有一個選中,且A,B同時選中時,它們的演出順序不能相鄰.那么不同演出順序的種數(shù)為(　　). A.1860 B.1320 C.1140 D.1020 【解析】分兩類:第一類,A,B只有一個選中,則不同演出順序有C21C63A44種;第二類,A,B同時選中,則不同演出順序有C62A22A32種.故共有C21C63A44+C62A22A32=1140種. 【答案】C 5.由1,2,3三個數(shù)字組成的五位數(shù)中,相鄰的數(shù)字不相同的五位數(shù)共有　　　　個. 【解析】先分類,只有兩個數(shù)字組成的五位數(shù),共有32=6種.由三個數(shù)字組成的五位數(shù),其中1,2,3是固定的,剩下兩個數(shù)可能是1、1,1、2,1、3,2、2,2、3,3、3六種情況,其中有1、1,2、2,3、3的情況先排三個相同的數(shù)字,再排剩下的兩個數(shù)字,所以有32=6種,對于有1、2,1、3,2、3的三種情況,由于有兩個數(shù)字相同,各有10種排法,共有30種排法.綜上所述,滿足條件的五位數(shù)共有6+6+30=42個. 【答案】42 6.某校準(zhǔn)備參加2018年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把10個選手名額分配到高三年級的8個教學(xué)班,每班至少1個名額,則不同的分配方案共有　　　　種. 【解析】問題等價于把10個相同小球放入8個不同的盒子里,每個盒子至少有1個小球的放法種數(shù)問題,將10個小球串成一串,截為7段有C97=36種截斷法,對應(yīng)放到8個盒子里. 因此,不同的分配方案共有36種. 【答案】36 7.(1)一條長椅上有9個座位,3個人坐,若相鄰2人之間至少有2個空椅子,共有幾種不同的坐法? (2)一條長椅上有7個座位,4個人坐,要求3個空位中,恰有2個空位相鄰,共有多少種不同的坐法? 【解析】(1)先將3人(用表示)與4張空椅子(用□表示)排列如圖(□□□□),這時共占據(jù)了7張椅子,還有2張空椅子,①分開插入,如圖中箭頭所示(↓□↓□□↓□↓),從4個空當(dāng)中選2個插入,有C42種插法;②2張同時插入,有C41種插法,再考慮3人可交換,有A33種方法. 所以共有A33(C42+C41)=60種. (2)可先讓4人坐在4個位置上,有A44種排法,再讓2個“元素”(一個是2個作為一個整體的空位,另一個是單獨(dú)的空位)插入4個人形成的5個空當(dāng)之中,有A52種插法,所以所求的坐法數(shù)為A44A52=480. 拓展提升(水平二) 8.對所有滿足1≤m≤n≤5的自然數(shù)m,n,方程x2+Cnmy2=1所表示的不同的橢圓的個數(shù)為(　　). A.15 B.7 C.6 D.5 【解析】由于Cnm的值不能為1,故m,n的值不能相同,可以從1,2,3,4,5這5個數(shù)中選出2個,有C52種選法,較大的數(shù)賦值給n,較小的數(shù)賦值給m,但C32=C31,C43=C41,C54=C51,C52=C53,共4對值是相同的,故所表示的不同橢圓的個數(shù)為C52-4=6.故選C. 【答案】C 9. 某公園有P,Q,R三只小船,P船最多可乘3 人,Q船最多可乘2人,R船只能乘1人.現(xiàn)有3 個大人和2個小孩打算同時分乘若干只小船,規(guī)定有小孩的船必須有大人,則不同的乘船方法共有(　　). A.36種 B.33種 C.27種 D.21種 【解析】若2個小孩都乘P船,有C31(C22+A22)=9種方法;若2小孩分別在P,Q兩只小船上,則有A22C31(C22+A22)=18種方法.由分類加法計數(shù)原理得共有9+18=27種不同的乘船方法.故選C. 【答案】C 10.如圖,圓內(nèi)的矩形及四條線段把圓分成A、B、C、D、E五部分,現(xiàn)有5種不同色彩可以給這五部分涂色,每部分涂1種顏色,要求相鄰的兩部分顏色互異,共有　　　　種不同的涂色方法. 【解析】依題意,給五部分涂色,至少要用三種顏色,故可分成三類涂色: 第一類,用5種顏色涂色,有A55種方法; 第二類,用4種顏色涂色,選4種顏色的方法有C54種,在涂的過程中,選相對的兩部分(A、C或B、D)涂同色有C21種選法,4種顏色涂上去有A44種涂法,共C54C21A44種涂法; 第三類,用3種顏色涂色,選顏色有C53種選法,A、C與B、D與E各涂一色有A33種涂法,共C53A33種涂法. 所以共有涂色方法A55+C54C21A44+C53A33=420種. 【答案】420 11.把4名男同志和4名女同志平均分成4組,到4輛公共汽車?yán)锸燮?如果同樣2人在不同汽車上服務(wù)算作不同情況. (1)有幾種不同的分配方法? (2)每個小組必須是1名男同志和1名女同志有幾種不同的分配方法? (3)男同志與女同志分別分組,有幾種不同的分配方法? 【解析】(1)男、女合在一起共有8人,每輛車上2人,可以分四個步驟完成:先安排2人上第一輛車,有C82種;然后上第二輛車,有C62種;再上第三輛車,有C42種;最后上第四輛車,有C22種.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有C82C62C42C22=2520種不同的分配方法. (2)要求男、女各1人,因此先把男同志安排上車,共有A44種不同方法,同理,女同志也有A44種方法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,男、女各有1人上車的不同分配方法有A44A44=576種. (3)男、女分別分組,4名男同志平均分成兩組共有C42C22A22=3種不同分法,4名女同志平均分成兩組也有C42C22A22=3種不同分法,這樣分組方法就有33=9種,對于其中每一種分法上4輛車,又有A44種上法,因此不同分配方法種數(shù)為9A44=216種.