江蘇省連云港市高中數(shù)學 第2章 平面解析幾何初步 2.1.6 點到直線的距離學案2（導學案）蘇教版必修2.doc

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2.1.6第二節(jié) 點到直線的距離（２） 【學習導航】 知識網(wǎng)絡 點到直線的距離公式 兩條平行直線之間的距離公式 直接運用公式求值 對稱問題的運用 平面幾何中的運用 學習要求 1．鞏固點到直線的距離公式及兩平行直線間的距離公式； 2．掌握點、直線關于點成中心對稱（或關于直線成軸對稱）的點、直線的求解方法； 3．能運用點到直線的距離公式及兩平行直線間的距離公式靈活解決一些問題． 【課堂互動】 自學評價 1.若與關于點對稱, 則　　,　　． 2. 若與關于直線 對稱, 則與的中點落在直線上, 且與的連線與垂直. 【精典范例】 例1：在直線上找一點,使它到原點和直線的距離相等． 分析：直線 與直線 平行，即可算出它們之間的距離，然后利用兩點之間的距離公式算出該點的坐標． 聽課隨筆 【解】直線與之間的距離為：． 設直線上的點滿足題意，則， 解得或， ∴所求點的坐標為或． 點評:本題主要利用兩條平行直線之間的距離公式解決問題，是對上節(jié)課所學內容的一個復習與鞏固． 例2：求直線關于點對稱的直線方程． 分析：解題的關鍵是中心對稱的兩直線互相平行，并且兩直線與對稱中心的距離相等． 【解】設所求直線的方程為 ， 由點到直線的距離公式可得 ， ∴（舍去）或， 所以，所求直線的方程為． 點評:本題也可以利用點與點的對稱，設直線上任意一點 （在直線上，所以）與對稱的點為則，解得，，然后將，的值代入求出所求直線，比較而言，此法注重軌跡的推導過程，而前面的方法比較簡便，為求直線關于點對稱的直線方程的基本方法（直線關于點對稱的問題）． 例3：已知直線：， ：，求直線關于直線對稱的直線的方程． 分析：直線關于直線對稱，可以在上任意取兩個點，再分別求出這兩個點關于直線的對稱點，最后利用兩點式求出所要求的方程．這里可以通過求出交點這個特殊點以簡化計算． 【解】由，解得：，∴過點， 又顯然是直線上一點，設關于直線的對稱點為， 則， 解得：，即， 因為直線經(jīng)過點、，所以由兩點式得它的方程為：． 點評: 本題為求直線關于第三條直線對稱的直線方程的基本方法（兩條直線關于第三條直線對稱的問題）． 注意：這里有一種特殊情況： 直線關于直線對稱的直線方程為：． 例4：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担C明：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高． 分析：要證明的結論中涉及的都是點到直線的距離，故可考慮用點到直線的距離公式計算距離，因此必須建立直角坐標系. 【證明】設是等腰三角形，以底邊 所在直線為軸，過頂點且垂直與的直線為軸，建立直角坐標系（如圖）．設， (，)，則． 直線的方程：， 即：． 直線的方程：， 聽課隨筆 即：． 設底邊上任意一點為 （）， 則到的距離 ， 到的距離 ， 到的距離 ． 故原命題得證． 點評:本題主要利用點到直線的距離公式進行簡單的幾何證明方面的運用，運用代數(shù)方法研究幾何問題. 追蹤訓練一 １． 點在軸上,若它到直線 的距離等于，則的坐標是或． ２．直線關于點對稱的直線的方程為． 3. 光線沿直線1：照射到直線2：上后反射，求反射線所在直線的方程． 【解】由，解得：， ∴過點， 又顯然是直線上一點，設關于直線的對稱點為， 則， 解得：，即， 因為直線經(jīng)過點、，所以由兩點式得它的方程為． ４．求證：等腰三角形底邊延長線上任一點到兩腰（所在直線）的距離的差的絕對值等于一腰上的高． 分析：要證明的結論中涉及的都是點到直線的距離，故可考慮用點到直線的距離公式計算距離，因此必須建立直角坐標系． 【證明】設是等腰三角形，以底邊所在直線為軸，過頂點且垂直于的直線為軸，建立直角坐標系，如圖， 設，， 則，直線方程為： ，即： ， 直線方程為：， 即：， 設或是底邊延長線上任意一點， 則到距離為 ， 到距離為 ， 到距離為 ， 當時， ， 當時， ， ∴當或時，， 故原命題得證． 【選修延伸】 一、數(shù)列與函數(shù) 例５:分別過兩點作兩條平行線，求滿足下列條件的兩條直線方程： （1）兩平行線間的距離為；（2）這兩條直線各自繞、旋轉，使它們之間的距離取最大值． 聽課隨筆 分析：（１）兩條平行直線分別過， 兩點,因此可以設出這兩條直線的方程之間(注意斜率是否存在)，再利用兩條平行直線之間的距離公式，列出方程，解出所要求的直線的斜率；（２）這兩條平行直線與垂直時，兩直線之間距離最大． 【解】（1）當兩直線的斜率不存在時，方程分別為，滿足題意． 當兩直線的斜率存在時，設方程分別為 與， 即： 與，由題意：，解得， 所以，所求的直線方程分別為： ， ． 綜上：所求的直線方程分別為： ， 或． （2）結合圖形，當兩直線與垂直時，兩直線之間距離最大，最大值為，同上可求得兩直線的方程．此時兩直線的方程分別為，． 點評:（１）設直線方程時一定要先考慮直線的斜率是否存在，利用平行直線之間的距離公式列出相應的方程，解出相應的未知數(shù)；（２）體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，通過圖形，發(fā)現(xiàn)問題的本質． 思維點拔：對稱問題 在遇到對稱問題時關鍵是分析出是屬于什么對稱情況，這里大致可以分為：點關與點對稱，點關于直線對稱，直線關于點對稱，直線關于直線對稱這四種情況，一旦確定為哪種情況后對應本節(jié)課的四種基本方法進行求解． 追蹤訓練二 1．兩平行直線，分別過， （１），之間的距離為５，求兩直線方 程； （２）若，之間的距離為，求的取值范圍． 【解】（1）當兩直線的斜率不存在時，方程分別為，，不滿足題意． 當兩直線的斜率存在時，設方程分別為 與， 即： 與， 由題意：，解得或， 所以，所求的直線方程分別為： ：，：或 ：， ：． （２）． 學生質疑 教師釋疑