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第4課時 基本不等式
1．已知a，b∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
答案 D
解析 只需比較a2＋b2與a＋b.由于a，b∈(0，1)，∴a2
0，且b>0，若2a＋b＝4，則的最小值為( )
A. B．4
C. D．2
答案 C
解析 ∵4＝2a＋b≥2，∴ab≤2，≥，當且僅當a＝1，b＝2時取等號．
7．若x<0，則函數y＝x2＋－x－的最小值是( )
A．－ B．0
C．2 D．4
答案 D
解析 y＝x2＋－x－≥2＋2＝4，當且僅當x＝－1時取等號．
8．(2015湖南，文)若實數a，b滿足＋＝，則ab的最小值為( )
A. B．2
C．2 D．4
答案 C
解析 方法一：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2.
方法二：由題設易知a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，當且僅當b＝2a時取“＝”號，選C.
9．(2017金山模擬)函數y＝(x>1)的最小值是( )
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
答案 A
解析 ∵x>1，∴x－1>0.
∴y＝＝＝
＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2.
當且僅當x－1＝，即x＝1＋時，取等號．
10．已知不等式(x＋y)(＋)≥9對任意正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案 B
解析 (x＋y)(＋)＝1＋a＋＋a≥1＋a＋2＝(＋1)2，
當且僅當a＝，即ax2＝y(tǒng)2時“＝”成立．
∴(x＋y)(＋)的最小值為(＋1)2≥9.
∴a≥4.
11．設實數x，y，m，n滿足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是( )
A. B．2
C. D.
答案 A
解析 方法一：設x＝sinα，y＝cosα，m＝sinβ，n＝cosβ，其中α，β∈R.
∴mx＋ny＝sinβsinα＋cosβcosα＝cos(α－β)．故選A.
方法二：由已知(x2＋y2)(m2＋n2)＝3，即m2x2＋n2y2＋n2x2＋m2y2＝3，∴m2x2＋n2y2＋2(nx)(my)≤3，即(mx＋ny)2≤3，∴mx＋ny≤.
12．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且滿足x－2y＋3z＝0，則的最小值為( )
A．3 B．6
C．9 D．12
答案 A
13．(2017四川成都外國語學校)若正數a，b滿足：＋＝1，則＋的最小值為( )
A．16 B．9
C．6 D．1
答案 C
解析 方法一：因為＋＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)(b－1)＝1，所以＋≥2＝23＝6.
方法二：因為＋＝1，所以a＋b＝ab，＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)(＋)－10≥16－10＝6.
方法三：因為＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥2＝23＝6.
14．(1)當x>1時，x＋的最小值為________；
(2)當x≥4時，x＋的最小值為________．
答案 (1)5 (2)
解析 (1)∵x>1，∴x－1>0.
∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5.
(當且僅當x－1＝.即x＝3時“＝”號成立)
∴x＋的最小值為5.
(2)∵x≥4，∴x－1≥3.
∵函數y＝x＋在[3，＋∞)上為增函數，
∴當x－1＝3時，y＝(x－1)＋＋1有最小值.
15．若a>0，b>0，a＋b＝1，則ab＋的最小值為________．
答案
解析 ab≤()2＝，
當且僅當a＝b＝時取等號．
y＝x＋在x∈(0，]上為減函數．
∴ab＋的最小值為＋4＝.
16．已知a>b>0，求a2＋的最小值．
答案 16
思路 由b(a－b)求出最大值，從而去掉b，再由a2＋，求出最小值．
解析 ∵a>b>0，∴a－b>0.
∴b(a－b)≤[]2＝.
∴a2＋≥a2＋≥2＝16.
當a2＝且b＝a－b，即a＝2，b＝時等號成立．
∴a2＋的最小值為16.
17．(2017江西重點中學盟校聯考)設x，y均為正實數，且＋＝，求xy的最小值．
答案 16
解析 由＋＝，化為3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)(2＋x)，整理為xy＝x＋y＋8.∵x，y均為正實數，∴xy＝x＋y＋8≥2＋8，∴()2－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，當且僅當x＝y(tǒng)＝4時取等號，∴xy的最小值為16.
18．(2018遼寧撫順一中月考)某健身器材廠研制了一種足浴氣血生機，具體原理是：在足浴盆右側離中心x(00)的最小值為2－4
D．函數y＝2－3x－(x>0)的最大值為2－4
答案 D
解析 y＝x＋的定義域為{x|x≠0}，當x>0時，有最小值2，當x<0時，有最大值－2，故A項不正確；
y＝＝＋≥2，
∵≥，∴取不到“＝”，故B項不正確；
∵x>0時，3x＋≥2＝4，
當且僅當3x＝，即x＝時取“＝”，
∴y＝2－(3x＋)有最大值2－4，故C項不正確，D項正確．
2．(2014重慶)若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
答案 D
解析 因為log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a>0，b>0，所以＋＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，當且僅當＝時取等號，選擇D項．
3．(2016人大附中月考)設a，b，c均大于0，則“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析?。?，
當abc＝1時，≤[(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)]＝a＋b＋c.
故abc＝1?＋＋≤a＋b＋c.
反過來，若a＝b＝1，c＝4，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，
∴“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要條件．
4．(2017山東師大附中月考)已知a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1，那么下列不等式中正確的是( )
A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2 D．abc(a＋b＋c)≤
答案 B
解析 ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加可知2(a2＋b2＋c2)≥2(bc＋ab＋ac)，∴a2＋b2＋c2≥1.∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥1＋2.∴(a＋b＋c)2≥3.
5．已知a>0，b>0，a，b的等比中項是1，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 B
解析 由題意知ab＝1，則m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，
∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4(當且僅當a＝b＝1時，等號成立)．
6．已知x，y為正實數，3x＋2y＝10，則W＝＋的最大值為________．
答案 2
解析 方法一：由≤可得＋≤＝＝2，當且僅當3x＝2y，即x＝，y＝時等號成立．
方法二：易知W>0，W2＝3x＋2y＋2＝10＋2≤10＋()2＋()2＝10＋(3x＋2y)＝20，∴W≤2，當且僅當3x＝2y，即x＝，y＝時等號成立．
7．已知三個正數a，b，c成等比數列，則＋的最小值為________．
答案
解析 由條件可知a，b，c>0且b2＝ac，即b＝，故≥＝2，當且僅當a＝b＝c時取等號，令＝t，則y＝t＋在[2，＋∞)上單調遞增，故其最小值為2＋＝，即＋的最小值為.
8．(2018河南鄭州外國語學校月考)某城鎮(zhèn)人口第二年比第一年增長m%，第三年比第二年增長n%，若這兩年的平均增長率為p%，則p與的大小關系為( )
A．p> B．p＝
C．p≤ D．p≥
答案 C
解析 依題意得(1＋m%)(1＋n%)＝(1＋p%)2，所以1＋p%＝≤＝1＋，當且僅當m＝n時等號成立，所以p≤，故選C.
9．已知不等式x2－5ax＋b>0的解集為{x|x>4或x<1}．
(1)求實數a，b的值；
(2)若00的解集為{x|x>4或x<1}，
所以x2－5ax＋b＝0的兩根分別為1和4，
由根與系數的關系得5a＝1＋4，b＝14，
所以a＝1，b＝4.
(2)由(1)知f(x)＝＋，
所以f(x)＝＋＝(＋)[x＋(1－x)]＝5＋＋，因為00，>0，所以f(x)≥5＋2＝9，當且僅當＝，即x＝時等號成立．
所以f(x)的最小值為9.
10.如圖所示，為處理含有某種雜質的污水，要制造一個底寬2 m的無蓋長方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為a m，高度為b m，已知流出的水中該雜質的質量分數與a，b的乘積ab成反比．現有制箱材料60 m2，問a，b各為多少m時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小(A，B孔面積忽略不計)．
答案 a＝6 m，b＝3 m
解析 設y為流出的水中雜質的質量分數，
根據題意可知：y＝，其中k是比例系數且k>0.
依題意要使y最小，只需求ab的最大值．
由題設，得4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，
即a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0)．
∵a＋2b≥2，∴2＋ab≤30.
當且僅當a＝2b時取“＝”號，ab有最大值．
∴當a＝2b時有2＋ab＝30，即b2＋2b－15＝0.
解之得b1＝3，b2＝－5(舍去)，∴a＝2b＝6.
故當a＝6 m，b＝3 m時經沉淀后流出的水中雜質的質量分數最?。?
11．某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1 800元，面粉的保管等其他費用為平均每噸每天3元，每次購買面粉需支付運費900元．
(1)該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？
(2)若提供面粉的公司規(guī)定：當一次性購買面粉不少于210噸時，其價格可享受9折優(yōu)惠(即原價的90%)，該廠是否應考慮接受此優(yōu)惠條件？請說明理由．
答案 (1)10天 (2)應該接受此優(yōu)惠條件
解析 (1)設該廠應每隔x天購買一次面粉，則其購買量為6x噸．由題意知，面粉的保管等其他費用為3[6x＋6(x－1)＋…＋62＋61]＝9x(x＋1)．
設每天所支付的總費用為y1元，則
y1＝[9x(x＋1)＋900]＋61 800
＝＋9x＋10 809≥2＋10 809＝10 989，
當且僅當9x＝，即x＝10時取等號．
所以該廠每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少．
(2)若該廠家接受此優(yōu)惠條件，則至少每隔35天購買一次面粉．設該廠接受此優(yōu)惠條件后，每隔x(x≥35)天購買一次面粉，平均每天支付的總費用為y2，則
y2＝[9x(x＋1)＋900]＋61 8000.90＝＋9x＋9 729(x≥35)．令f(x)＝x＋(x≥35)，x2>x1≥35，則f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)
＝.因為x2>x1≥35，
所以x1－x2<0，x1x2>100，即x1x2－100>0.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
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2019高考數學一輪復習
第7章
不等式及推理與證明
第4課時
基本不等式練習
2019
高考
數學
一輪
復習
不等式
推理
證明
課時
基本
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2019高考數學一輪復習 第7章 不等式及推理與證明 第4課時 基本不等式練習 理.doc
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