四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)線面的位置關(guān)系 第9課時(shí) 空間幾何中的平行和垂直的綜合應(yīng)用同步練習(xí) 新人教A版必修2.doc

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第9課時(shí)　空間幾何中的平行和垂直的綜合應(yīng)用 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一 ) 1.已知α,β為平面,a,b,c為直線,則下列命題中正確的是(　　). A.a?α,若b∥a,則b∥α B.α⊥β,α∩β=c,b⊥c,則b⊥β C.a⊥b,b⊥c,則a∥c D.a∩b=A,a?α,b?α,a∥β,b∥β,則α∥β 【解析】選項(xiàng)A中,b?α或b∥α,故A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B中,b與β不一定垂直,故B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C中,a∥c或a與c異面或a與c相交,故C錯(cuò)誤.利用面面平行的判定定理,可知D正確. 【答案】D 2.已知α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是兩條不重合的直線,則下列命題中正確的是(　　). A.若m∥α,α∩β=n,則m∥n B.若m⊥α,n⊥m,則n∥α C.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,則m⊥n D.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m⊥β 【解析】對(duì)于A,m∥α,α∩β=n,則m∥n或m與n異面,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,若m⊥α,n⊥m,則n∥α或n?α,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,若n⊥β,α⊥β,則n∥α或n?α,又m⊥α,所以m⊥n,故C正確;對(duì)于D,若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m可能與β相交或與β平行或在β內(nèi),故D錯(cuò)誤.故選C. 【答案】C 3.在三棱錐A-BCD中,AD與BC互相垂直,且AB+BD=AC+CD.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　). A.若分別作△BAD和△CAD的邊AD上的高,則這兩條高所在直線異面 B.若分別作△BAD和△CAD的邊AD上的高,則這兩條高長(zhǎng)度相等 C.AB=AC且DB=DC D.∠DAB=∠DAC 【解析】如圖,作BE⊥AD交AD于點(diǎn)E,連接CE.因?yàn)锳D⊥BC,所以AD⊥平面BEC,所以AD⊥CE.設(shè)AB+BD=AC+CD=m,則BE2=AB2-AE2=(m-AB)2-DE2,可得AB=m2-DE2+AE22m.同理,AC=m2-DE2+AE22m,所以AB=AC.故△ABD≌ACD. 【答案】A 4.若a,b為異面直線,則下列結(jié)論不正確的是(　　). A.必存在平面α使得a∥α,b∥α B.必存在平面α使得a,b與α所成角相等 C.必存在平面α使得a?α,b⊥α, D.必存在平面α使得a,b與α的距離相等 【解析】選項(xiàng)C中,由線面垂直的性質(zhì)定理知,當(dāng)a,b不垂直時(shí),不存在平面α使得a?α,b⊥α,故錯(cuò)誤. 【答案】C 5.如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體,M、N分別是棱A1B1、B1C1的中點(diǎn),P是棱AD上的一點(diǎn),AP=a3.若過點(diǎn)P、M、N的平面交上底面于PQ,點(diǎn)Q在CD上,則PQ=　　　　. 　　【解析】如圖所示,連接AC,易知MN∥平面ABCD,∴MN∥PQ. 又MN∥AC,∴PQ∥AC. ∵AP=a3,∴PDAD=DQCD=PQAC=23, ∴PQ=23AC=223a. 【答案】223a 6.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,EF與異面直線AC,A1D都垂直相交. 求證:EF∥BD1. 【解析】如圖,連接AB1,B1D1,B1C,BD. ∵DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD,DD1∩BD=D, ∴AC⊥平面BDD1B1. 又BD1?平面BDD1B1,∴AC⊥BD1. 同理可證BD1⊥B1C.又B1C∩AC=C,∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥AC,EF⊥A1D,又A1D∥B1C,∴EF⊥B1C. 又AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1. 7.如圖,△ABC是正三角形,AE與CD均垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中點(diǎn).求證: (1)DF∥平面ABC; (2)AF⊥BD. 【解析】(1)如圖,取AB的中點(diǎn)G,連接FG,CG, 則FG12AE. ∵CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC, ∴CD∥AE.又CD=12AE.∴FGCD. ∵FG⊥平面ABC,∴四邊形CDFG是矩形,DF∥CG. 又CG?平面ABC,DF?平面ABC,∴DF∥平面ABC. (2)在Rt△ABE中,AE=2a,AB=2a,F為BE的中點(diǎn), ∴AF⊥BE. ∵△ABC是正三角形,∴CG⊥AB,∴DF⊥AB. 又DF⊥FG,FG∩AB=G,∴DF⊥平面ABE. ∵AF?平面ABE,∴DF⊥AF. ∵BE∩DF=F,∴AF⊥平面BDF. 又BD?平面BDF,∴AF⊥BD. 拓展提升(水平二) 8.如圖所示,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45,∠BAD=90.將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD.則在三棱錐A-BCD中,下列命題正確的是(　　). A.AD⊥平面BCD B.AB⊥平面BCD C.平面BCD⊥平面ABC D.平面ADC⊥平面ABC 【解析】在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45,∠BAD=90,所以BD⊥CD. 又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD, 所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB, 又AD⊥AB,AD∩CD=D, 所以AB⊥平面ADC,所以平面ABC⊥平面ADC. 【答案】D 9.設(shè)m,n,l是三條不同的直線,α是一個(gè)平面,l⊥m,則下列說法正確的是(　　). A.若m?α,l⊥α,則m∥α B.若l⊥n,則m⊥n C.若l⊥n,則m∥n D.若m∥n,n?α,則l⊥α 【解析】若l⊥m,l⊥n,則m與n可能平行,也可能相交或異面,故B,C都不正確;由l⊥m,m∥n,可得l⊥n,但不一定有l(wèi)⊥α,故D不正確;A正確.故選A. 【答案】A 10.如圖,在邊長(zhǎng)為4 cm的正方形ABCD中,E,F分別為BC,CD的中點(diǎn),M,N分別為AB,CF的中點(diǎn),現(xiàn)沿AE,AF,EF折疊,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為B,構(gòu)成一個(gè)三棱錐,則MN與平面AEF的位置關(guān)系是　　　　. 【解析】如圖,由題意可知,點(diǎn)M,N在折疊后分別是AB,BF的中點(diǎn)(折疊后B,C兩點(diǎn)重合),所以MN∥AF.因?yàn)镸N?平面AEF,AF?平面AEF,所以MN∥平面AEF. 【答案】平行 11.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn),求證: (1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD. 【解析】(1)∵平面PAD⊥底面ABCD, 且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD,PA?平面PAD, ∴PA⊥底面ABCD. (2)∵AB∥CD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn), ∴AB∥DE,且AB=DE, ∴四邊形ABED為平行四邊形,∴BE∥AD. 又∵BE?平面PAD,AD?平面PAD, ∴BE∥平面PAD. (3)∵AB⊥AD,且四邊形ABED為平行四邊形, ∴BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD. ∴PA⊥CD,且PA∩AD=A,PA?平面PAD,AD?平面PAD, ∴CD⊥平面PAD. 又PD?平面PAD,∴CD⊥PD. ∵E和F分別是CD和PC的中點(diǎn),∴PD∥EF,∴CD⊥EF. 又BE⊥CD且EF∩BE=E,∴CD⊥平面BEF. 又CD?平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.