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單元質檢卷七 不等式、推理與證明
(時間:45分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題6分,共72分)
1.(2018山東、湖北部分重點中學模擬五,3)若2m>2n,則下列結論一定成立的是( )
A.1m>1n
B.m|m|>n|n|
C.ln(m-n)>0
D.πm-n<1
2.已知不等式ax2-5x+b>0的解集為xx<-13或x>12,則不等式bx2-5x+a>0的解集為( )
A.x-13
12
C.{x|-32}
3.下面四個推理中,屬于演繹推理的是( )
A.觀察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,則72 015的末兩位數(shù)字為43
B.觀察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-sin x,可得偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)
C.在平面上,若兩個正三角形的邊長比為1∶2,則它們的面積比為1∶4,類似地,在空間中,若兩個正四面體的棱長比為1∶2,則它們的體積之比為1∶8
D.已知堿金屬都能與水發(fā)生還原反應,鈉為堿金屬,所以鈉能與水發(fā)生反應
4.(2018河南中原名校質檢三,3)下列各函數(shù)中,最小值為2的是( )
A.y=x+1x
B.y=sin x+1sinx,x∈0,π2
C.y=x2+3x2+2
D.y=x+4x-1-3,x>1
5.(2019廣東化州一模,9)已知實數(shù)x,y滿足x+y≤10,x-y+2≥0,x≥0,y≥0,則z=x+y2的最大值為( )
A.7 B.1 C.10 D.0
6.(2018遼寧凌源二中三模,8)大學生小徐、小楊、小蔡通過招聘會被教育局錄取并分配到一中、二中、三中去任教,這三所學校每所學校分配一名老師,具體誰被分配到哪所學校還不清楚.他們三人任教的學科是語文、數(shù)學、英語,且每個學科一名老師,現(xiàn)知道:(1)小徐沒有被分配到一中;(2)小楊沒有被分配到二中;(3)教英語的沒有被分配到三中;(4)教語文的被分配到一中;(5)教語文的不是小楊.據(jù)此判斷到三中任教的人和所任教的學科分別是( )
A.小徐 語文
B.小蔡 數(shù)學
C.小楊 數(shù)學
D.小蔡 語文
7.(2019屆湖南衡陽第八中學二模,7)已知x,y滿足約束條件x-y≥0,x+y≤2,y≥0,若z=ax+y的最大值為4,則a=( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
8.(2019屆四川成都石室中學模擬,8)已知a>0,實數(shù)x,y滿足x≥1,x+y≤3,y≤a(x-3),若z=3x+y最小值為1,則a的值為 ( )
A.-1 B.1
C.-32 D.-1或1
9.(2018吉林梅河口五中三模,7)用數(shù)學歸納法證明“1+2+3+…+n3=n6+n32,n∈N+”,則當n=k+1時,應當在n=k時對應的等式的兩邊加上( )
A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3
B.k3+1
C.(k+1)3
D.(k+1)6+(k+1)32
10.某車間分批生產某種產品,每批的生產準備費用為800元.若每批生產x件,則平均倉儲時間為x8天,且每件產品每天的倉儲費用為1元.為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小,每批應生產產品( )
A.60件 B.80件
C.100件 D.120件
11.已知實數(shù)x,y滿足約束條件x-y+1≥0,2x+y-a≥0,2x-y-4≤0,若z=y+1x+1的最小值為-14,則正數(shù)a的值為( )
A.76 B.1 C.34 D.89
12.(2018山東日照聯(lián)考,7)某綜藝節(jié)目為比較甲、乙兩名選手的各項能力(指標值滿分為5分,分值高者為優(yōu)),繪制了如圖所示的六維能力雷達圖,圖中點A表示甲的創(chuàng)造力指標值為4,點B表示乙的空間能力指標值為3,則下面敘述正確的是( )
A.乙的記憶能力優(yōu)于甲的記憶能力
B.乙的創(chuàng)造力優(yōu)于觀察能力
C.甲的六大能力整體水平優(yōu)于乙
D.甲的六大能力中記憶能力最差
二、填空題(本大題共4小題,每小題7分,共28分)
13.觀察分析下表中的數(shù)據(jù):
多面體
面數(shù)(F)
頂點數(shù)(V)
棱數(shù)(E)
三棱柱
5
6
9
五棱錐
6
6
10
正方體
6
8
12
猜想一般凸多面體中F,V,E所滿足的等式是 .
14.已知拋物線y=ax2+2x-a-1(a∈R)恒過第三象限上一定點A,且點A在直線3mx+ny+1=0(m>0,n>0)上,則1m+1n的最小值為 .
15.(2018四川廣元適應性統(tǒng)考,15)二維空間中,圓的一維測度(周長)l=2πr,二維測度(面積)S=πr2,三維空間中,球的二維測度(表面積)S=4πr2,三維測度(體積)V=43πr3,應用合情推理,若四維空間中,“超球”的三維測度V=8πr3,則其四維測度W= .
16.古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,…,第n個三角形數(shù)為n(n+1)2=12n2+12n.記第n個k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式:
三角形數(shù)N(n,3)=12n2+12n,
正方形數(shù)N(n,4)=n2,
五邊形數(shù)N(n,5)=32n2-12n,
六邊形數(shù)N(n,6)=2n2-n,
……
可以推測N(n,k)的表達式,由此計算N(10,24)= .
參考答案
單元質檢卷七 不等式、推理與證明
1.B 由2m>2n知m>n.取m=2,n=1,12>11不成立,排除選項A;由ln(2-1)=0知選項C不成立;由π2-1=π>1知選項D錯,故選B.
2.C 由題意知a>0,且12,-13是方程ax2-5x+b=0的兩根,
∴-13+12=5a,-1312=ba,解得a=30,b=-5,
∴bx2-5x+a=-5x2-5x+30>0,即x2+x-6<0,解得-30.
對于B:不能保證sin x=1;
對于C:不能保證x2+2=1;
對于D:∵x>1,∴y=x+4x-1-3=x-1+4x-1-2≥2(x-1)4x-1-2=4-2=2,當且僅當x-1=4x-1,即x=3時等號成立,故選D.
5.C 由約束條件x+y≤10,x-y+2≥0,x≥0,y≥0作出可行域如圖,
由題得A(10,0),化目標函數(shù)z=x+y2為y=-2x+2z,由圖可知,當直線y=-2x+2z過點A時,直線在y軸上的截距最大,z有最大值為10.故選C.
6.C 小徐沒有被分配到一中,教語文的被分配到一中,小楊不任教語文,所以只有小蔡被分配到一中任教語文,小楊沒有被分配到二中,也沒有被分配到一中,所以只能被分配到三中,且任教數(shù)學,所以只能小徐被分配到二中,且任教英語,故選C.
7.B 作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖(陰影部分),
則A(2,0),B(1,1),若z=ax+y過A時取得最大值為4,則2a=4,解得a=2.
此時目標函數(shù)為z=2x+y,即y=-2x+z,平移直線y=-2x+z,當直線經過A(2,0)時,截距最大,此時z最大為4,滿足條件;若z=ax+y過B時取得最大值為4,則a+1=4,解得a=3,此時目標函數(shù)為z=3x+y,即y=-3x+z,平移直線y=-3x+z,當直線經過A(2,0)時,截距最大,此時z最大為6,不滿足條件,故a=2,綜上所述,故選B.
8.B 作出不等式對應的平面區(qū)域(陰影部分),
由z=3x+y,得y=-3x+z,平移直線y=-3x+z,由圖像可知當直線y=-3x+z經過點C時直線y=-3x+z的截距最小,此時z最小.即3x+y=1,由x=1,3x+y=1,解得x=1,y=-2,即C(1,-2),∵點C也在直線y=a(x-3)上,∴-2=-2a,解得a=1.故選B.
9.A 當n=k時,等式左端=1+2+…+k3,當n=k+1時,等式左端=1+2+…+k3+(k3+1)+(k3+2)+(k3+3)+…+(k+1)3.故選A.
10.B 設每件產品的平均費用為y元,由題意得y=800x+x8≥2800xx8=20,當且僅當800x=x8(x>0),即x=80時等號成立,故選B.
11.D 實數(shù)x,y滿足約束條件x-y+1≥0,2x+y-a≥0,2x-y-4≤0,的可行域如圖陰影部分所示.
因為a>0,由z=y+1x+1表示過點(x,y)與點(-1,-1)的直線的斜率,且z的最小值為-14,
所以點A與(-1,-1)連線的斜率最小,由2x+y-a=0,2x-y-4=0,解得A1+a4,a2-2,z=y+1x+1的最小值為-14,
即y+1x+1min=a2-2+1a4+1+1=2a-4a+8=-14,解得a=89.故選D.
12.C 從六維能力雷達圖上可以得到甲的記憶能力優(yōu)于乙的記憶能力,故A錯.乙的創(chuàng)造力為3,觀察能力為4,乙的觀察能力優(yōu)于創(chuàng)造力,故B錯.甲的六大能力總和為25,乙的六大能力總和為24,故甲的六大能力整體水平優(yōu)于乙,故C正確.甲的六大能力中,推理能力為3,為最差能力,故D錯.綜上,故選C.
13.F+V-E=2 三棱柱中5+6-9=2;五棱錐中6+6-10=2;正方體中6+8-12=2;由此歸納可得F+V-E=2.
14.12 拋物線y=ax2+2x-a-1(a∈R)恒過第三象限上一定點A,∴A(-1,-3),
∴m+n=13,
又1m+1n=3(m+n)m+3(m+n)n=6+3nm+mn≥6+6nmmn=12,當且僅當m=n=16時等號成立.
15.2πr4 由題意得,二維空間中,二維測度的導數(shù)為一維測度;三維空間中,三維測度的導數(shù)為二維測度.由此歸納,在四維空間中,四維測度的導數(shù)為三維測度,故W=2πr4.
16.1 000 由題中數(shù)據(jù)可猜想:含n2項的系數(shù)為首項是12,公差是12的等差數(shù)列,含n項的系數(shù)為首項是12,公差是-12的等差數(shù)列,因此N(n,k)=12+(k-3)12n2+12+(k-3)-12n=k-22n2+4-k2n.故N(10,24)=11n2-10n=11102-1010=1 000.
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