2019高考數學一輪復習 第7章 不等式及推理與證明 專題研究2 數學歸納法練習 理.doc

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專題研究2 數學歸納法 1．在應用數學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步檢驗第一個值n0等于(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．0 答案　C 解析　邊數最少的凸n邊形是三角形． 2．(2017山東德州一模)用數學歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1，在驗證n＝1時，左邊的式子為(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23 答案　D 解析　當n＝1時，左邊＝1＋2＋22＋23.故選D. 3．用數學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少應取(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　1＋＋＋…＋＝>，整理得2n>128，解得n>7. ∴初始值至少應取8. 4．設f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. B.＋ C.＋ D.＋＋ 答案　D 5．用數學歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除時，當n＝k＋1時，對于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可變形為(　　) A．5634k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1) B．3434k＋1＋5252k C．34k＋1＋52k＋1 D．25(34k＋1＋52k＋1) 答案　A 解析　因為要使用歸納假設，必須將34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1分解為歸納假設和能被8整除的兩部分．所以應變形為5634k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)． 6．若數列{an}的通項公式an＝，記cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過計算c1，c2，c3的值，推測cn＝__________． 答案　 解析　c1＝2(1－a1)＝2(1－)＝， c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2(1－)(1－)＝， c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2(1－)(1－)(1－)＝， 故由歸納推理得cn＝. 7．設數列{an}的前n項和為Sn，且對任意的自然數n都有：(Sn－1)2＝anSn. (1)求S1，S2，S3； (2)猜想Sn的表達式并證明． 答案　(1)S1＝，S2＝，S3＝ (2)Sn＝，證明略 解析　(1)由(S1－1)2＝S12，得S1＝； 由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝； 由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝. (2)猜想：Sn＝. 證明：①當n＝1時，顯然成立； ②假設當n＝k(k≥1且k∈N*)時，Sk＝成立． 則當n＝k＋1時，由(Sk＋1－1)2＝ak＋1Sk＋1，得Sk＋1＝＝＝. 從而n＝k＋1時，猜想也成立． 綜合①②得結論成立． 8．已知函數f(x)＝x－sinx，數列{an}滿足：00， 所以f(x)在(0，1)上是增函數． 又f(x)在[0，1]上連續(xù)， 從而f(0)0，所以ak－ak＋1<0. 又ak＋1＝ak(4－ak)＝[4－(ak－2)2]<2. 所以n＝k＋1時命題成立． 由(1)(2)可知，對一切n∈N時有an2(n＋1)n. 故＋＋…＋ <＋(＋＋…＋) ＝＋(－＋－＋…＋－) ＝＋(－)<＋＝. 1．用數學歸納法證明不等式＋＋…＋＞的過程中，由n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是________． 答案　 解析　不等式的左邊增加的式子是＋－＝，故填. 2．用數學歸納法證明：對任意的n∈N*，＋＋…＋＝. 答案　略 解析　(1)當n＝1時，左邊＝＝，右邊＝＝，左邊＝右邊，所以等式成立． (2)假設當n＝k(k∈N*且k≥1)時等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 則當n＝k＋1時， ＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝， 所以當n＝k＋1時，等式也成立． 由(1)(2)可知，對一切n∈N*等式都成立． 3．(2017湖北宜昌一中模擬)已知函數f(x)＝x3－x，數列{an}滿足條件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．試比較＋＋＋…＋與1的大小，并說明理由． 答案?。?1 解析　∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)， ∴an＋1≥(an＋1)2－1. ∵函數g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在區(qū)間[1，＋∞)上單調遞增， 于是由a1≥1， 得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1， 進而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1＞23－1. 由此猜想：an≥2n－1. 下面用數學歸納法證明這個猜想： ①當n＝1時，a1≥21－1＝1，結論成立； ②假設n＝k(k≥1且k∈N*)時結論成立， 即ak≥2k－1， 則當n＝k＋1時， 由g(x)＝(x＋1)2－1在區(qū)間[1，＋∞)上單調遞增知， ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1， 即n＝k＋1時，結論也成立． 由①、②知，對任意n∈N*， 都有an≥2n－1. 即1＋an≥2n， ∴≤. ∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－()n＜1.