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專題能力訓練23 不等式選講(選修4—5)
一、能力突破訓練
1.設a>0,|x-1|<,|y-2|<,求證:|2x+y-4|
f(x)在x∈R上有解,求實數t的取值范圍.
3.設函數f(x)=x+1a+|x-a|(a>0).
(1)證明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.
4.(2018全國Ⅲ,理23)設函數f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)畫出y=f(x)的圖象;
(2)當x∈[0,+∞)時,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
5.已知函數f(x)=x-12+x+12,M為不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)證明:當a,b∈M時,|a+b|<|1+ab|.
6.設關于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集為A.
(1)若a=1,求A;
(2)若A=R,求a的取值范圍.
7.已知函數f(x)=|2x-1|+|x-a|,a∈R.
(1)當a=3時,解不等式f(x)≤4;
(2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范圍.
二、思維提升訓練
8.已知函數f(x)= x,x≥1,1x,01,2x+2≤5,
得-72≤x<-3或-3≤x≤1或1f(x)在x∈R上有解,只需t2+3t大于f(x)的最小值,∴t2+3t>[f(x)]min=4?t2+3t-4>0?t<-4或t>1.
3.(1)證明 由a>0,有f(x)=x+1a+|x-a|≥x+1a-(x-a)=1a+a≥2.故f(x)≥2.
(2)解 f(3)=3+1a+|3-a|.當a>3時,f(3)=a+,由f(3)<5,得3-1;
當-12-2時,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,即|2x-a|≥x+1,
得x≥a+1或x≤a-13,
所以a+1≤-2或a+1≤a-13,得a≤-2.
綜上,a的取值范圍為a≤-2.
7.解 (1)當a=3時,函數f(x)=|2x-1|+|x-3|=3x-4,x≥3,x+2,1212時,可得12≤x≤a,故x的取值范圍為12,a;
當a<12時,可得a≤x≤12,故x的取值范圍為a,12.
二、思維提升訓練
8.解 (1)當a=0時,g(x)=-|x-2|(x>0),
g(x)≤|x-1|+b?-b≤|x-1|+|x-2|.
|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1,
當且僅當1≤x≤2時等號成立.
故實數b的取值范圍是[-1,+∞).
(2)當a=1時,g(x)=1x+x-2,02.
當02x1x-2=0;
當x≥1時,g(x)≥0,當且僅當x=1時等號成立;
故當x=1時,函數y=g(x)取得最小值0.
9.解 (1)∵a=2,
∴f(x)=|x-3|-|x-2|=1,x≤2,5-2x,21.
作出函數f(x)=|x-1|+|x+1|的圖象.
由圖象可知,不等式f(x)≥3的解集為
xx≤-32或x≥32.
(2)若a=1,則f(x)=2|x-1|,不滿足題設條件;
若a<1,則f(x)=-2x+a+1,x≤a,1-a,a1,則f(x)=-2x+a+1,x≤1,a-1,1
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