2019高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題1 三角函數(shù)、解三角形 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案 文.doc

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第1講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 高考統(tǒng)計(jì)定方向 熱點(diǎn)題型 真題統(tǒng)計(jì) 命題規(guī)律 題型1：三角恒等變換 2018全國卷ⅢT4；2018全國卷ⅠT11；2018全國卷ⅡT15 2017全國卷ⅢT4；2017全國卷ⅠT15 1.重點(diǎn)考查三角函數(shù)圖象的變換，三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性及最值，并常與三角恒等變換交匯命題. 題型2：三角函數(shù)的圖象與解析式 2016全國卷ⅠT6；2016全國卷ⅡT3；2016全國卷ⅢT14 2015全國卷ⅠT8 題型3：三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 2018全國卷ⅠT8；2018全國卷ⅡT10；2018全國卷ⅢT6 2017全國卷ⅡT3；2017全國卷ⅡT13；2017全國卷ⅢT6 2016全國卷ⅡT11；2014全國卷ⅡT14 2.主要以選擇、填空題的形式考查，難度中等偏下. 題型1　三角恒等變換 ■核心知識儲備 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(αβ)＝sin αcos βcos αsin β； (2)cos(αβ)＝cos αcos β?sin αsin β； (3)tan(αβ)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 3．輔助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ). ■高考考法示例 【例1】　(1)(2018全國卷Ⅰ)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，則|a－b|＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D．1 (2)(2018洛陽模擬)若sin＝，則cos＋2α＝________. (3)(2018石家莊模擬)若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，則α＋β的值為________． (1)B　(2)－　(3)　[(1)由題可知tan α＝＝b－a，又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝，∴5(b－a)2＝1，得(b－a)2＝，即|b－a|＝，故選B. (2)由sin＝ 得cos＝1－2sin2 ＝1－22＝， 則cos＝cos ＝－cos＝－. (3)因?yàn)閏os(2α－β)＝－且＜2α－β＜π， 所以sin(2α－β)＝. 因?yàn)閟in(α－2β)＝且－＜α－2β＜， 所以cos(α－2β)＝. 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－＋＝. 因?yàn)椋鸡粒拢迹驭粒拢? [方法歸納] 1．三角恒等變換的“4大策略” (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45等． (2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 2．解決條件求值問題的關(guān)注點(diǎn) (1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來表示未知角． (2)正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示． (3)求解三角函數(shù)中的給值求角問題時，要根據(jù)已知求這個角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小． (教師備選) (2018佛山模擬)已知tan＝，則cos2－α＝(　　) A. B. C. D. B　[tan＝＝，解得tan α＝－，故cos2＝ ＝＝＋sin αcos α， 其中sin αcos α＝＝＝－，故＋sin αcos α＝.] ■對點(diǎn)即時訓(xùn)練 1．(2018黃山模擬)若cos＝，則sin 2α＝(　　) A.　　　B.　　　C．－　　　D．－ D　[由cos＝得，sin 2α＝cos＝2cos2－1＝2－1＝－，故選D.] 2．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均為銳角，則角β等于(　　) A. B. C. D. C　[由sin α＝，α是銳角知cos α＝， 由sin(α－β)＝－，α，β均為銳角知，－＜α－β＜0， 從而cos(α－β)＝. 故cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝＋＝ 所以β＝] 3．(2018全國卷Ⅱ)已知tan＝，則tan α＝________. 　[法一：因?yàn)閠an ＝， 所以＝，即＝， 解得tan α＝. 法二：因?yàn)閠an＝， 所以tan α＝tan＋ 題型2　三角函數(shù)的圖象與解析式 ■核心知識儲備 1．“五點(diǎn)法”作圖 用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)在一個周期內(nèi)的簡圖時，一般先列表，后描點(diǎn)，連線，其中所列表如下： ωx＋φ 0 π 2π x － －＋ － Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.圖象變換 ■高考考法示例 【例2】　(1)(2018合肥模擬)函數(shù)y＝sin的圖象可由函數(shù)y＝cosx的圖象至少向右平移m(m＞0)個單位長度得到，則m＝(　　) A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D. (2)(2015全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖211所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) 圖211 A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z (1)A　(2)D　[(1)因?yàn)閥＝sin ＝cos ＝cos， 所以只需將函數(shù)y＝cosx的圖象向右至少平移1個單位長度即可得到函數(shù)y＝sin的圖象． (2)由圖象知，周期T＝2＝2， ∴＝2，∴ω＝π. 由π＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝， ∴f(x)＝cos. 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－0)的圖象變換成y＝sin(ωx＋φ)的圖象時，只需進(jìn)行平移變換，應(yīng)把ωx＋φ變換成ω，根據(jù)確定平移量的大小，根據(jù)的符號確定平移的方向． 2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的確定方法 (1)A由最值確定，A＝； (2)ω由周期確定； (3)φ由圖象上的特殊點(diǎn)確定． 通常利用峰點(diǎn)、谷點(diǎn)或零點(diǎn)列出關(guān)于φ的方程，結(jié)合φ的范圍解得φ的值，所列方程如下： 峰點(diǎn)：ωx＋φ＝＋2kπ；谷點(diǎn)：ωx＋φ＝－＋2kπ，利用零點(diǎn)時，要區(qū)分該零點(diǎn)是升零點(diǎn)，還是降零點(diǎn)． 升零點(diǎn)(圖象上升時與x軸的交點(diǎn))：ωx＋φ＝2kπ； 降零點(diǎn)(圖象下降時與x軸的交點(diǎn))：ωx＋φ＝π＋2kπ.(以上k∈Z) ■對點(diǎn)即時訓(xùn)練 1．為了得到函數(shù)y＝sin的圖象，可以將函數(shù)y＝cos 2x的圖象(　　) A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度 B　[∵y＝cos 2x＝sin， ∴y＝cos 2x的圖象向右平移個單位長度， 得y＝sin＝sin的圖象，故選B.] 2．函數(shù)f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)的部分圖象如圖212所示，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值為(　　) 圖212 A．0　　　　B．2＋2　　　　C．6　　　　D．－ B　[由題圖可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝， ∴f(x)＝2sinx. ∴f(1)＝，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－2，f(7)＝－，f(8)＝0，而2 019＝8252＋3，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2＋2.] 題型3　三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 ■核心知識儲備 1．三角函數(shù)的奇偶性、對稱性 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，對稱點(diǎn)、橫坐標(biāo)可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得． (2)y＝Acos(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，對稱點(diǎn)、橫坐標(biāo)可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得． (3)y＝Atan(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)． 尤其注意其對稱點(diǎn)橫坐標(biāo)可由ωx＋φ＝(k∈Z)求得． 2．三角函數(shù)的最值 函數(shù)類型 求解方法 y＝asin x＋bcos x＋c 轉(zhuǎn)化為y＝sin(x＋φ)＋c的最值問題 y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x 轉(zhuǎn)化為y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C的最值問題 y＝asin2x＋bsin x＋c 換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題 ■高考考法示例 ?角度一　三角函數(shù)的定義域、周期性及單調(diào)性的判斷 【例3－1】　(1)(2018全國卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是減函數(shù)，則a的最大值是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D．π C　[法一：f(x)＝cos x－sin x＝cosx＋.當(dāng)x∈[0，a]時，x＋∈，所以結(jié)合題意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故選C. 法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－sin.于是，由題設(shè)得f′(x)≤0，即 sin≥0在區(qū)間[0，a]上恒成立．當(dāng)x∈[0，a]時，x＋∈，所以a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故選C.] (2)已知函數(shù)f(x)＝4tan xsincos－. ①求f(x)的定義域與最小正周期； ②討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性． [解]?、賔(x)的定義域?yàn)? f(x)＝4tan xcos xcos－＝4sin xcosx－－ ＝4sin x－ ＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. ②令z＝2x－，則函數(shù)y＝2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 設(shè)A＝，B＝ ，易知A∩B＝－，. 所以當(dāng)x∈時，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減． ?角度二　三角函數(shù)的最值問題 【例3－2】　(1)(2016全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　[f(x)＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，又sin x∈[－1,1]，所以當(dāng)sin x＝1時，f(x)有最大值5，故選B.] (2)(2018青島模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3.已知f＝0. ①求ω； ②將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的最小值． [解]　①因?yàn)閒(x)＝sin＋sin， 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx ＝＝sin. 由題設(shè)知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z. 故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，所以ω＝2. ②由①得f(x)＝sin 所以g(x)＝sin＝sin. 因?yàn)閤∈，所以x－∈， 當(dāng)x－＝－，即x＝－時，g(x)取得最小值－. ?角度三　三角函數(shù)圖象的對稱性 【例3－3】　(1)將函數(shù)y＝cos x＋sin x(x∈R)的圖象向左平移m(m＞0)個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. (2)將函數(shù)f(x)＝cos 2x的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)具有性質(zhì) A．最大值為1，圖象關(guān)于直線x＝對稱 B．在上單調(diào)遞增，為奇函數(shù) C．在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù) D．周期為π，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 (1)A　(2)B　[(1)設(shè)f(x)＝cos x＋sin x＝2cos x＋sin x＝2sin，向左平移m個單位長度得g(x)＝2sin.∵g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，∴g(x)為偶函數(shù)，∴＋m＝＋kπ(k∈Z)， ∴m＝＋kπ(k∈Z)，又m＞0，∴m的最小值為. (2)由題意可得將f(x)＝cos 2x的圖象向右平移個單位得到g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為奇函數(shù)，所以排除C，又當(dāng)x＝時函數(shù)值為0，當(dāng)x＝時，函數(shù)值為，所以A和D中對稱的說法不正確，選B.] [方法歸納]　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路 第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式； 第二步：把“ωx＋φ”視為一個整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題. ■對點(diǎn)即時訓(xùn)練 1．(2018全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝的最小正周期為(　　) A.　　 　B.　　 　C．π　　 　D．2π C　[f(x)＝＝＝＝ sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故選C.] 2．(2018沈陽模擬)已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，則f(x)的最小正周期和一個單調(diào)遞減區(qū)間分別為(　　) A．2π， B．π， C．2π， D．π， B　[f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin＋1，則T＝＝π.由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝0得f(x)在上單調(diào)遞減，故選B.] 3．(2018哈爾濱模擬)若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的圖象關(guān)于中心對稱，則函數(shù)f(x)在上的最小值是(　　) A．－1 B．－ C．－ D．－ B　[f(x)＝2sin，又圖象關(guān)于中心對稱，所以2＋θ＋＝kπ，k∈Z，所以θ＝kπ－π，又0＜θ＜π，所以θ＝， 所以f(x)＝－2sin 2x， 因?yàn)閤∈. 所以2x∈，f(x)∈[－，2]， 所以f(x)的最小值是－.] 1．(2014全國卷Ⅰ)在函數(shù)①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期為π的所有函數(shù)為(　　) A．②④　　　　　　　 B．①③④ C．①②③ D．①③ C　[①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π. ②由圖象知，函數(shù)的周期T＝π. ③T＝π. ④T＝. 綜上可知，最小正周期為π的所有函數(shù)為①②③.] 2．(2016全國卷Ⅰ)將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin D　[函數(shù)y＝2sin的周期為π，將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個周期即個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為y＝2sin＝2sin，故選D.] 3．(2018全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則(　　) A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3 B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4 C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4 B　[易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，則f(x)的最小正周期為π，當(dāng)x＝kπ(k∈Z)時，f(x)取得最大值，最大值為4.] 4．(2016全國卷Ⅲ)函數(shù)y＝sin x－cos x的圖象可由函數(shù)y＝2sin x的圖象至少向右平移________個單位長度得到． 　[∵y＝sin x－cos x＝2sin，∴函數(shù)y＝sin x－cos x的圖象可由函數(shù)y＝2sin x的圖象至少向右平移個單位長度得到．] 5．(2016全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. －　[由題意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝. tan＝＝ ＝－＝－＝－.]