2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 模塊四 立體幾何 第12講 空間幾何體、空間中的位置關(guān)系學(xué)案 文.docx

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第12講　空間幾何體、空間中的位置關(guān)系 1.(1)[2017全國卷Ⅱ] 如圖M4-12-1,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為 (　　) 圖M4-12-1 A.90π　　　　　B.63π　　　　　C.42π　　　　　D.36π (2)[2016全國卷Ⅰ] 如圖M4-12-2,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是28π3,則它的表面積是 (　　) 圖M4-12-2 A.17π B.18π C.20π D.28π (3)[2014全國卷Ⅰ] 如圖M4-12-3,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體是 (　　) 圖M4-12-3 A.三棱錐 B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱 (4)[2013全國卷Ⅱ] 一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1), (1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí),以zOx平面為投影面,則得到的正視圖可以為 (　　) 圖M4-12-4 [試做]________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 命題角度　三視圖問題 (1)根據(jù)三視圖求幾何體體積的解題策略: 關(guān)鍵一:根據(jù)三視圖確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征,作出其直觀圖,由三視圖中的數(shù)據(jù)確定幾何體的數(shù)字特征; 關(guān)鍵二:根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征,利用分割法、補(bǔ)形法將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體,再求解. (2)根據(jù)幾何體的三視圖求表面積的解題策略: 關(guān)鍵一:根據(jù)三視圖確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征,作出其直觀圖,由三視圖中的數(shù)據(jù)確定幾何體的數(shù)字特征; 關(guān)鍵二:求組合體的表面積時(shí),需注意組合體的銜接部分的面積; 關(guān)鍵三:要分清側(cè)面積和表面積. (3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀的解題策略: 關(guān)鍵一:熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖; 關(guān)鍵二:明確三視圖的形成原理,遵循“長對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則,并結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖. (4)由幾何體的直觀圖求三視圖的解題策略:關(guān)鍵一:注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向; 關(guān)鍵二:注意看到的部分是實(shí)線,看不到的部分是虛線. 2.(1)[2014全國卷Ⅱ] 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為3,D為BC中點(diǎn),則三棱錐A-B1DC1的體積為 (　　) A.3 B.32 C.1 D.32 命題角度　求三棱錐的體積 對(duì)于三棱錐常用等體積轉(zhuǎn)化法求體積: 關(guān)鍵一:三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面,尋找滿足公式的底面和高; 關(guān)鍵二:利用三棱錐體積公式求解. (2)[2015全國卷Ⅰ] 《九章算術(shù)》 是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖M4-12-5,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有 (　　) 圖M4-12-5 A.14斛 B.22斛 C.36斛　　　 D.66斛 [試做] ________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 3.(1)[2017全國卷Ⅱ] 長方體的長、寬、高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為　　　　. (2)[2013全國卷Ⅰ] 已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則球O的表面積為　　　　. [試做]________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 命題角度　以幾何體為背景的問題 (1)解決以幾何體為背景的問題: 關(guān)鍵一:將背景問題轉(zhuǎn)化為立體幾何的問題; 關(guān)鍵二:要熟記柱、錐、臺(tái)、球的體積公式. (2)解決長方體、正方體外接球的問題: 關(guān)鍵一:球的直徑為長方體、正方體的體對(duì)角線; 關(guān)鍵二:利用球的表面積公式、體積公式求解. (3)解決球的表面積或體積問題: 關(guān)鍵一:R2=h2+r2(R為球的半徑,r為平面α截球O所得圓面的半徑,h為球心O到截面的距離); 關(guān)鍵二:利用球的表面積或體積公式求解. 4.[2018全國卷Ⅱ] 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與CD所成角的正切值為 (　　) A.22 B.32 C.52 D.72 [試做]________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 命題角度　解決異面直線所成角問題 關(guān)鍵一:先通過作圖(三角形中位線、平行四邊形補(bǔ)形)來構(gòu)造平行線,再通過解三角形求解; 關(guān)鍵二:補(bǔ)形法(補(bǔ)成長方體、正方體).當(dāng)異面直線所成角為π2時(shí),兩異面直線垂直. 小題1空間幾何體的三視圖與直觀圖 1(1)如圖M4-12-6所示, 圖M4-12-6 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別為棱CD,CC1,A1B1的中點(diǎn),用過點(diǎn)E,F,G的平面截正方體,則位于截面以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖為 (　　) 圖M4-12-7 (2)已知某幾何體的三視圖如圖M4-12-8所示,則該幾何體的最大棱長為 (　　) 圖M4-12-8　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.5 B.6 C.7 D.22 [聽課筆記]____________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【考場點(diǎn)撥】 識(shí)別三視圖應(yīng)注意以下幾方面:①看線型,是虛線還是實(shí)線,是線段還是曲線,可確定此幾何體是簡單多面體還是旋轉(zhuǎn)體等;②分部分,想整體,看僅僅是簡單幾何體還是組合體;③對(duì)比一些熟悉的三視圖模型分析,如正方體、圓錐、三棱錐等的三視圖. 【自我檢測】 1.某幾何體的正視圖與俯視圖如圖M4-12-9所示,則其側(cè)視圖可以為 (　　) 圖M4-12-9　　　　　　　　圖M4-12-10 2.某幾何體的三視圖如圖M4-12-11所示,則此幾何體的各面中面積最大的面的面積為 (　　) 圖M4-12-11 A.22 B.23 C.32 D.2 3.已知一個(gè)棱長為2的正方體被一個(gè)平面截后所得幾何體的三視圖如圖M4-12-12所示,則該截面的面積為 (　　) 圖M4-12-12 A.92 B.4 C.3 D.3102 4.[2018全國卷Ⅰ] 某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖M4-12-13所示.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為 (　　) 圖M4-12-13 A.217 B.25 C.3 D.2 小題2空間幾何體的表面積與體積 2(1)某幾何體的三視圖 圖M4-12-14 如圖M4-12-14所示,且圖中的曲線都是圓弧,則該幾何體的體積為 (　　) A.4π3 　　　 B.5π3 C.7π6 　　　 D.11π6 (2)在棱長為2的正四面體P-ABC中,M,N分別為PA,BC的中點(diǎn),點(diǎn)D是線段PN上一點(diǎn),且PD=2DN,則三棱錐D-MBC的體積為　　　　. [聽課筆記]____________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【考場點(diǎn)撥】 高考中求幾何體的體積和表面積的解題策略: (1)求幾何體的表面積時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):①多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和,不要忘了底面積;②組合體的表面積注意銜接部分的處理;③旋轉(zhuǎn)體的表面積問題可轉(zhuǎn)化為其側(cè)面展開圖去求解. (2)求幾何體的體積常用的方法:①直接法,利用公式直接求解;②體積轉(zhuǎn)換法,根據(jù)具體情況,變換定點(diǎn)和底面,轉(zhuǎn)化為較容易求解的形式,注意靈活選擇;③分割與補(bǔ)全法,把不規(guī)則的幾何體分割為幾個(gè)規(guī)則的幾何體,或者補(bǔ)全為一個(gè)規(guī)則的幾何體,再求解. 【自我檢測】 1.[2018全國卷Ⅰ] 已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為 (　　) A.122π B.12π C.82π D.10π 2.某幾何體的三視圖如圖M4-12-15所示,則該幾何體的體積為 (　　) 圖M4-12-15 A.18 B.24 C.32 D.36 3.在如圖M4-12-16所示的幾何體中,ABCD是矩形,ABFE和CDEF都是等腰梯形,且AD⊥平面CDEF,若AB=20,AD=15,EF=30,AB與EF間的距離為25,則幾何體EF-ABCD的體積為　　　　. 圖M4-12-16 小題3多面體與球 3(1)[2018全國卷Ⅲ] 設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn),△ABC為等邊三角形且其面積為93,則三棱錐D-ABC體積的最大值為 (　　) A.123 B.183 C.243 D.543 (2)在三棱錐P-ABC中,∠BAC=90,AB=AC=2,BC的中點(diǎn)為M,且PM=2,當(dāng)該三棱錐體積最大時(shí),它的內(nèi)切球半徑為　　　　. [聽課筆記]____________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【考場點(diǎn)撥】 空間幾何體與球“接”“切”問題的注意點(diǎn): (1)多面體外接球問題,關(guān)鍵是確定球心位置,方法是先選擇多面體中的其中一面,確定此面多邊形外接圓的圓心,再過此圓心作垂直此面的垂線,則球心一定在此垂線上,最后根據(jù)其他頂點(diǎn)情況確定球心的準(zhǔn)確位置.對(duì)于特殊的多面體還可以通過補(bǔ)成正方體或長方體的方法找到球心位置. (2)求解多面體的內(nèi)切球的問題,一般是將多面體分割為以球心為頂點(diǎn),多面體的各面為底面的棱錐,利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求球的半徑. 【自我檢測】 1.某幾何體的三視圖如圖M4-12-17所示,則該幾何體的外接球的表面積為 (　　) 圖M4-12-17 A.3π B.43π C.12π D.48π 2.在三棱錐P-ABC中,AC⊥BC,PA⊥PB,AB=4,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為 (　　) A.4π B.8π C.12π D.16π 3.若一個(gè)正三棱錐的所有棱長均為2,則它的外接球的體積為　　　　. 4.在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,AC=4,BC=3,AB=5,PA=3,則該三棱錐的內(nèi)切球的表面積為　　　　. 小題4空間線面位置關(guān)系的判斷 4(1)若α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是兩條不同的直線,則下列說法中錯(cuò)誤的是 (　　) A.如果m⊥n,m⊥α,n⊥β,那么α⊥β B.如果m?α,α∥β,那么m∥β C.如果α∩β=l,m∥α,m∥β,那么m∥l D.如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β (2)[2018全國卷Ⅰ] 在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30,則該長方體的體積為 (　　) A.8 B.62 C.82 D.83 [聽課筆記] ____________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【考場點(diǎn)撥】 高考中判斷空間線面位置關(guān)系的注意點(diǎn): (1)對(duì)于空間線面位置關(guān)系的判斷,常用的方法有:①根據(jù)定理逐項(xiàng)判斷,可以舉反例,也可以證明,要結(jié)合題目靈活選擇;②必要時(shí)可以借助空間幾何體模型,如借助長方體、正四面體中的線面位置關(guān)系來判斷. (2)求角時(shí),一般先利用平行關(guān)系找到這個(gè)角,然后把這個(gè)角放到三角形中去求解. (3)位置關(guān)系的判斷常用反例法去排除選項(xiàng). 【自我檢測】 1.已知直線l,m與平面α,β,且l?α,m?β,則下列說法中正確的是 (　　) A.若l∥m,則必有α∥β B.若l⊥m,則必有α⊥β C.若l⊥β,則必有α⊥β D.若α⊥β,則必有m⊥α 2.在如圖M4-12-18所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中,給出下列幾種說法,其中正確的是 (　　) 圖M4-12-18 A.A1C1與B1C成60角 B.D1C1⊥AB C.AC1與DC成45角 D.A1C1⊥AD 3.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列說法中正確的是 (　　) A.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,則m⊥α B.若m?α,n?β,α⊥β,則m⊥n C.“直線m與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線m與平面α垂直”的充分不必要條件 D.若m⊥n,n⊥β,m⊥α,則α⊥β 全品高考第二輪專題 | 數(shù)學(xué)(文科) 模塊四　立體幾何 第12講　空間幾何體、空間中的位置關(guān)系 典型真題研析 1.(1)B　(2)A　(3)B　(4)A　[解析](1)由三視圖可知,此幾何體應(yīng)是一個(gè)圓柱切去一部分后所得,如圖所示.通過切割及補(bǔ)形知,此幾何體的體積等同于底面半徑為3,高為7的圓柱,所以所求體積V=π327=63π. (2)該幾何體為一個(gè)球去掉八分之一,設(shè)球的半徑為r,則7843πr3=28π3,解得r=2,故該幾何體的表面積為784π22+314π22=17π. (3)從俯視圖為矩形可以看出,此幾何體不可能是三棱錐或四棱錐,其直觀圖如圖,是一個(gè)三棱柱. (4)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中畫出三棱錐,由已知可知三棱錐O-ABC為題中所描敘的四面體,而其在zOx平面上的投影為正方形EBDO,故選A. 2.(1)C　(2)B　[解析](1)因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以AD⊥BC,故AD⊥平面BCC1B1,且AD=3,所以V三棱錐A-B1DC1=13SB1DC1AD=1312B1C1BB1AD=1312233=1. (2)米堆的體積即為四分之一的圓錐的體積,設(shè)圓錐底面半徑為r,則142πr=8,得r=16π,所以米堆的體積為1314πr25≈3209(立方尺),32091.62≈22(斛). 3.(1)14π　(2)9π2　[解析](1)長方體的體對(duì)角線長l=32+22+12=14,而長方體的外接球的直徑恰為長方體的體對(duì)角線長,所以球O的直徑2R=l=14,所以球O的表面積S=4πR2=14π. (2)截面為圓,由已知得該圓的半徑為1.設(shè)球的半徑為r,則AH=23r,所以O(shè)H=13r, 所以13r2+12=r2,r2=98,所以球的表面積是4πr2=9π2. 4.C　[解析] 如圖,由AB∥CD,可知∠BAE即為異面直線AE與CD所成的角.設(shè)正方體的棱長為2,連接BE,則在Rt△ABE中,AB=2,BE=BC2+CE2=22+12=5,tan∠BAE=BEAB=52,故選C. 考點(diǎn)考法探究 小題1 例1　(1)C　(2)B　[解析](1)取AA1的中點(diǎn)H,連接GH,則GH為過點(diǎn)E,F,G的平面與正方體的面A1B1BA的交線.延長GH,交BA的延長線于點(diǎn)P,連接EP,交AD于點(diǎn)N,則NE為過點(diǎn)E,F,G的平面與正方體的面ABCD的交線.連接NH,則NH為過點(diǎn)E,F,G的平面與正方體的面AA1D1D的交線.同理,連接EF并延長,交D1C1的延長線于點(diǎn)Q,連接GQ,交B1C1于點(diǎn)M,連接FM,則EF,FM,GM分別為過點(diǎn)E,F,G的平面與正方體的面DCC1D1,面BCC1B1,面A1B1C1D1的交線,所以過點(diǎn)E,F,G的平面截正方體所得的截面為圖中的六邊形EFMGHN,故可得位于截面以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖為選項(xiàng)C中的圖形. (2)根據(jù)三視圖作出原幾何體(四棱錐P-ABCD)的直觀圖如圖所示,可得PA=AB=AD=1,CD=2,PB=PD=BC=2,PC=6,故該幾何體的最大棱長為6. 【自我檢測】 1.B　[解析] 由俯視圖與正視圖可知該幾何體可以是一個(gè)三棱柱挖去一個(gè)圓柱,因此其側(cè)視圖為矩形內(nèi)有一條虛線,虛線在矩形的左側(cè),只有選項(xiàng)B符合題意,故選B. 2.B　[解析] 由三視圖可得,該幾何體為如圖所示的三棱錐A1-BCD,其中幾何體ABCD-A1B1C1D1是棱長為2的正方體. 可得S△BCD=1222=2,SA1BC=SA1DC=12222=22,SA1DB=1222(22)2-(2)2=23,故此幾何體的各面中面積最大的面的面積為23.故選B. 3.A　[解析] 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),則題中三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體是正方體ABCD-A1B1C1D1截去三棱臺(tái)AEF-A1B1D1后剩余的部分,則截面為等腰梯形FEB1D1,且FE=2,B1D1=22,腰EB1=1+4=5,則等腰梯形的高為(5)2-(22)2=322,則截面的面積為(2+22)3222=92. 4.B　[解析] 由三視圖可知圓柱表面上點(diǎn)M,N的位置如圖①,將圓柱的側(cè)面展開得到圖②.在圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑即為側(cè)面展開圖中的線段MN, MN=22+1642=25,故選B. 小題2 例2　(1)B　(2)29　[解析](1)由三視圖可知,該幾何體是由半個(gè)圓柱與18個(gè)球組成的組合體,如圖所示. 其中,圓柱的底面半徑是1,高是3,球的半徑是1,∴該幾何體的體積V=12π123+184π313=5π3,故選B. (2)由題得VD-MBC=VM-BDC.連接AD,因?yàn)槿忮FP-ABC是正四面體,N為BC的中點(diǎn), PD=2DN,所以AD為三棱錐A-PBC的高,且AD=22-(233)2=263.又M為AP的中點(diǎn),所以三棱錐M-BDC的高為12263=63.又因?yàn)镾△BCD=133422=33, 所以VD-MBC=VM-BDC=133363=29. 【自我檢測】 1.B　[解析] 因?yàn)閳A柱的軸截面是正方形,且面積為8,所以圓柱的高為22,底面直徑為22,所以圓柱的表面積S=2π222+2π(2)2=12π.故選B. 2.B　[解析] 由三視圖可知,該幾何體是由三棱柱削去一個(gè)同底的三棱錐后得到的,如圖,三棱柱的高為5,削去的三棱錐的高為3,三棱錐與三棱柱的底面是直角邊長分別為3和4的直角三角形,所以該幾何體的體積為12345-1312343=30-6=24.故選B. 3.3500　[解析] 在EF上取兩點(diǎn)M,N,使得EM=NF=5,連接DM,AM,BN,CN,則該幾何體被分割成兩個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱,根據(jù)三棱柱、三棱錐的體積公式以及題中所給的相關(guān)量,可以求得幾何體EF-ABCD的體積V=12201520+2131220155=3500. 小題3 例3　(1)B　(2)22-6　[解析](1)由題易知當(dāng)點(diǎn)D到平面ABC的距離最大時(shí),三棱錐D-ABC的體積最大.∵S△ABC=34AB2=93,∴AB=6. 設(shè)△ABC的中心為M,由等邊三角形的性質(zhì)得,AM=BM=CM=23.設(shè)球心為O,則OA=OB=OC=4,∴OM=OB2-BM2=2,∴點(diǎn)D到平面ABC的距離的最大值為OM+4=6.故三棱錐D-ABC體積的最大值為13936=183. (2)如圖,當(dāng)PM⊥平面ABC時(shí),三棱錐P-ABC的體積取得最大值,連接AM,則AM=2,從而可得PB=PA=PC=2,則S△PBC=12222=2,S△ABC=1222=2,S△PBA=S△PAC=3422=3,設(shè)三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的半徑為r,則13(2+2+3+3)r=1322,解得r=22-6. 【自我檢測】 1.C　[解析] 由三視圖可知,該幾何體是高為2的三棱錐,且其底面是腰長為2的等腰直角三角形,故其外接球的直徑等于棱長為2的正方體的體對(duì)角線的長,設(shè)其外接球的半徑為R,則(2R)2=22+22+22=12,所以其外接球的表面積為4πR2=12π.故選C. 2.D　 [解析] 由題意可知,△ACB與△APB均為直角三角形,設(shè)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),連接PD,CD,如圖所示,則DA=DB=DC=DP=12AB=2,∴點(diǎn)D為三棱錐P-ABC的外接球的球心,且三棱錐P-ABC的外接球的半徑R=2,∴三棱錐P-ABC的外接球的表面積S=4πR2=16π.故選D. 3.3π2　[解析] 如圖,構(gòu)造正方體ANDM-FBEC.因?yàn)槿忮FA-BCD的所有棱長均為2,所以正方體ANDM-FBEC的棱長為1,所以該正方體的外接球的直徑為3,從而可知三棱錐A-BCD的外接球的半徑為32,所以三棱錐A-BCD的外接球的體積為43π323=3π2. 4.16π81　[解析] 由題意得,三棱錐P-ABC的表面積S=1243+1243+1253+1253=27,三棱錐P-ABC的體積V=1312433=6.設(shè)三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的半徑為r,則V=Sr,即Sr=27r=6,解得r=29,所以三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為4πr2=4π292=16π81. 小題4 例4　(1)D　(2)C　[解析](1)對(duì)于A,如果m⊥n,m⊥α,則n∥α或n?α,又因?yàn)閚⊥β,所以α⊥β,故A中說法正確;對(duì)于B,如果m?α,α∥β,那么m與β無公共點(diǎn),則m∥β,故B中說法正確;對(duì)于C,如果α∩β=l,m∥α,m∥β,則m∥l,故C中說法正確;對(duì)于D,如果m⊥n,m⊥α,n∥β,則有α⊥β或α∥β或α與β斜交,故D中說法錯(cuò)誤.故選D. (2)如圖,連接BC1,易知∠AC1B即為AC1與平面BB1C1C所成的角,由題易知∠AC1B=30,易得AC1=2AB=4.設(shè)BB1=h,則有42=22+22+h2, 解得h=22, 所以該長方體的體積V=2222=82. 【自我檢測】 1.C　[解析] 對(duì)于A,平面α和平面β還有可能相交,所以A中說法錯(cuò)誤;對(duì)于B,平面α和平面β還有可能斜交或平行,所以B中說法錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)閘?α,l⊥β,所以α⊥β,所以C中說法正確;對(duì)于D,直線m可能和平面α不垂直,所以D中說法錯(cuò)誤. 2.A　[解析] 直線A1C1與B1C是異面直線,連接A1D,則B1C∥A1D,所以∠DA1C1即為A1C1與B1C所成的角,連接DC1,顯然△DA1C1是等邊三角形,所以∠DA1C1=60,所以A中說法正確;由正方體的性質(zhì)易得D1C1∥AB,所以B中說法錯(cuò)誤;因?yàn)镈C∥D1C1,所以∠D1C1A即為AC1與DC所成的角,連接AD1,在Rt△AC1D1中,AD1≠D1C1,故AC1與DC不可能成45角,所以C中說法錯(cuò)誤;易得∠D1A1C1即為A1C1與AD所成的角,在等腰直角三角形D1A1C1中,∠D1A1C1=45,所以A1C1與AD不垂直,所以D中說法錯(cuò)誤.故選A. 3.D　[解析] 對(duì)于A,m還可能與α平行或斜交或m?α,故A中說法不正確;對(duì)于B,m和n不一定垂直,故B中說法不正確;對(duì)于C,直線m與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,并不能推出直線m垂直平面α內(nèi)的任意一條直線,故C中說法不正確;對(duì)于D,若m⊥n,n⊥β,m⊥α,則α⊥β,故D中說法正確. [備選理由] 本例題可首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu),然后補(bǔ)形為棱柱,求解棱柱的外接球即可求得最終結(jié)果,是對(duì)聽課例3的補(bǔ)充. 例　[配例3使用] 已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖是等腰直角三角形,則該三棱錐的外接球的體積為　　　　. [答案]43π [解析] 如圖所示,在長、寬、高分別為22,2,2的長方體中,點(diǎn)E,F分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn),則三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐E-ABF,將三棱錐補(bǔ)形為三棱柱ABF-A1B1E,則三棱錐的外接球即三棱柱的外接球.分別取AB,A1B1的中點(diǎn)G,H,連接GH,易知外接球的球心為GH的中點(diǎn),據(jù)此可得外接球的半徑R=(2)2+12=3,故其外接球的體積V=43πR3=43π.