2018-2019學年高中數(shù)學 第2章 推理與證明章末檢測試卷 蘇教版選修1 -2.docx
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第2章 推理與證明 章末檢測試卷(二) (時間：120分鐘 滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．下列說法正確的是________．(寫出全部正確命題的序號) ①演繹推理是由一般到特殊的推理； ②演繹推理得到的結論一定是正確的； ③演繹推理的一般模式是“三段論”形式； ④演繹推理得到的結論的正誤與大、小前提和推理形式有關． 答案?、佗邰? 解析 如果演繹推理的大前提和小前提都正確，則結論一定正確，在大前提和小前提中，只要有一項不正確，則結論一定也不正確．故②錯誤． 2．甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市； 乙說：我沒去過C城市； 丙說：我們三人去過同一城市． 由此可判斷乙去過的城市為________． 答案 A 解析 由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A，C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過A城市，由此可知，乙去過的城市為A. 3．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表達式為________． 答案 f(x)＝(x∈N*) 解析 當x＝1時，f(2)＝＝＝， 當x＝2時，f(3)＝＝＝， 當x＝3時，f(4)＝＝＝， 故可猜想f(x)＝(x∈N*)． 4．觀察分析下表中的數(shù)據(jù)： 多面體 面數(shù)(F) 頂點數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱柱 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12 猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是____________________． 答案 F＋V－E＝2 解析 在三棱柱中5＋6－9＝2； 在五棱錐中6＋6－10＝2； 在立方體中6＋8－12＝2， 由此可得F＋V－E＝2. 5．某同學在紙上畫出如下若干個三角形： △▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲…… 若依此規(guī)律，得到一系列的三角形，則在前2015個三角形中▲的個數(shù)是________． 考點 歸納推理的應用 題點 歸納推理在圖形中的應用 答案 62 解析 前n個▲中所包含的所有三角形的個數(shù)是1＋2＋3＋…＋n＋n＝，由＝2015，解得n＝62. 6.如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2，過點A作BC的垂線，垂足為A1，過點A1作AC的垂線，垂足為A2；過點A2作A1C的垂線，垂足為A3；…，以此類推，設BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，則a7＝________. 答案 解析 根據(jù)題意易得a1＝2，a2＝，a3＝1， 所以{an}構成a1＝2，q＝的等比數(shù)列， 所以a7＝a1q6＝26＝. 7．我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．下列幾何體中，一定屬于相似體的序號是________． ①兩個球體；②兩個長方體；③兩個正四面體；④兩個正三棱柱；⑤兩個正四棱錐． 答案?、佗? 解析 類比相似形中的對應邊成比例知，①③屬于相似體． 8．如圖所示，將若干個點擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個端點)有n(n>1，n∈N*)個點，相應的圖案中總的點數(shù)記為an，則＋＋＋…＋＝________. 答案 解析 由已知圖形，可知a2＝1＋2，a3＝1＋2＋3，a4＝1＋2＋2＋4，a5＝1＋2＋2＋2＋5，故an等于n個數(shù)的和，其中第一個數(shù)為1，最后一個數(shù)為n，中間的n－2個數(shù)為2，所以an＝1＋2(n－2)＋n＝3n－3＝3(n－1)． 故＝＝＝－(n>1，n∈N*)． 所以＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝. 9．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，則m，n的大小關系是________． 考點 綜合法及應用 題點 利用綜合法解決不等式問題 答案 m>n 解析 ab>0?>0?a＋b＋2>a＋b?(＋)2>()2?＋>?>?lg>lg. 10.現(xiàn)有一個關于平面圖形的命題：如圖，同一平面內有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個棱長為a的正方體，其中一個的某頂點在另一個中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________． 考點 類比推理的應用 題點 平面幾何與立體幾何之間的類比 答案 解析 解法的類比(特殊化)，可得兩個正方體重疊部分的體積為. 11.如圖，有一個六邊形的點陣，它的中心是1個點(算第1層)，第2層每邊有2個點，第3層每邊有3個點，…，依此類推，如果一個六邊形點陣共有169個點，那么它的層數(shù)為________． 答案 8 解析 由題意知，第1層的點數(shù)為1，第2層的點數(shù)為6，第3層的點數(shù)為26，第4層的點數(shù)為36，第5層的點數(shù)為46，…，第n(n≥2，n∈N*)層的點數(shù)為6(n－1)．設一個點陣有n(n≥2，n∈N*)層，則共有的點數(shù)為1＋6＋62＋…＋6(n－1)＝1＋(n－1)＝3n2－3n＋1.由題意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)(n－8)＝0，所以n＝8，故它的層數(shù)為8. 12．觀察下列由火柴桿拼成的一列圖形中，第n個圖形由n個正方形組成： 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第4個圖形中，火柴桿有________根；第n個圖形中，火柴桿有________根． 答案 13 3n＋1 13．某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關系用取整函數(shù)y＝[x](其中[x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為________． 答案 y＝ 解析 根據(jù)規(guī)定每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時，再增加一名代表，即余數(shù)分別為7,8,9時，可增選一名代表，也就是x要進一位，所以最小應該加3，因此，利用取整函數(shù)可表示為y＝. 14.如圖，在平面直角坐標系xOy中，圓x2＋y2＝r2(r>0)內切于正方形ABCD，任取圓上一點P，若＝m＋n(m，n∈R)，則是m2，n2的等差中項；現(xiàn)有一橢圓＋＝1(a>b>0)內切于矩形ABCD，任取橢圓上一點P，若＝m＋n(m，n∈R)，則m2，n2的等差中項為________． 答案 解析 如圖，設P(x，y)， 由＋＝1知，A(a，b)，B(－a，b)，由＝m＋n，可得代入＋＝1，可得(m－n)2＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝， 所以＝，即m2，n2的等差中項為. 二、解答題(本大題共6小題，共90分) 15．(14分)1，，2能否為同一等差數(shù)列中的三項？說明理由． 解 假設1，，2能為同一等差數(shù)列中的三項，但不一定是連續(xù)的三項，設公差為d，則 1＝－md,2＝＋nd，m，n為兩個正整數(shù)， 消去d，得m＝(＋1)n. ∵m為有理數(shù)，(＋1)n為無理數(shù)，∴m≠(＋1)n. ∴假設不成立． 即1，，2不可能為同一等差數(shù)列中的三項． 16．(14分)設a，b為實數(shù)，求證：≥(a＋b)． 證明 當a＋b≤0時，∵≥0， ∴≥(a＋b)成立． 當a＋b>0時，用分析法證明如下： 要證≥(a＋b)，只需證()2≥2， 即證a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab對一切實數(shù)恒成立， ∴≥(a＋b)成立． 綜上所述，對任意實數(shù)a，b不等式都成立． 17．(14分)已知實數(shù)p滿足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用反證法證明，關于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實數(shù)根． 證明 假設方程x2－2x＋5－p2＝0有實數(shù)根， 則該方程的根的判別式Δ＝4－4(5－p2)≥0， 解得p≥2或p≤－2.① 而由已知條件實數(shù)p滿足不等式(2p＋1)(p＋2)<0， 解得－2
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