2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 概率與統(tǒng)計(jì) 11.2 古典概型與幾何概型練習(xí) 理.doc

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11.2　古典概型與幾何概型 考綱解讀 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 要求 高考示例 ?？碱}型 預(yù)測(cè)熱度 1.古典概型 ①理解古典概型及其概率計(jì)算公式; ②會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 掌握 2017山東,8; 2016天津,16; 2015廣東,4; 2014陜西,6 選擇題 解答題 ★★★ 2.幾何概型 ①了解隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率; ②了解幾何概型的意義 了解 2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,2; 2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,4; 2015湖北,7 選擇題 ★☆☆ 分析解讀　1.掌握在古典概型條件下,能應(yīng)用任何事件的概率公式解決實(shí)際問(wèn)題.2.通過(guò)實(shí)例,理解幾何概型及其概率計(jì)算公式,并會(huì)運(yùn)用公式求解一些簡(jiǎn)單的有關(guān)概率的問(wèn)題.本節(jié)在高考中單獨(dú)命題時(shí),通常以選擇題、填空題形式出現(xiàn),分值約為5分,屬中低檔題.隨機(jī)事件,古典概型與隨機(jī)變量的分布列,期望與方差等綜合在一起考查時(shí)一般以解答題形式出現(xiàn),分值約為12分,屬中檔題. 五年高考 考點(diǎn)一　古典概型 1.(2017山東,8,5分)從分別標(biāo)有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次,每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　C 2.(2015廣東,4,5分)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球,其中有10個(gè)白球,5個(gè)紅球.從袋中任取2個(gè)球,所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球,1個(gè)紅球的概率為(　　) A. B. C. D.1 答案　B 3.(2014陜西,6,5分)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中,任取2個(gè)點(diǎn),則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 4.(2016天津,16,13分)某小組共10人,利用假期參加義工活動(dòng),已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì). (1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率; (2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解析　(1)由已知,有P(A)==. 所以,事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2. P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==. 所以,隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 P 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0+1+2=1. 教師用書(shū)專用(5—11) 5.(2016江蘇,7,5分)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是　　　　. 答案　 6.(2014江蘇,4,5分)從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù),則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率是　　　　. 答案　 7.(2014江西,12,5分)10件產(chǎn)品中有7件正品、3件次品,從中任取4件,則恰好取到1件次品的概率是　　　　. 答案　 8.(2014廣東,11,5分)從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個(gè)不同的數(shù),則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為　　　　. 答案　 9.(2013江蘇,7,5分)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn,其中正整數(shù)m,n(m≤7,n≤9)可以任意選取,則m,n都取到奇數(shù)的概率為　　　　. 答案　 10.(2013重慶,18,13分)某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定:在一次摸獎(jiǎng)中,摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球,再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球.根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù),設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下: 獎(jiǎng)　級(jí) 摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù) 獲獎(jiǎng)金額 一等獎(jiǎng) 3紅1藍(lán) 200元 二等獎(jiǎng) 3紅0藍(lán) 50元 三等獎(jiǎng) 2紅1藍(lán) 10元 其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí). (1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率; (2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額X的分布列與期望E(X). 解析　設(shè)Ai表示摸到i個(gè)紅球,Bj表示摸到j(luò)個(gè)藍(lán)球,則Ai(i=0,1,2,3)與Bj(j=0,1)獨(dú)立. (1)恰好摸到1個(gè)紅球的概率為P(A1)==. (2)X的所有可能的值為:0,10,50,200,且 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)==, P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)==, P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)===, P(X=0)=1---=. 綜上知X的分布列為 X 0 10 50 200 P 從而有E(X)=0+10+50+200=4(元). 11.(2013湖南,18,12分)某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn),一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示: X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米. (1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物,求它們恰好“相近”的概率; (2)從所種作物中隨機(jī)選取一株,求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望. 解析　(1)所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3,邊界上的作物株數(shù)為12,從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有=36種.選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8種. 故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物,它們恰好“相近”的概率為=. (2)先求從所種作物中隨機(jī)選取的一株作物的年收獲量Y的分布列. 因?yàn)镻(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2), P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4). 所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可. 記nk為其“相近”作物恰有k(k=1,2,3,4)株的作物株數(shù),則n1=2,n2=4,n3=6,n4=3. 由P(X=k)=得P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)==,P(X=4)==. 故所求的分布列為 Y 51 48 45 42 P 所求的數(shù)學(xué)期望為 E(Y)=51+48+45+42==46. 考點(diǎn)二　幾何概型 1.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,2,5分)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 2.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,4,5分)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　B 3.(2014湖北,7,5分)由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω1,不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω2,在Ω1中隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)恰好在Ω2內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 4.(2017江蘇,7,5分)記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[-4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈D的概率是　　　　. 答案　 5.(2016山東,14,5分)在[-1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為　　　　. 答案　 教師用書(shū)專用(6—11) 6.(2015湖北,7,5分)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≥”的概率,p2為事件“|x-y|≤”的概率,p3為事件“xy≤”的概率,則(　　) A.p10”發(fā)生的概率為　　　　. 答案　 三年模擬 A組　2016—2018年模擬基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一　古典概型 1.(2018廣東興寧沐彬中學(xué)第二次月考,9)“微信搶紅包”自2015年以來(lái)異?；鸨?在某個(gè)微信群某次進(jìn)行的搶紅包活動(dòng)中,若所發(fā)紅包的總金額為8元,被隨機(jī)分配為1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元,共5份,供甲、乙等5人搶,每人只能搶一次,則甲、乙二人搶到的金額之和不低于3.5元的概率是　(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　B 2.(2017高考押題卷(一),4)世界最大口徑射電望遠(yuǎn)鏡FAST于2016年9月25日在貴州省黔南州落成啟用,它被譽(yù)為“中國(guó)天眼”,從選址到啟用歷經(jīng)22年,FAST選址時(shí)對(duì)一萬(wàn)多個(gè)地方逐一審查,為了加快選址的工作進(jìn)度,將初選地方分配給工作人員進(jìn)行審查.若分配給某個(gè)研究員8個(gè)地方,其中有3個(gè)地方是貴州省的,某月該研究員從這8個(gè)地方中任選2個(gè)地方進(jìn)行實(shí)地研究,則這個(gè)月他能到貴州省的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 3.(2017福建福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校上學(xué)期適應(yīng)性測(cè)試(一),7)2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排,則3位女生中有且只有兩位女生相鄰的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 4.(人教A必3,三,3-2-1,例3,變式)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為3的概率是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　B 考點(diǎn)二　幾何概型 5.(2018河北衡水高考模擬聯(lián)考,2)如圖所示是一個(gè)長(zhǎng)方形,其內(nèi)部陰影部分為兩個(gè)半圓,在此圓形中任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為(　　) A. B. C.1- D.1- 答案　B 6.(2017陜西榆林二模,4)若函數(shù)f(x)=在區(qū)間[0,e]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x,則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B.1- C. D. 答案　B 7.(2017湖南永州第一次模擬,8)如圖所示的陰影部分是由x軸,直線x=1及曲線y=ex-1圍成的,現(xiàn)向矩形區(qū)域OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn),則該點(diǎn)落在陰影部分的概率是(　　) A. B. C.1- D. 答案　D 8.(2017北京師大附中期中,14)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,∠ABC=150,若在菱形內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1的概率為　　　　. 答案　1- B組　2016—2018年模擬提升題組 (滿分:45分　時(shí)間:30分鐘) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2018廣西柳州高級(jí)中學(xué)、南寧第二中學(xué)第二次聯(lián)考,10)老師計(jì)劃在晚修19:00—20:00解答甲、乙兩名學(xué)生的問(wèn)題,預(yù)計(jì)解答完一名學(xué)生的問(wèn)題需要20分鐘.若甲、乙兩人在晚修內(nèi)的任意時(shí)刻去問(wèn)問(wèn)題是相互獨(dú)立的,則兩人獨(dú)自去時(shí)不需要等待的概率為　(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　B 2.(2018陜西西安長(zhǎng)安區(qū)第一中學(xué)第八次質(zhì)量檢測(cè),9)如圖,三行三列的方陣中有9個(gè)數(shù)aij(i=1,2,3; j=1,2,3),從中任取三個(gè)數(shù),則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 3.(2017湖北襄陽(yáng)優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考,10)已知λ=3x2dx,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,則在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)任取一點(diǎn)P,使得≥λ的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 4.(2017山西大學(xué)附中第二次模擬,10)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=-20,在區(qū)間(3,5)內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)作為數(shù)列{an}的公差,則Sn的最小值僅為S6的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 5.(2016湖北華師一附中3月聯(lián)考,5)在區(qū)間[0,4]上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,使得x+2y≤8的概率為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　D 二、填空題(共5分) 6.(2018江西重點(diǎn)中學(xué)盟校第一次聯(lián)考,14)從左至右依次站著甲、乙、丙3個(gè)人,從中隨機(jī)抽取2個(gè)人進(jìn)行位置調(diào)換,則經(jīng)過(guò)兩次這樣的調(diào)換后,甲在乙左邊的概率是　　　　. 答案　 三、解答題(共15分) 7.(2018廣東佛山三水區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)第一次模擬,19)某游樂(lè)園為吸引游客推出了一項(xiàng)有獎(jiǎng)轉(zhuǎn)盤(pán)活動(dòng).如圖所示,假設(shè)轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻,每個(gè)游客憑門(mén)票只可以參與一次活動(dòng),一次活動(dòng)需轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),工作人員便會(huì)記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y,獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下: ①若xy≤3,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè); ②若xy≥8,則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè); ③其余情況則獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶. (1)求在一次活動(dòng)中獲得玩具的概率; (2)請(qǐng)比較一次活動(dòng)中獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說(shuō)明理由. 解析　(1)用數(shù)對(duì)(x,y)表示游客轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(pán)先后記錄的數(shù),則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng).因?yàn)镾中元素個(gè)數(shù)是44=16,所以基本事件總數(shù)n=16. 記“xy≤3”為事件A,則事件A包含的基本事件共有5個(gè), 為(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),故P(A)=, 故在一次活動(dòng)中獲得玩具的概率為. (2)記“xy≥8”為事件B,“30成立的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 3.(2018上海復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)月考,10)從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取兩個(gè)數(shù),要使取到的一個(gè)數(shù)大于k,另一個(gè)數(shù)小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率是,則k=　　　　. 答案　7 方法2　幾何概型的概率求法 4.(2017湖南長(zhǎng)沙四縣3月聯(lián)考,4)如圖,在一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體魚(yú)缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無(wú)底圓錐形容器,圓錐的底面圓周與魚(yú)缸的底面正方形相切,圓錐的頂點(diǎn)在魚(yú)缸的缸底上,現(xiàn)在向魚(yú)缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚(yú)食,則“魚(yú)食能被魚(yú)缸內(nèi)在圓錐外面的魚(yú)吃到”的概率是(　　) A.1- B. C. D.1- 答案　A 5.(2017湖北黃石調(diào)研,9)假設(shè)小明家訂了一份牛奶,送奶工在早上6:00~7:00之間隨機(jī)地把牛奶送到小明家,而小明在早上6:30~7:30之間隨機(jī)地離家上學(xué),則小明在離開(kāi)家前能收到牛奶的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 6.(2018廣東東莞模擬,14)已知|x|≤2,|y|≤2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)x,y∈R時(shí),滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率為　　　　. 答案