2019高考數學 專題十八 圓錐曲線綜合精準培優(yōu)專練 文.doc
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培優(yōu)點十八 圓錐曲線綜合 1.直線過定點 例1:已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓的離心率為,過左焦點且垂直于軸的直線交橢圓于,兩點,且. (1)求的方程; (2)若直線是圓上的點處的切線,點是直線上任一點,過點作橢圓的切線,,切點分別為,,設切線的斜率都存在.求證:直線過定點,并求出該定點的坐標. 【答案】(1);(2)證明見解析,. 【解析】(1)由已知,設橢圓的方程為, 因為,不妨設點,代入橢圓方程得, 又因為,所以,,所以,, 所以的方程為. (2)依題設,得直線的方程為,即, 設,,, 由切線的斜率存在,設其方程為, 聯(lián)立得,, 由相切得, 化簡得,即, 因為方程只有一解,所以,所以切線的方程為, 即,同理,切線的方程為, 又因為兩切線都經過點,所以,所以直線的方程為, 又,所以直線的方程可化為, 即,令,得, 所以直線恒過定點. 2.面積問題 例2:已知橢圓的左、右焦點分別為、,焦距為4,直線與橢圓相交于、兩點,關于直線的對稱點在橢圓上.斜率為的直線與線段相交于點,與橢圓相交于、兩點. (1)求橢圓的標準方程; (2)求四邊形面積的取值范圍. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)由橢圓焦距為4,設,,連結,設, 則,又,得,, , 解得,,所以橢圓方程為. (2)設直線方程:,、, 由,得,所以, 由(1)知直線:,代入橢圓得,,得,由直線與線段相交于點,得, , 而與,知,, 由,得,所以, 四邊形面積的取值范圍. 3.參數的值與范圍 例3:已知拋物線的焦點,點在拋物線上,過焦點的直線交拋物線于,兩點. (1)求拋物線的方程以及的值; (2)記拋物線的準線與軸交于點,若,,求的值. 【答案】(1),;(2). 【解析】(1)拋物線的焦點, ,則,拋物線方程為; 點在拋物線上,. (2)依題意,,設,設、, 聯(lián)立方程,消去,得. 所以 ①,且, 又,則,即, 代入①得,消去得, ,則,, 則 , 當,解得,故. 4.弦長類問題 例4:已知橢圓的左右頂點是雙曲線的頂點,且橢圓的上頂點到雙曲線的漸近線的距離為. (1)求橢圓的方程; (2)若直線與相交于,兩點,與相交于,兩點,且,求的取值范圍. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)由題意可知:,又橢圓的上頂點為, 雙曲線的漸近線為:, 由點到直線的距離公式有:,∴橢圓方程. (2)易知直線l的斜率存在,設直線l的方程為,代入,消去并整理得: , 要與相交于兩點,則應有:, 設,, 則有:,. 又. 又:,所以有:, ,② 將,代入,消去并整理得:, 要有兩交點,則.③ 由①②③有. 設、.有,, . 將代入有. ,令,, 令,. 所以在內恒成立,故函數在內單調遞增, 故. 5.存在性問題 例5:已知橢圓的左、右焦點分別為,,點在橢圓上. (1)求橢圓的標準方程; (2)是否存在斜率為2的直線,使得當直線與橢圓有兩個不同交點,時,能在直線上找到一點,在橢圓上找到一點,滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由. 【答案】(1);(2)不存在,見解析. 【解析】(1)設橢圓的焦距為,則, ∵在橢圓上,∴, ∴,,故橢圓的方程為. (2)假設這樣的直線存在,設直線的方程為, 設,,,,的中點為, 由,消去,得, ∴,且,故且, 由,知四邊形為平行四邊形, 而為線段的中點,因此為線段的中點, ∴,得, 又,可得,∴點不在橢圓上, 故不存在滿足題意的直線. 對點增分集訓 一、解答題 1.已知動圓過點并且與圓相外切,動圓圓心的軌跡為. (1)求曲線的軌跡方程; (2)過點的直線與軌跡交于、兩點,設直線,設點,直線交于,求證:直線經過定點. 【答案】(1);(2)見解析. 【解析】(1)由已知,, 軌跡為雙曲線的右支,,,, 曲線標準方程. (2)由對稱性可知,直線必過軸的定點, 當直線的斜率不存在時,,,,知直線經過點, 當直線的斜率存在時,不妨設直線,,, 直線,當時,,, 得,,, 下面證明直線經過點,即證,即, 即,由,, 整理得,,即 即證經過點,直線過定點. 2.已知點在橢圓上,設,分別為橢圓的左頂點、下頂點,原點到直線的距離為. (1)求橢圓的方程; (2)設為橢圓在第一象限內一點,直線,分別交軸、軸于,兩點,求四邊形的面積. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)因為橢圓經過點,有, 由等面積法,可得原點到直線的距離為, 聯(lián)立兩方程解得,,所以橢圓的方程為. (2)設點,則,即. 直線,令,得. 從而有,同理,可得. 所以四邊形的面積為 . 所以四邊形的面積為. 3.已知點為圓的圓心,是圓上的動點,點在圓的半徑上,且有點和上的點,滿足,. (1)當點在圓上運動時,判斷點的軌跡是什么?并求出其方程; (2)若斜率為的直線與圓相切,與(1)中所求點的軌跡交于不同的兩點,, 且(其中是坐標原點),求的取值范圍. 【答案】(1)是以點,為焦點,焦距為2,長軸長為的橢圓,;(2). 【解析】(1)由題意是線段的垂直平分線, 所以, 所以點的軌跡是以點,為焦點,焦距為2,長軸長為的橢圓, ∴,,, 故點的軌跡方程是. (2)設直線:,,, 直線與圓相切,得,即, 聯(lián)立,消去得:, ,得, ,, ∴ , 所以,得, ∴,解得或, 故所求范圍為. 4.已知橢圓的焦距為,離心率為,圓,,是橢圓的左右頂點,是圓的任意一條直徑,面積的最大值為2. (1)求橢圓及圓的方程; (2)若為圓的任意一條切線,與橢圓交于兩點,,求的取值范圍. 【答案】(1),;(2). 【解析】(1)設點到軸距離為,則,易知當線段在軸時,,, ,,,,, 所以橢圓方程為,圓的方程為. (2)當直線的斜率不存在時,直線的方程為,此時; 設直線方程為:,直線為圓的切線,,, 直線與橢圓聯(lián)立,,得, 判別式,由韋達定理得:, 所以弦長,令, 所以; 綜上,, 5.如圖,己知、是橢圓的左、右焦點,直線經過左焦點,且與橢圓交,兩點,的周長為. (1)求橢圓的標準方程; (2)是否存在直線,使得為等腰直角三角形?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由. 【答案】(1);(2)不存在,見解析. 【解析】(1)設橢圓的半焦距為,因為直線與軸的交點為,故. 又的周長為,即,故,所以,. 因此,橢圓的標準方程為. (2)不存在.理由如下: 先用反證法證明不可能為底邊,即. 由題意知,設,,假設,則, 又,,代入上式,消去,得:. 因為直線斜率存在,所以直線不垂直于軸,所以,故. (與,,矛盾) 聯(lián)立方程,得:,所以矛盾. 故. 再證明不可能為等腰直角三角形的直角腰. 假設為等腰直角三角形,不妨設為直角頂點. 設,則,在中,由勾股定理得:,此方程無解.故不存在這樣的等腰直角三角形.- 配套講稿:
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