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第7課 兩類動(dòng)力學(xué)問題 超重與失重
1．兩類動(dòng)力學(xué)問題
a．運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解決已知受力情況求運(yùn)動(dòng)情況的問題
(1)(多選)(2016全國(guó)Ⅱ，6分)兩實(shí)心小球甲和乙由同一種材料制成，甲球質(zhì)量大于乙球質(zhì)量。兩球在空氣中由靜止下落，假設(shè)它們運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力與球的半徑成正比，與球的速率無(wú)關(guān)。若它們下落相同的距離，則( )
A．甲球用的時(shí)間比乙球長(zhǎng)
B．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
答案：BD
解析：設(shè)小球受到的阻力為f，則f＝kR，k是常數(shù)，則由牛頓第二定律得mg－f＝ma，而
m＝ρπR3，故a＝g－，由R甲>R乙、ρ甲＝ρ乙可知a甲>a乙，故C項(xiàng)錯(cuò)誤。因甲、乙位移相同，由v2＝2ax可知，v甲>v乙，故B項(xiàng)正確。由x＝at2可知，t甲
f乙，則W甲克服>W乙克服，故D項(xiàng)正確。
(2)(2016四川理綜，17分)避險(xiǎn)車道是避免惡性交通事故的重要設(shè)施，由制動(dòng)坡床和防撞設(shè)施等組成，如圖所示豎直平面內(nèi)，制動(dòng)坡床視為與水平面夾角為θ的斜面。一輛長(zhǎng)12 m的載有貨物的貨車因剎車失靈從干道駛?cè)胫苿?dòng)坡床，當(dāng)車速為23 m/s時(shí)，車尾位于制動(dòng)坡床的底端，貨物開始在車廂內(nèi)向車頭滑動(dòng)，當(dāng)貨物在車廂內(nèi)滑動(dòng)了4 m時(shí)，車頭距制動(dòng)坡床頂端38 m，再過(guò)一段時(shí)間，貨車停止。已知貨車質(zhì)量是貨物質(zhì)量的4倍，貨物與車廂間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.4；貨車在制動(dòng)坡床上運(yùn)動(dòng)受到的坡床阻力大小為貨車和貨物總重的0.44倍。貨物與貨車分別視為小滑塊和平板，取cos θ＝1，sin θ＝0.1，g＝10 m/s2。求：
①貨物在車廂內(nèi)滑動(dòng)時(shí)加速度的大小和方向；
②制動(dòng)坡床的長(zhǎng)度。
答案：①5 m/s2，方向沿制動(dòng)坡床向下(4分)
②98 m(13分)
解析：①設(shè)貨物的質(zhì)量為m，貨物在車廂內(nèi)滑動(dòng)過(guò)程中，貨物與車廂間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.4，受摩擦力大小為f，加速度大小為a1，則
f＋mgsin θ＝ma1①(2分)
f＝μmgcos θ②(1分)
聯(lián)立①②解得a1＝5 m/s2，方向沿制動(dòng)坡床向下。(1分)
②設(shè)貨車的質(zhì)量為4m，車尾位于制動(dòng)坡床底端時(shí)的車速為v＝23 m/s，貨物在車廂內(nèi)開始滑動(dòng)到車頭距制動(dòng)坡床頂端s0＝38 m的過(guò)程中，用時(shí)為t，貨物相對(duì)制動(dòng)坡床的運(yùn)動(dòng)距離為s1，貨車運(yùn)動(dòng)距離為s2，貨物相對(duì)貨車運(yùn)動(dòng)的距離為s＝4 m，貨車受到制動(dòng)坡床的阻力大小為F，加速度大小為a2，貨車長(zhǎng)度為l0＝12 m，制動(dòng)坡床的長(zhǎng)度為l，則
4mgsin θ＋F－f＝4ma2③(2分)
F＝0.44(m＋4m)g④(2分)
s1＝vt－a1t2⑤(2分)
s2＝vt－a2t2⑥(2分)
s＝s1－s2⑦(2分)
l＝l0＋s0＋s2⑧(2分)
聯(lián)立①～⑧解得
l＝98 m(1分)
b．運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解決已知物體的運(yùn)動(dòng)情況求受力情況的問題
(3)(經(jīng)典題，8分)一質(zhì)量為m的消防隊(duì)員從一平臺(tái)上無(wú)初速度跳下，豎直落向水平地面，下落2 m后雙腳觸地，接著他用雙腿彎曲的方法緩沖，使重心又下降了0.5 m，在著地過(guò)程中(重力加速度為g)，求雙腳對(duì)地面的平均作用力。
答案：5mg，方向向下(8分)
解析：落地時(shí)的速度為v＝①(2分)
緩沖過(guò)程中a＝＝＝4g，方向豎直向上。②(2分)
由牛頓第二定律得FN－mg＝ma③(2分)
聯(lián)立①②③解得
FN＝mg＋ma＝5mg，方向豎直向上。(1分)
由牛頓第三定律得，雙腳對(duì)地面的平均作用力的大小F′N＝FN＝5mg，方向豎直向下。(1分)
(4)(多選)(2013浙江理綜，6分)如圖所示，總質(zhì)量為460 kg的熱氣球，從地面剛開始豎直上升時(shí)的加速度為0.5 m/s2，當(dāng)熱氣球上升到180 m時(shí)，以5 m/s的速度向上勻速運(yùn)動(dòng)。若離開地面后熱氣球所受浮力保持不變，上升過(guò)程中熱氣球總質(zhì)量不變，重力加速度g＝10 m/s2。關(guān)于熱氣球，下列說(shuō)法正確的是( )
A．所受浮力大小為4 830 N
B．加速上升過(guò)程中所受空氣阻力保持不變
C．從地面開始上升10 s后的速度大小為5 m/s
D．以5 m/s勻速上升時(shí)所受空氣阻力大小為230 N
答案：AD
解析：從地面剛開始豎直上升時(shí)，速度為零，故阻力為零，氣球受重力和浮力，根據(jù)牛頓第二定律得F?。璵g＝ma，解得F?。絤(g＋a)＝4830 N，故A項(xiàng)正確。氣球受重力、浮力和空氣阻力，若阻力不變，合力不變，氣球勻加速上升，與題目中物體上升至180 m時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)矛盾，則加速上升過(guò)程中所受空氣阻力逐漸增大，故B項(xiàng)錯(cuò)誤。剛開始豎直上升時(shí)的加速度為0.5 m/s2，氣球是變加速運(yùn)動(dòng)，加速度逐漸減小，故10 s后的速度大小小于5 m/s，故C項(xiàng)錯(cuò)誤。以5 m/s勻速上升時(shí)，根據(jù)平衡條件得F浮＝mg＋f，解得f＝230 N，故D項(xiàng)正確。
(5)(2014全國(guó)Ⅰ，12分)公路上行駛的兩汽車之間應(yīng)保持一定的安全距離。當(dāng)前車突然停止時(shí)，后車司機(jī)可以采取剎車措施，使汽車在安全距離內(nèi)停下而不會(huì)與前車相碰。通常情況下，人的反應(yīng)時(shí)間和汽車系統(tǒng)的反應(yīng)時(shí)間之和為1 s，當(dāng)汽車在晴天干燥瀝青路面上以108 km/h的速度勻速行駛時(shí)，安全距離為120 m。設(shè)雨天時(shí)汽車輪胎與瀝青路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為晴天時(shí)的，若要求安全距離仍為120 m，求汽車在雨天安全行駛的最大速度。
答案：20 m/s(72 km/h)(12分)
解析：設(shè)路面干燥時(shí)，汽車與路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ0，剎車時(shí)汽車的加速度大小為a0，安全距離為s，反應(yīng)時(shí)間為t0，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得
μ0mg＝ma0①(2分)
s＝v0t0＋②(2分)
式中m和v0分別為汽車的質(zhì)量和剎車前的速度。
設(shè)在雨天行駛時(shí)，汽車與路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，依題意有μ＝μ0③(2分)
設(shè)在雨天行駛時(shí)汽車剎車的加速度大小為a，安全行駛的最大速度為v，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得
μmg＝ma④(2分)
s＝vt0＋⑤(2分)
聯(lián)立①②③④⑤解得v＝20 m/s(72 km/h)(2分)
2．運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解決動(dòng)力學(xué)的圖像問題
a．運(yùn)用v－t圖像解決動(dòng)力學(xué)問題
(6)(2018改編，12分)如圖所示，t＝0時(shí)刻質(zhì)量分別為m、2m的A、B兩物體(均可視為質(zhì)點(diǎn))放在同一水平面上，兩物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ，現(xiàn)A物體受到大小為3μmg，B物體受到大小為4μmg，方向均水平向右的恒力作用，兩物體同時(shí)出發(fā)向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)t0時(shí)間兩物體同時(shí)撤去水平向右的恒力，此過(guò)程兩物體并未相撞，之后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)直至停止，A物體停止時(shí)恰好追上B，求t＝0時(shí)刻兩物體之間的距離s。
答案：2μgt(12分)
解析：法一(解析法)
受到水平恒力作用時(shí)，由牛頓第二定律得
A物體的加速度aA＝①(2分)
B物體的加速度aB＝②(1分)
故A物體的位移xA＝aAt③(1分)
vA＝aAt0④(1分)
B物體的位移xB＝aBt⑤(1分)
vB＝aBt0⑥(1分)
由牛頓第二定律得兩物體勻減速時(shí)的加速度
aA′＝aB′＝μg⑦(1分)
2aA′xA′＝v⑧(1分)
2aB′xB′＝v⑨(1分)
s＝(xA＋xA′)－(xB＋xB′)⑩(1分)
聯(lián)立上式得s＝2μgt(1分)
法二(圖像法)
由牛頓第二定律得受力時(shí)A的加速度
aA＝＝2μg(3分)
B物體加速度aB＝＝μg (3分)
撤去力時(shí)兩物體的加速度aA′＝aB′＝μg，故減速時(shí)A、B的v－t圖線平行。
據(jù)此畫出A、B兩物體的v－t圖像如圖所示。物體A、物體B的v－t圖線與t軸圍成的面積大小之差就是s，由圖像得s＝2μgt(6分)
(7)(2018改編，10分)如圖(a)所示，一物塊在t＝0時(shí)刻滑上一固定斜面，其運(yùn)動(dòng)的v－t圖線如圖(b)所示。若重力加速度及圖中的v0、v1、t1均為已知量，求物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)和物塊沿斜面向上滑行的最大高度。
答案： (10分)
解析：由v－t圖像可得物塊沿斜面向上滑行時(shí)的加速度大小為a＝①(2分)
設(shè)斜面傾角為θ，根據(jù)牛頓第二定律得
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma②(2分)
同理，向下滑行時(shí)有
mgsin θ－μmgcos θ＝m③(2分)
由題圖知物塊向上滑行的最大位移x＝t1④(2分)
聯(lián)立①②③④解得物塊向上滑行的最大高度為
xsin θ＝(1分)
物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)
μ＝(1分)
b．動(dòng)力學(xué)問題中選擇正確的a－t圖像或F－a圖像可采用解析法或排除法
(8)(2013全國(guó)Ⅱ，6分)一物塊靜止在粗糙的水平桌面上。從某時(shí)刻開始，物塊受到一方向不變的水平拉力作用，假設(shè)物塊與桌面間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。以a表示物塊的加速度大小，F(xiàn)表示水平拉力的大小。能正確描述F與a之間關(guān)系的圖像是( )
答案：C
解析：法一(解析法)
設(shè)物塊所受滑動(dòng)摩擦力為f，在水平拉力F作用下，物塊做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得F＝ma＋f，所以能正確描述F與a之間關(guān)系的圖像是C，故C項(xiàng)正確，A項(xiàng)、B項(xiàng)、D項(xiàng)均錯(cuò)誤。
法二(排除法)
因物體還受到摩擦力，故力F達(dá)不到最大靜摩擦力時(shí)，物體靜止，加速度為0，故圖線的縱軸截距大于0，當(dāng)F大于最大靜摩擦力時(shí)，a隨F增大而增大，故C項(xiàng)正確，A項(xiàng)、B項(xiàng)、D項(xiàng)均錯(cuò)誤。
(9)(經(jīng)典題，6分)在光滑水平面上有一質(zhì)量為m1的足夠長(zhǎng)的木板，其上疊放一質(zhì)量為m2的木塊。假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等?，F(xiàn)給木塊施加一隨時(shí)間t增大的水平力F＝kt(k是常數(shù))，木板和木塊加速度的大小分別為a1和a2。下列反映a1和a2變化的圖線中正確的是( )
答案：A
解析：本題中開始階段兩物體一起做加速運(yùn)動(dòng)，有F＝(m1＋m2)a，即a＝，兩物體加速度相同且與時(shí)間成正比。當(dāng)兩物體間的摩擦力達(dá)到μm2g后兩者發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。對(duì)m2有
F－f＝m2a2，在相對(duì)滑動(dòng)之前f逐漸增大，相對(duì)滑動(dòng)后f＝μm2g不再變化，a2＝，故其圖像斜率增大。而對(duì)m1，在發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)后，有μm2g＝m1a1，可見a1＝為定值，故A項(xiàng)正確。
3．求解超重與失重問題的關(guān)鍵是加速度的分析
(10)(多選)(2015江蘇單科，4分)一人乘電梯上樓，在豎直上升過(guò)程中加速度a隨時(shí)間t變化的圖線如圖所示，以豎直向上為a的正方向，則人對(duì)地板的壓力( )
A．t＝2 s時(shí)最大 B．t＝2 s時(shí)最小
C．t＝8.5 s時(shí)最大 D．t＝8.5 s時(shí)最小
答案：AD
解析：人受重力mg和支持力FN的作用，由牛頓第二定律得FN－mg＝ma。由牛頓第三定律得人對(duì)地板的壓力FN′＝FN＝mg＋ma。當(dāng)t＝2 s時(shí)a為正且有最大值，F(xiàn)′N最大，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤。當(dāng)t＝8.5 s時(shí)，a為負(fù)且有最大值，F(xiàn)′N最小，故D項(xiàng)正確，C項(xiàng)錯(cuò)誤。
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