線性空間與線性變換(重要).ppt
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第三章線性空間與線性變換,3.1線性空間的定義與性質(zhì),0,數(shù)軸,平面,三維空間,常見的幾何空間：,幾何空間R3的運(yùn)算,運(yùn)算規(guī)律,加法：,數(shù)乘：,對幾何空間進(jìn)行推廣，通過抽象出幾何空間線性運(yùn)算的本質(zhì)；在任意研究對象的集合上定義具有線性運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。,線性空間,若對于任一數(shù)與任一元素，總有唯一的一個元素與之對應(yīng)，稱為與的積，記作,定義１設(shè)是一個非空集合，為一個數(shù)域．如果對于任意兩個元素，總有唯一的一個元素與之對應(yīng)，稱為與的和，記作,如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律:,那么就稱為數(shù)域上的線性空間．,2．判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間．,注,1．凡滿足以上八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運(yùn)算，稱為線性運(yùn)算．,特別地，當(dāng)集合中定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則只需檢驗(yàn)對運(yùn)算的封閉性．,例1實(shí)數(shù)域上的全體矩陣，對矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記作．,注,加法：,數(shù)乘:,例3全體正實(shí)數(shù)R+,定義加法和數(shù)量乘法如下：,解：,零元為常數(shù)1,故在該加法和數(shù)乘運(yùn)算下，對應(yīng)集合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間。,負(fù)元為1/a,注：線性空間的元素統(tǒng)稱為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等.,線性空間的簡單性質(zhì)：零元素是唯一的；負(fù)元素是唯一的；0?=0;k0=0;(-1)?=-?；如果k?=0,那么k=0或?=0。,01=01+02=02,-?1=(-?1)+0=(-?1)+(?+(-?2)),=((-?1)+?)+(-?2)=0+(-?2)=-?2,3.4線性子空間,對三維幾何空間：,任何過原點(diǎn)的平面是R3的子集,在該平面上的所有向量對于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成一個二維的線性空間。,線性子空間,定義：設(shè)W是數(shù)域F上線性空間V的非空子集合.如果W中的向量對V中所定義的向量加法和數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成F上的線性空間，則稱W為V的線性子空間,簡稱子空間.,定理:W是V的非空子集合，則W是V的子空間的充要條件是,V的子空間,注,,V和零子空間是V的平凡子空間；,其它子空間稱為V的真子空間.,生成子空間,3.2向量的線性相關(guān)性,如果線性空間V以通常的向量作為元素，即V中含有無窮多個向量。如何用有限個向量刻劃空間中的所有向量？需要討論向量間的關(guān)系.,如三維幾何空間：,線性組合與線性表示,設(shè)V是數(shù)域F上的一個線性空間，是V中的一組向量，是數(shù)域F中的數(shù)，那么向量,稱為向量的一個線性組合，有時也稱向量可以由線性表示。,例1:,線性相關(guān)與線性無關(guān),設(shè)V是數(shù)域F上的一個線性空間，且如果在數(shù)域F中存在s個不全為零的數(shù),使得,則稱向量組線性相關(guān).,否則稱向量組線性無關(guān)，即若,則必有,進(jìn)一步來理解向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān),考慮等式,注：(1)給定向量組，該向量組要么線性相關(guān)，要么線性無關(guān)。,(2)含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。,(3)向量組只包含一個向量時：,若,則說線性相關(guān)；,若,則說線性無關(guān)。,解：令,即,故,解：令,即,系數(shù)矩陣為方陣,故方程組Ax=0存在非零解.即線性相關(guān).,即r(A)=2<3，故Ax=0存在非零解.,另解：,同理，對,令,即,故線性無關(guān).,注：向量組只包含兩個非零向量時，則,,定理1n維列向量組線性相關(guān)的充要條件是r(A)下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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