九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第1章 直角三角形的邊角關(guān)系 1.5 三角函數(shù)的應(yīng)用同步練習(xí) 北師大版.doc

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1.5三角函數(shù)的應(yīng)用 一、夯實(shí)基礎(chǔ) 1．（xx?泰安）如圖，輪船沿正南方向以30海里/時(shí)的速度勻速航行，在M處觀測(cè)到燈塔P在西偏南68方向上，航行2小時(shí)后到達(dá)N處，觀測(cè)燈塔P在西偏南46方向上，若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔最近位置，則此時(shí)輪船離燈塔的距離約為（由科學(xué)計(jì)算器得到sin68=0.9272，sin46=0.7193，sin22=0.3746，sin44=0.6947）（　?。? A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63 2.如圖,一枚運(yùn)載火箭從地面處發(fā)射,當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)時(shí),從地面處的雷達(dá)站測(cè)得的距離是,仰角是,后,火箭到達(dá)點(diǎn),此時(shí)測(cè)得的距離是6.13km,仰角為,這枚火箭從點(diǎn)到點(diǎn)的平均速度是多少?(精確到) 3．如圖所示，一艘漁船正以30海里／時(shí)的速度由西向東追趕魚群，自A處經(jīng)半小時(shí)到達(dá)B處，在A處看見小島C在船的北偏東60的方向上，在B處看見小島C在船的北偏東30的方向上，已知以小島C為中心周圍10海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊(duì)軍事演習(xí)的著彈危險(xiǎn)區(qū)，則這艘船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域的可能? 4.某地震救援隊(duì)探測(cè)出某建筑物廢墟下方點(diǎn)處有生命跡象,已知廢墟一側(cè)地面上兩探測(cè)點(diǎn)A，B相距3米,探測(cè)線與地面的夾角分別是和(如圖),試確定生命所在點(diǎn)C的深度. (結(jié)果精確到米,參考數(shù)據(jù):,) 二、能力提升 5．如圖所示，某貨船以20海里／時(shí)的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方向的B處，經(jīng)16小時(shí)到達(dá)，到達(dá)后立即卸貨，此時(shí)接到氣象部門通知，一臺(tái)風(fēng)中心正以40海里／時(shí)的速度由A處向北偏西60的AC方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均會(huì)受到影響： (1) B處是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響?清說(shuō)明理由； (2)為避免卸貨過(guò)程受到臺(tái)風(fēng)影響，船上人員應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物?(精確到0.1小時(shí)，≈1.732) 6．如圖l—64所示，MN表示某引水工程的一段設(shè)計(jì)路線，從點(diǎn)M到點(diǎn)N的走向?yàn)楸逼?0，在點(diǎn)M的北偏西60方向上有一點(diǎn)A，以點(diǎn)A為圓心，以500米為半徑的圓形區(qū)域?yàn)榫用駞^(qū)，取MN上另一點(diǎn)B，測(cè)得BA的方向?yàn)楸逼?5．已知MB=400米，若不改變方向，則輸水路線是否會(huì)穿過(guò)居民區(qū)?(參考數(shù)據(jù)：≈1.732) 三、課外拓展 7．如圖所示，A，B兩地之間有一座山，汽車原來(lái)從A地到B地需要經(jīng)C地沿折線A—C—B行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知AC＝10 km，∠A＝30，∠B＝45，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來(lái)少走多少千米?(結(jié)果精確到0.1 km,參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73) 8.氣象臺(tái)發(fā)布的衛(wèi)星云圖顯示,代號(hào)為的臺(tái)風(fēng)在某海島(設(shè)為點(diǎn))的南偏東方向的點(diǎn)生成,測(cè)得.臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn)以的速度向正北方向移動(dòng)，經(jīng)后到達(dá)海面上的點(diǎn)處.因受氣旋影響,臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn)開始以的速度向北偏西方向繼續(xù)移動(dòng).以為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系． (1)臺(tái)風(fēng)中心生成點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,臺(tái)風(fēng)中心轉(zhuǎn)折點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；(結(jié)果保留根號(hào)) (2)已知距臺(tái)風(fēng)中心范圍內(nèi)均會(huì)受到臺(tái)風(fēng)侵襲.如果某城市(設(shè)為點(diǎn))位于點(diǎn)的正北方向且處于臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)路線上,那么臺(tái)風(fēng)從生成到最初侵襲該城要經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？ 四、中考鏈接 1．（xx?金華）一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為θ．現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA=4米，樓梯寬度1米，則地毯的面積至少需要（　　） A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2 2.（xx云南省昆明市）如圖，大樓AB右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓DE，在小樓的頂端D處測(cè)得障礙物邊緣點(diǎn)C的俯角為30，測(cè)得大樓頂端A的仰角為45（點(diǎn)B，C，E在同一水平直線上），已知AB=80m，DE=10m，求障礙物B，C兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732） 3.（xx海南）如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30，小紅在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60，在斜坡上的點(diǎn)D處測(cè)得樓頂B的仰角為45，其中點(diǎn)A、C、E在同一直線上． （1）求斜坡CD的高度DE； （2）求大樓AB的高度（結(jié)果保留根號(hào)） 答案 1.解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥MN于點(diǎn)A， MN=302=60（海里）， ∵∠MNC=90，∠CPN=46， ∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136， ∵∠BMP=68， ∴∠PMN=90﹣∠BMP=22， ∴∠MPN=180﹣∠PMN﹣∠PNM=22， ∴∠PMN=∠MPN， ∴MN=PN=60（海里）， ∵∠CNP=46， ∴∠PNA=44， ∴PA=PN?sin∠PNA=600.6947≈41.68（海里） 故選：B． 2. 解:在Rt中, ∴ 在Rt中, ∴ ∴ 答:這枚火箭從點(diǎn)到點(diǎn)的平均速度是. 3．提示：不會(huì)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)． 4. 解:過(guò)作于點(diǎn) ∵探測(cè)線與地面的夾角為和 ∴, 在Rt中, ∴ 在Rt中, ∴ 又∵ ∴ 解得 ∴生命所在點(diǎn)的深度約為米． 5．解：(1)如圖1—66所示，過(guò)B作BD⊥AC于D，在Rt△ABD中，BD=AB＝160海里＜200海里，所以B處會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響． (2)以B為圓心，200海里為半徑畫圓交AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接BE，BF．由(1)可知BD＝160海里，又BE＝200海里，則DE=120海里，所以AE＝(160－120)海里．設(shè)卸貨時(shí)間為t，則t＝≈3.9(小時(shí))，所以在3.9小時(shí)內(nèi)卸完貨才不會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響． 6．解：如圖1—67所示，過(guò)A作AP⊥MN于點(diǎn)P，由題意可知∠ABP=∠PAB=45，因?yàn)镸B＝400米，所以MP－BP=MB＝400米，所以AP．－AP=400，即AP－AP=400，AP=200(＋1)≈546.4米＞500米，所以輸水路線不會(huì)穿過(guò)居民區(qū)． 7．解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．在Rt△CDA中，∠A＝30，AC＝10km，∴CD＝AC＝5 km，AD＝ACcos 30＝5km．在Rt△BDC中，∠B=45，∴BD＝CD=5km，BC==＝5km，∴AB＝AD＋BD=(5＋5)km，∴AC＋BC－AB＝10＋5－(5＋5)＝5＋5－5≈5＋51.4l－51.73＝3.4(km)．即隧道開通后，汽車從A地到B地比原來(lái)少走約3.4 km． 8. 解(1) : (2)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),則, 在Rt中, ∴ ∵, ∴臺(tái)風(fēng)從生成到最初侵襲該城要經(jīng)過(guò)小時(shí)． 中考鏈接： 1.解：在Rt△ABC中，BC=AC?tanθ=4tanθ（米）， ∴AC+BC=4+4tanθ（米）， ∴地毯的面積至少需要1（4+4tanθ）=4+tanθ（米2）； 故選：D． 2.【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DF于點(diǎn)H．通過(guò)解直角△AFD得到DF的長(zhǎng)度；通過(guò)解直角△DCE得到CE的長(zhǎng)度，則BC=BE﹣CE． 解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DF于點(diǎn)H． 則DE=BF=CH=10m， 在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45， ∴DF=AF=70m． 在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30， ∴CE===10（m）， ∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）． 答：障礙物B，C兩點(diǎn)間的距離約為52.7m． 3.【分析】（1）在直角三角形DCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)即可； （2）過(guò)D作DF垂直于AB，交AB于點(diǎn)F，可得出三角形BDF為等腰直角三角形，設(shè)BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由題意得到三角形BCD為直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出AB的長(zhǎng)． 【解答】解：（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30，∠DEC=90， ∴DE=DC=2米； （2）過(guò)D作DF⊥AB，交AB于點(diǎn)F， ∵∠BFD=90，∠BDF=45， ∴∠BFD=45，即△BFD為等腰直角三角形， 設(shè)BF=DF=x米， ∵四邊形DEAF為矩形， ∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米， 在Rt△ABC中，∠ABC=30， ∴BC====米， BD=BF=x米，DC=4米， ∵∠DCE=30，∠ACB=60， ∴∠DCB=90， 在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得：2x2=+16， 解得：x=4+或x=4﹣， 則AB=（6+）米或（6﹣）米．