2018-2019學年九年級數學下冊 第27章 圓 27.1 圓的認識 27.1.2.2 垂徑定理同步練習 （新版）華東師大版.doc

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27.1.2　圓的對稱性 第2課時　垂徑定理 知|識|目|標 1．通過折疊、作圖等方法，探索出圓是軸對稱圖形． 2．通過圓的對稱性探索出垂徑定理及其推論，會用垂徑定理解決有關的證明和計算問題． 3．會利用垂徑定理解決實際生活中的問題． 目標一　理解圓的軸對稱性 例1 教材補充例題 下列說法正確的是(　　) A．每一條直徑都是圓的對稱軸 B．圓的對稱軸是唯一的 C．圓的對稱軸一定經過圓心 D．圓的對稱軸是經過圓內任意一點的直線 【歸納總結】圓的對稱軸的“兩點注意”： (1)圓有無數條對稱軸，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸． (2)對稱軸是直線而不是線段，所以說“圓的對稱軸是直徑所在的直線”或說成“圓的對稱軸是經過圓心的每一條直線”． 目標二　能應用垂徑定理及其推論進行證明或計算 例2 教材補充例題 如圖27－1－9，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結論不成立的是(　　) 圖27－1－9 A．CM＝DM B.＝ C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB 【歸納總結】垂徑定理的“三點注意”： (1)垂徑定理中的直徑可以是直徑、半徑或過圓心的直線(線段)，其本質是“過圓心”． (2)當垂徑定理中的弦為直徑時，結論仍然成立． (3)平分兩條弧是指平分這條弦所對的優(yōu)弧和劣弧，不要漏掉優(yōu)?。? 例3 教材補充例題 如圖27－1－10，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，垂足為H，連結BC，BD. (1)求證：BC＝BD； (2)已知CD＝6，OH＝2，求⊙O的半徑． 圖27－1－10 【歸納總結】垂徑定理中常作的兩種輔助線： (1)若已知圓心，則過圓心作垂直于弦的直徑(或半徑或線段)． (2)若已知弧、弦的中點，則作弧、弦中點的連線或連結圓心和弦的端點等． 目標三　會用垂徑定理解決實際生活中的問題 例4 高頻考題“圓材埋壁”是我國古代著名數學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”題目用現在的數學語言表達如下：如圖27－1－11所示，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直徑CD的長．請你解決這個問題． 圖27－1－11 【歸納總結】垂徑定理基本圖形中的“四變量、兩關系”： 1．四變量：設弦長為a，圓心到弦的距離為d，半徑為r，弧的中點到弦的距離(弓形高)為h，這四個變量知道其中任意兩個即可求出其他兩個． 2．兩關系：(1)()2＋d2＝r2； (2)h＋d＝r. 圖27－1－12 知識點一　圓的軸對稱性 圓是____________，它的任意一條直徑所在的直線都是它的________，圓有________條對稱軸． 知識點二　垂徑定理及其推論 垂直于弦的直徑__________，并且____________． 推論： 平分弦(不是直徑)的直徑____________，并且______________________；平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦． 已知CD是⊙O的一條弦，作直徑AB，使AB⊥CD，垂足為E，若AB＝10，CD＝8，求BE的長． 解：如圖27－1－13，連結OC，則OC＝5. ∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD， ∴CE＝CD＝4. 在Rt△OCE中， OE＝＝3， ∴BE＝OB＋OE＝5＋3＝8. 圖27－1－13 以上解答過程完整嗎？若不完整，請進行補充．  教師詳解詳析 【目標突破】 例1　[解析] C　因為對稱軸是直線，不是線段，而圓的直徑是線段，故A不正確；因為圓的對稱軸有無數條，故B不正確；因為圓的對稱軸是直徑所在的直線，所以一定經過圓心，故D不正確，C正確．故選C. 例2　[解析] D　∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，∴M為CD的中點，即CM＝DM，故選項A成立；由垂徑定理可得＝，故選項B成立；在△ACM和△ADM中，∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90，CM＝DM，∴△ACM≌△ADM，∴∠ACD＝∠ADC，故選項C成立；而OM與MB不一定相等，故選項D不成立．故選D. 例3　解：(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，∴＝，∴BC＝BD. (2)如圖，連結OC. ∵AB是⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，CD＝6，∴CH＝3， ∴OC＝＝＝， 故⊙O的半徑為. 例4　[解析] 連結OA，構造Rt△AOE，利用勾股定理及垂徑定理解答． 解：連結OA. ∵CD⊥AB于點E，CD為⊙O的直徑， ∴AE＝AB＝10＝5(寸)． 在Rt△AEO中，設AO＝x寸， 則OE＝(x－1)寸． 由勾股定理，得x2＝52＋(x－1)2， 解得x＝13. ∴AO＝13寸，∴CD＝2AO＝26寸． 答：直徑CD的長為26寸． 【總結反思】 [小結] 知識點一　軸對稱圖形　對稱軸　無數 知識點二　平分這條弦　平分這條弦所對的兩條弧　垂直于這條弦　平分這條弦所對的兩條弧 [反思] 不完整．補充如下： 如圖，當垂足E在線段OB上時， 此時，BE＝OB－OE＝5－3＝2. ∴BE的長為8或2.