離散傅里葉變換(DFT).ppt
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3.1離散傅里葉變換的定義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應(yīng)用舉例,第3章離散傅里葉變換(DFT),一.引言,3.1離散傅里葉變換的定義,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了連續(xù)時(shí)間傅里葉變換、連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)、離散時(shí)間傅里葉變換，他們都是信號(hào)處理領(lǐng)域中重要的數(shù)學(xué)變換。本章討論離散傅里葉變換(DFT)，其開辟了頻域離散化的道路，使數(shù)字信號(hào)處理可以在頻域進(jìn)行。DFT存在快速算法，使信號(hào)的實(shí)時(shí)處理得以實(shí)現(xiàn)。DFT不僅在理論上有重要意義，在各種信號(hào)處理中也起著核心作用。,二.四種信號(hào)傅里葉表示,(1)周期為T的連續(xù)時(shí)間周期信號(hào),時(shí)域周期頻域離散。頻譜特點(diǎn):離散非周期譜,(2)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào),,時(shí)域非周期頻域連續(xù)。頻譜特點(diǎn)：連續(xù)非周期譜,(3)離散非周期信號(hào),時(shí)域離散頻域周期。頻譜特點(diǎn)：周期為2?的連續(xù)譜,(4)周期為N的離散周期信號(hào),時(shí)域離散周期頻域周期離散。頻譜特點(diǎn):周期為N的離散譜,四種傅立葉變換:,時(shí)域,頻域,1.連續(xù)非周期連續(xù)非周期(?)FT2.連續(xù)周期離散非周期(?)FS3.離散非周期連續(xù)周期（）DTFT4.離散周期離散周期DFS,,,,,？,,切實(shí)理解四種FT之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,三.離散付里葉級(jí)數(shù)(DFS),為了便于更好地理解DFT的概念，先討論周期序列及其離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）表示。然后討論可作為周期函數(shù)一個(gè)周期的有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換(DFT)。,周期序列,因?yàn)橹芷谛蛄胁粷M足條件：。因此它的DTFT不存在。但是，正象連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可用傅氏級(jí)數(shù)表達(dá)，周期序列也可用離散的傅氏級(jí)數(shù)來表示。,(1)DFS定義,正變換：,反變換：,一般記：,(2)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo),由,可以展成傅里葉級(jí)數(shù)：,？,將上式兩邊乘以，并對(duì)n在一個(gè)周期N上求和得,,令k=m,,令,依同樣方法可推出：,所以，時(shí)域上周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域上仍是一個(gè)周期序列,(3)周期序列的傅里葉變換表示,因?yàn)橹芷谛蛄胁粷M足條件：。因此它的DTFT不存在。但是，通過引入奇異函數(shù)δ其DTFT可以用公式表示。,四.離散付里葉變換,周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值才有意義，因而它的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示式也適用于有限長(zhǎng)序列,這就得到有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換(DFT)。,(1)時(shí)域周期序列看作是有限長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓,(2)頻域周期序列看作是有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓,(3)把周期序列DFS的定義式（時(shí)域、頻域）各取主值區(qū)間，就得到關(guān)于有限長(zhǎng)序列時(shí)頻域的對(duì)應(yīng)變換對(duì)。（前面已證：時(shí)域上周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域上仍是同周期序列）,具體而言，即：,(1)周期序列的主值區(qū)間與主值序列,對(duì)于周期序列，定義其第一個(gè)周期n=0~N-1，為的“主值區(qū)間”，主值區(qū)間上的序列為主值序列x(n)。,x(n)與的關(guān)系可描述為：,數(shù)學(xué)表示：,表示先對(duì)n進(jìn)行模N運(yùn)算，然后對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行函數(shù)運(yùn)算,7,,,...,...,n,0,N-1,定義從n=0到(N-1)的第一個(gè)周期為主值序列或區(qū)間。,(2)從DFS到離散傅里葉變換,如果x(n)的長(zhǎng)度為N，且，則可寫出的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示為：,從上式可知，DFS，IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行。,因此可得到新的定義，即有限序列的離散傅氏變換(DFT)的定義。,有限長(zhǎng)序列隱含著周期性。,(3)離散傅里葉變換的矩陣方程,例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT。,設(shè)變換區(qū)間N=8，則,解：DFT定義式為：,設(shè)變換區(qū)間N=16，則,比較上面二式可得關(guān)系式:,(4)DFT和Z變換的關(guān)系,序列x(n)的N點(diǎn)DFT是x(n)的Z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣,序列x(n)的N點(diǎn)DFT是x(n)的DTFT在[0，2π]上的N點(diǎn)等間隔采樣,圖3.1.1X(k)與X(z),X(ejω)的關(guān)系,3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì),一.基本概念,1.序列的圓周移位,序列x(n)，長(zhǎng)度為N，則x(n)的圓周移位定義為：,圓周移位的實(shí)質(zhì)是將序列x(n)移位，移出主值區(qū)間的序列值又依次由另一側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。,循環(huán)移位過程：,circshift(a,[0,-1]),圖3.2.1循環(huán)移位過程示意圖,2.序列的圓周卷積,設(shè)和是兩個(gè)具有相同長(zhǎng)度N的有限長(zhǎng)序列(若不等，對(duì)序列補(bǔ)零使其為N點(diǎn)，)，定義圓周卷積：,圓周卷積過程：,圓周卷積的矩陣表示：,循環(huán)右移,圓周卷積與線性卷積比較：,有限長(zhǎng)序列x1(n),0≤n≤N1-1;x2(n),0≤n≤N2-1則線性卷積為：,N(N≥max(N1,N2))點(diǎn)圓周卷積為：,,序列的N點(diǎn)圓周卷積是序列線性卷積(以N為周期)周期延拓序列的主值序列。故，當(dāng)N≥[N1+N2-1]時(shí)，線性卷積與圓周卷積相同。,圖3.4.2線性卷積與圓周卷積,3.有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列,有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列分別定義為：,當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，將上式中的n換成N/2-n可得到：,圖3.2.3共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列示意圖,任何有限長(zhǎng)序列x(n)都可以表示成其共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和，即：,將上式中的n換成N-n，并取復(fù)共軛得：,(1)式減(2)式,(1)式加(2)式，并整理得：,二.線性性質(zhì),設(shè)x1(n)，x2(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列。它們的N點(diǎn)DFT分別為：,三.時(shí)域圓周移位定理,證明：,四.頻域圓周移位定理,設(shè)和是兩個(gè)具有相同長(zhǎng)度N的有限長(zhǎng)序列，,五.時(shí)域圓周卷積定理,證明：,六.頻域循環(huán)卷積定理,七.復(fù)共軛序列的DFT,,八.DFT的共軛對(duì)稱性,如果x(n)的DFT為X(k),則x(n)的實(shí)部和虛部(包括j)的DFT分別為X(k)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量；而x(n)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量的DFT分別為X(k)的實(shí)部和虛部乘以j,設(shè)x(n)為實(shí)序列，X(k)=DFT[x(n)]。則有:,(2)若x(n)=x(N-n)，則X(k)=X(N-k),(3)若x(n)=-x(N-n)，則X(k)=-X(N-k),對(duì)實(shí)序列進(jìn)行DFT時(shí)，利用以上性質(zhì)可減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算效率。,九、Parseval定理,證明：,(1)X(k)=X*(N-k),則：,,表明：一個(gè)序列在時(shí)域計(jì)算的能量與在頻域計(jì)算的能量是相等的,3.1離散傅里葉變換的定義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應(yīng)用舉例,第3章離散傅里葉變換(DFT),3.3頻率域采樣,一.引言,(1)能否由頻域離散采樣X(k)恢復(fù)序列x(n)？,(2)能否由頻域抽樣X(k)恢復(fù)原頻率函數(shù)或X(z)？,(3)若能恢復(fù)其條件是什么？,與時(shí)域采樣相類比，我們提出以下幾個(gè)問題？,(4)如何推導(dǎo)內(nèi)插恢復(fù)公式?,若要回答這些問題，首先讓我們回想下時(shí)域樣定理確定采樣頻率的方法？,(1)計(jì)算時(shí)域采樣信號(hào)的頻譜,(2)分析時(shí)域采樣信號(hào)頻譜與原信號(hào)頻譜關(guān)系（以采樣頻率周期延拓）,(3)從而確定采樣頻率與被采樣信號(hào)頻譜這間關(guān)系，得到時(shí)域采樣定理,二.頻域采樣后能不失真恢復(fù)原序列的條件？,設(shè)的長(zhǎng)度為（沒有限制）,欲恢復(fù)原信號(hào)，即,頻域采樣序列的離散付立葉逆變換:,由該式可知：是原序列的周期延拓，然后取主值,,,結(jié)論：若序列長(zhǎng)度為M，頻域采樣點(diǎn)數(shù)（或DFT的長(zhǎng)度）為N，且MN，會(huì)產(chǎn)生時(shí)域混疊頻域采樣后不能不失真地恢復(fù)原序列,,利用頻域采樣X(k)表示X(z),三.內(nèi)插公式,稱為內(nèi)插函數(shù),3.1離散傅里葉變換的定義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應(yīng)用舉例,第3章離散傅里葉變換(DFT),3.4DFT的應(yīng)用舉例,一.引言,DFT的應(yīng)用使數(shù)字信號(hào)處理可以在頻域進(jìn)行，由于DFT的快速算法FFT的出現(xiàn)，使DFT在數(shù)字通信、語言信號(hào)處理、圖像處理、功率譜估計(jì)、仿真、系統(tǒng)分析、雷達(dá)理論、光學(xué)、醫(yī)學(xué)、地震以及數(shù)值分析等各個(gè)領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。然而，各種應(yīng)用一般都以卷積和相關(guān)運(yùn)算的具體處理為依據(jù)，或者以DFT作為連續(xù)FT的近似為基礎(chǔ)。,二、用DFT計(jì)算線性卷積,(1)DFT計(jì)算循環(huán)卷積,可用上式計(jì)算循環(huán)卷積。從另一方面看：,所以，可按下面的計(jì)算框圖從頻域計(jì)算循環(huán)卷積,圖3.4.1用DFT計(jì)算循環(huán)卷積,很多情況下需要計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積，為了提高運(yùn)算速度，希望用DFT(FFT)計(jì)算。而DFT只能直接用來計(jì)算循環(huán)卷積，什么時(shí)候循環(huán)卷積與線性卷積相等呢？,循環(huán)卷積與線性卷積相等條件：L≥M+N-1。所以，如果取L=M+N-1，則可用DFT（FFT）計(jì)算線性卷積。計(jì)算框圖如下：,圖3.4.3用DFT計(jì)算線性卷積框圖,(2)DFT計(jì)算線性卷積,(2)長(zhǎng)序列的分段卷積,沒有全部進(jìn)入，如何實(shí)現(xiàn)卷積，全部進(jìn)入再卷積，又如何保證實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)？,數(shù)字信號(hào)處理的優(yōu)勢(shì)是“實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)”，即信號(hào)進(jìn)來后，經(jīng)處理后馬上輸出出去。然而：,？,較短（FIR：長(zhǎng)度在20～50之間），可能很長(zhǎng)，也不適宜直接卷積。,另外：,解決方法：分段卷積,設(shè)序列h(n)長(zhǎng)度為N，x(n)為無限長(zhǎng)。將x(n)均勻分段，每段長(zhǎng)度取M，則:,重疊相加法,,,,,分段卷積重疊,分段卷積相加,,圖3.4.4重疊相加法卷積示意圖,三、用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析,1.用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析,●若信號(hào)持續(xù)時(shí)間有限長(zhǎng)，則其頻譜無限寬。若信號(hào)的頻譜有限寬，則其持續(xù)時(shí)間無限長(zhǎng)。,●按采樣定理采樣時(shí)，以上兩種情況的采樣序列均應(yīng)無限長(zhǎng)，不滿足DFT條件。,●所以，對(duì)頻譜很寬的信號(hào)一般用預(yù)濾波法濾除幅度較小的高頻成分。對(duì)持續(xù)時(shí)間很長(zhǎng)的信號(hào)只好截取有限點(diǎn)進(jìn)行DFT。,●所以，用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析必然是近似的，近似程序與信號(hào)帶寬、采樣頻率和截取長(zhǎng)度有關(guān)。,●實(shí)際上從工程角度，濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小的部分時(shí)間信號(hào)是允許的。,假設(shè)xa(t)是經(jīng)過預(yù)濾波和截取處理的有限長(zhǎng)帶限信號(hào)。以下分析連續(xù)信號(hào)頻譜特性的DFT近似。,設(shè)xa(t)持續(xù)時(shí)間為Tp，最高頻率為fc。其傅立葉變換為：,共采樣N點(diǎn)，則Tp=NT。并對(duì)表示Xa(jf)的積分作零階近似(t=nT,dt=T)得：,,對(duì)X(jf)在區(qū)間[0,fs]上等間隔采樣N點(diǎn),采樣間隔為F。,同理，由,可推出,,,連續(xù)信號(hào)的頻譜特性可以通過對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣并進(jìn)行DFT再乘以T來近似。,柵欄效應(yīng)：DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換,其頻譜將不再是連續(xù)函數(shù)。只能看到N個(gè)離散采樣點(diǎn)的譜特性。,由以上分析可以看出利用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析，最主要的兩個(gè)問題就是：1、譜分析范圍；2、頻率分辨率。,(1)譜分析范圍,指信號(hào)的最高頻率fc，受采樣定理限制。fc下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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