自動控制原理2-3控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型.ppt

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2-3控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型,,雖然微分方程是基本的數(shù)學(xué)模型,卻并不是一個使用起來最方便的數(shù)學(xué)模型.因為從微分方程出發(fā)分析系統(tǒng)的性能,就必須求出微分方程的解,而對于階數(shù)大于2的微分方程來說,求解并非易事。但是如果用拉氏變換將微積分運算轉(zhuǎn)換為代數(shù)運算，也就是傳遞函數(shù)，然后在復(fù)數(shù)域中求解，再求出拉氏反變換，這就是所求的微分方程的時域解，對于高階微分方程的解就不是困難。傳遞函數(shù)是基于拉氏變換得到的，它是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。,1.傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)（1）傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。,,例:一RC電路如下圖所示,設(shè)在開關(guān)K閉合的瞬間時刻作為計時起點,即t=0,且此時電容兩端的電壓為，如果開關(guān)K閉合后不再打開,則相當(dāng)于在RC電路輸入端加了一恒定的電壓,其幅值為,RC電路的微分方程為:,令,為RC電路的時間常數(shù),則式(1)為:,對式(2)兩邊進行拉氏變換,得:,因為,是幅值為,的階躍電壓,故,代入式(4),得:,對式(5)兩邊進行拉氏反變換,得:,如令,,即初始條件為零,則式(4)為,從而RC電路可,用下面方塊圖表示:,（2）傳遞函數(shù)的性質(zhì):1）傳遞函數(shù)是輸入與輸出兩個復(fù)變量s的有理多項式之比,且m<=n，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì).兩個多項式中的所有系數(shù)均為實數(shù).2）傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù),而與系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入信號的形式和大小無關(guān).3）傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號，在求傳遞函數(shù)時，除了一個有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。4）傳遞函數(shù)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t)（可見作業(yè)2-6）,[例2]拉氏變換法求下圖的傳遞函數(shù)：,2.傳遞函數(shù)的極點和零點對輸出的影響,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)微分方程的特征根，決定著系統(tǒng)的模態(tài)（系統(tǒng)所對應(yīng)的基本運動形態(tài)，達(dá)到穩(wěn)定時的形狀），每種模態(tài)代表一種運動形態(tài)。線性定常時不變系統(tǒng)，其輸出模態(tài)是由系統(tǒng)的特征根和輸入共同決定的。系統(tǒng)的零點只影響各模態(tài)響應(yīng)所占的比重。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的零點和極點以及傳遞系數(shù)對輸出的影響請參見教材P.48-P.49有關(guān)內(nèi)容.舉例一極點相同（-2，-3），但零點不同系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,在單位階躍輸入時，其輸出分別為：,3.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),一個自動控制系統(tǒng),不管其多么復(fù)雜,總是由若干個元件按不同的方式根據(jù)一定的目的組合而成.從結(jié)構(gòu)和作用原理角度來看元件,可以有各種各樣不同的元件,如機械式,電氣式,液壓式,氣動式等等.但從描述各種元件的行為特征的數(shù)學(xué)模型來看元件,不管元件的結(jié)構(gòu)和作用原理如何千差萬別,其數(shù)學(xué)模型卻有可能完全一樣.因此從元件的數(shù)學(xué)模型來劃分元件的種類,只有幾種最基本的元件或稱為典型環(huán)節(jié).,典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時域特征和復(fù)域（s域）特征。時域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性研究系統(tǒng)的零極點分布。,比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。,實例：電動機角速度與角度之間的傳遞函數(shù)，模擬計算機中積分器等。,（三）慣性環(huán)節(jié),當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時,有，可解得：，式中：k為放大系數(shù)，T為時間常數(shù)。,兩個實例：,實例：RC濾波電路、溫度控制系統(tǒng)等,（四）振蕩環(huán)節(jié)：時域方程：,傳遞函數(shù)：,,（五）微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的時域形式有三種形式：①②③,相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：①②③,分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極點，只有零點。分別是零、實數(shù)和一對共軛零點（若）。在實際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。,式中：,[實例],（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱時滯，時延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過一個延遲時間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號。如右圖所示。其傳遞函數(shù)為：,小結(jié),傳遞函數(shù)的基本概念；傳遞函數(shù)的列寫（由微分方程和系統(tǒng)原理圖出發(fā)）；典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)（單位階躍響應(yīng)及其零極點分布）。,作業(yè)2-8,