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3.1 導數(shù)的概念及運算
考綱解讀
考點
內(nèi)容解讀
要求
高考示例
常考題型
預(yù)測熱度
1.導數(shù)的概念與幾何意義
1.了解導數(shù)概念的實際背景
2.理解導數(shù)的幾何意義
Ⅱ
2017課標全國Ⅰ,14;
2017天津,10;
2016山東,10;
2015課標Ⅰ,14;
2015課標Ⅱ,16
選擇題、
填空題
★★★
2.導數(shù)的運算
1.能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,y=1x,y=x2,y=x3,y=x的導數(shù)
2.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)
Ⅲ
2016天津,10;
2015天津,11
選擇題、
解答題
分析解讀
本部分主要是對導數(shù)概念及其運算的考查,以導數(shù)的運算公式和運算法則為基礎(chǔ),以導數(shù)的幾何意義為重點.
1.導數(shù)的幾何意義最常見的是求過曲線上某點的切線的斜率、方程、斜率與傾斜角的關(guān)系、切點的坐標,或以平行、垂直直線的斜率間的關(guān)系為載體求字母的取值等.
2.導數(shù)的運算是每年必考的內(nèi)容,一般不單獨考查,而在考查導數(shù)的應(yīng)用時與單調(diào)性、極值與最值結(jié)合出題考查.
3.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為5分左右,屬于容易題.
五年高考
考點一 導數(shù)的概念與幾何意義
1.(2016山東,10,5分)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是( )
A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3
答案 A
2.(2014陜西,10,5分)如圖,修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分,則該函數(shù)的解析式為( )
A.y=12x3-12x2-x B.y=12x3+12x2-3x
C.y=14x3-x D.y=14x3+12x2-2x
答案 A
3.(2017天津,10,5分)已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-ln x的圖象在點(1, f(1))處的切線為l,則l在y軸上的截距為 .
答案 1
4.(2017課標全國Ⅰ,14,5分)曲線y=x2+1x在點(1,2)處的切線方程為 .
答案 x-y+1=0
5.(2016課標全國Ⅲ,16,5分)已知f(x)為偶函數(shù),當x≤0時, f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線方程是 .
答案 y=2x
6.(2015課標Ⅰ,14,5分)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖象在點(1, f(1))處的切線過點(2,7),則a= .
答案 1
7.(2015課標Ⅱ,16,5分)已知曲線y=x+ln x在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a= .
答案 8
8.(2014江西,11,5分)若曲線y=xln x上點P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點P的坐標是 .
答案 (e,e)
教師用書專用(9—15)
9.(2014廣東,11,5分)曲線y=-5ex+3在點(0,-2)處的切線方程為 .
答案 5x+y+2=0
10.(2013江西,11,5分)若曲線y=xα+1(α∈R)在點(1,2)處的切線經(jīng)過坐標原點,則α= .
答案 2
11.(2013廣東,12,5分)若曲線y=ax2-ln x在點(1,a)處的切線平行于x軸,則a= .
答案 12
12.(2015山東,20,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)ln x,g(x)=x2ex.已知曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線與直線2x-y=0平行.
(1)求a的值;
(2)是否存在自然數(shù)k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,請說明理由;
(3)設(shè)函數(shù)m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的較小值),求m(x)的最大值.
解析 (1)由題意知,曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線斜率為2,
所以f (1)=2,
又f (x)=ln x+ax+1,所以a=1.
(2)k=1時,方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根.
設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-x2ex,
當x∈(0,1]時,h(x)<0.
又h(2)=3ln 2-4e2=ln 8-4e2>1-1=0,
所以存在x0∈(1,2),
使得h(x0)=0.
因為h(x)=ln x+1x+1+x(x-2)ex,
所以當x∈(1,2)時,h(x)>1-1e>0,
當x∈(2,+∞)時,h(x)>0,
所以當x∈(1,+∞)時,h(x)單調(diào)遞增.
所以k=1時,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根.
(3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根x0,
且x∈(0,x0)時, f(x)
g(x),
所以m(x)=(x+1)lnx, x∈(0,x0],x2ex,x∈(x0,+∞).
當x∈(0,x0)時,若x∈(0,1],m(x)≤0;
若x∈(1,x0),由m(x)=ln x+1x+1>0,
可知00,m(x)單調(diào)遞增;
x∈(2,+∞)時,m(x)<0,m(x)單調(diào)遞減,
可知m(x)≤m(2)=4e2,且m(x0)0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
當a<0時,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).
①當a=-12時,Δ=0,
f (x)=-12(x-1)2x(x+1)2≤0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
②當a<-12時,Δ<0,g(x)<0,
f (x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
③當-120,
設(shè)x1,x2(x10,
所以x∈(0,x1)時,g(x)<0,f (x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
x∈(x1,x2)時,g(x)>0,f (x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
x∈(x2,+∞)時,g(x)<0,f (x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
綜上可得:
當a≥0時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當a≤-12時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
當-120且g(1)<0,即-30,所以g(x)分別在區(qū)間[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1個零點.由于g(x)在區(qū)間(-∞,0)和(1,+∞)上單調(diào),所以g(x)分別在區(qū)間(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1個零點.
綜上可知,當過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切時,t的取值范圍是(-3,-1).
(3)過點A(-1,2)存在3條直線與曲線y=f(x)相切;
過點B(2,10)存在2條直線與曲線y=f(x)相切;
過點C(0,2)存在1條直線與曲線y=f(x)相切.
15.(2013北京,18,13分)已知函數(shù)f(x)=x2+xsin x+cos x.
(1)若曲線y=f(x)在點(a, f(a))處與直線y=b相切,求a與b的值;
(2)若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,求b的取值范圍.
解析 由f(x)=x2+xsin x+cos x,得f (x)=x(2+cos x).
(1)因為曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,所以f (a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).
解得a=0,b=f(0)=1.
(2)令f (x)=0,得x=0.
f(x)與f (x)的情況如下:
x
(-∞,0)
0
(0,+∞)
f (x)
-
0
+
f(x)
↘
1
↗
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(0)=1是f(x)的最小值.
當b≤1時,曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個交點;
當b>1時,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,
f(0)=11時曲線y=f(x)與直線y=b有且僅有兩個不同交點.
綜上可知,如果曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,那么b的取值范圍是(1,+∞).
考點二 導數(shù)的運算
1.(2016天津,10,5分)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex, f (x)為f(x)的導函數(shù),則f (0)的值為 .
答案 3
2.(2015天津,11,5分)已知函數(shù)f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a為實數(shù), f (x)為f(x)的導函數(shù).若f (1)=3,則a的值為 .
答案 3
三年模擬
A組 2016—2018年模擬基礎(chǔ)題組
考點一 導數(shù)的概念與幾何意義
1.(2018廣東佛山一中期中考試,11)已知f(x)=(x+a)ex的圖象在x=-1與x=1處的切線互相垂直,則a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 A
2.(2017四川名校一模,6)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖, f (x)是f(x)的導函數(shù),則下列數(shù)值排序正確的是( )
A.00,2ax+2+a,x≤0,且f(-1)=f(1),則當x>0時,f(x)的導函數(shù)f(x)的極小值為 .
答案 2
5.(2017天津紅橋期中聯(lián)考,16)若曲線f(x)=ax5+ln x存在垂直于y軸的切線,則實數(shù)a的取值范圍是 .
答案 (-∞,0)
三、解答題(每小題10分,共30分)
6.(2018廣東惠州一調(diào),21)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+1x.
(1)求曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線方程;
(2)當x≥1時,不等式f(x)-1x≥a(x2-1)x恒成立,求a的取值范圍.
解析 (1)根據(jù)題意可得,f(e)=2e,f (x)=-lnxx2,
所以f (e)=-ln ee2=-1e2,
所以曲線在點(e,f(e))處的切線方程為y-2e=-1e2(x-e),即x+e2y-3e=0.
(2)根據(jù)題意可得,f(x)-1x-a(x2-1)x=lnx-a(x2-1)x≥0在x≥1時恒成立,
令g(x)=ln x-a(x2-1)(x≥1),所以g(x)=1x-2ax,
當a≤0時,g(x)>0,所以函數(shù)y=g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(1)=0,
所以不等式f(x)-1x≥a(x2-1)x成立,故a≤0符合題意;
當a>0時,令1x-2ax=0,解得x=12a(舍負),令12a=1,解得a=12,
①當01,所以在1,12a上,g(x)>0,在12a,+∞上,g(x)<0,
所以函數(shù)y=g(x)在1,12a上單調(diào)遞增,在12a,+∞上單調(diào)遞減,
g1a=ln1a-a1a2-1=-ln a-1a+a,令h(a)=-ln a-1a+a,則h(a)=-1a+1a2+1=a2-a+1a2,易知h(a)>0恒成立,又00時,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
解析 (1)當a=1時,f(x)=ex-x2-2x-1,f(-1)=1e,
所以切點坐標為-1,1e,
f (x)=ex-2x-2,所以f (-1)=1e,
故曲線y=f(x)在點(-1,f(-1))處的切線方程為y-1e=1e[x-(-1)],即y=1ex+2e.
(2)對f(x)=ex-ax2-2ax-1求導得f (x)=ex-2ax-2a,
令g(x)=f (x)=ex-2ax-2a(x>0),則g(x)=ex-2a(x>0).
①當2a≤1,即a≤12時,g(x)=ex-2a>1-2a≥0,
所以g(x)=f (x)=ex-2ax-2a在(0,+∞)上為增函數(shù),
所以g(x)>g(0)=1-2a≥0,則f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
所以f(x)>f(0)=1-0-0-1=0,故a≤12時符合題意.
②當2a>1,即a>12時,令g(x)=ex-2a=0,得x=ln 2a>0,當x變化時,g(x),g(x)的變化情況如下表,
x
(0,ln 2a)
ln 2a
(ln 2a,+∞)
g(x)
-
0
+
g(x)
減函數(shù)
極小值
增函數(shù)
當x∈(0,ln 2a)時,g(x)0,在(ln 2,+∞)上,g(x)<0,
∴g(x)在(-∞,ln 2)上單調(diào)遞增,在(ln 2,+∞)上單調(diào)遞減,
∴g(x)max=g(ln 2)=ln 2-1,
∴a≥ln 2-1,
∴實數(shù)a的取值范圍為[ln 2-1,+∞).
C組 2016—2018年模擬方法題組
方法1 求函數(shù)的導數(shù)的方法
1.(2018河南許昌、平頂山聯(lián)考,3)已知f(x)是偶函數(shù),在(-∞,0)上滿足xf (x)>0恒成立,則下列不等式成立的是( )
A.f(-3)
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2019高考數(shù)學一輪復(fù)習
第三章
導數(shù)及其應(yīng)用
3.1
導數(shù)的概念及運算練習
2019
高考
數(shù)學
一輪
復(fù)習
第三
導數(shù)
及其
應(yīng)用
概念
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