2019春九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第一章 直角三角形的邊角關(guān)系 1.5 三角函數(shù)的應(yīng)用教案2 （新版）北師大版.doc

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1.5 三角函數(shù)的應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用. 2.能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計(jì)算，并能對(duì)結(jié)果的意義進(jìn)行說明. (二)能力訓(xùn)練要求 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問題的能力. (三)情感與價(jià)值觀要求 1.在經(jīng)歷弄清實(shí)際問題題意的過程中，畫出示意圖，培養(yǎng)獨(dú)立思考問題的習(xí)慣和克服困難的勇氣. 2.選擇生活中學(xué)生感興趣的題材，使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的欲望. 教具重點(diǎn) 1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在解決問題過程中的作用. 2.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問題的能力. 教學(xué)難點(diǎn) 根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語，準(zhǔn)確地畫出示意圖. 教學(xué)方法 探索——發(fā)現(xiàn)法 教具準(zhǔn)備 多媒體演示 教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 [師]直角三角形就像一個(gè)萬花筒，為我們展現(xiàn)出了一個(gè)色彩斑瀾的世界.我們?cè)谛蕾p了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關(guān)系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關(guān)系，它使我們現(xiàn)實(shí)生活中不可能實(shí)現(xiàn)的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測(cè)量問題中有著廣泛應(yīng)用，例如測(cè)旗桿的高度、樹的高度、塔高等. 下面我們就來看一個(gè)問題(多媒體演示). 海中有一個(gè)小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎?你是如何想的?與同伴進(jìn)行交流. 下面就請(qǐng)同學(xué)們用銳角三角函數(shù)知識(shí)解決此問題.(板書：船有觸礁的危險(xiǎn)嗎) Ⅱ.講授新課 [師]我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的? [生]應(yīng)該是“上北下南，左西右東”. [師]請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)題意在練習(xí)本上畫出示意圖，然后說明你是怎樣畫出來的. [生]首先我們可將小島A確定，貨輪B在小島A的南偏西55的B處，C在B的正東方，且在A南偏東25處.示意圖如下. [師]貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛，有沒有觸礁的危險(xiǎn)，由誰來決定? [生]根據(jù)題意，小島四周10海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里，則無觸礁的危險(xiǎn)，如果小于10海里則有觸礁的危險(xiǎn).A到BC所在直線的最短距離為過A作AD⊥BC，D為垂足，即AD的長(zhǎng)度.我們需根據(jù)題意，計(jì)算出AD的長(zhǎng)度，然后與10海里比較. [師]這位同學(xué)分析得很好，能將實(shí)際問題清晰條理地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.下面我們就來看AD如何求.根據(jù)題意，有哪些已知條件呢? [生]已知BC＝20海里，∠BAD＝55，∠CAD＝25. [師]在示意圖中，有兩個(gè)直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一個(gè)三角形中求出AD呢? [生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25，不能求AD. [生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55，雖然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的邊，也不能求出AD. [師]那該如何是好?是不是可以將它們結(jié)合起來，站在一個(gè)更高的角度考慮? [生]我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形有聯(lián)系，AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個(gè)直角三角形BD與CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的對(duì)角是已知的，BD、CD和邊AD都有聯(lián)系. [師]有何聯(lián)系呢? [生]在Rt△ABD中，tan55＝，BD=ADtan55；在Rt△ACD中，tan25＝，CD＝ADtan25. [生]利用BC＝BD-CD就可以列出關(guān)于AD的一元一次方程，即ADtan55-ADtan25＝20. [師]太棒了!沒想到方程在這個(gè)地方幫了我們的忙.其實(shí)，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一. 下面我們一起完整地將這個(gè)題做完. [師生共析]解：過A作BC的垂線，交BC于點(diǎn)D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，從而BD=AD tan55，CD＝ADtan25，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得 ADtan55-ADtan25＝20. AD(tan55-tan25)＝20， AD=≈20.79(海里). 這樣AD≈20.79海里>10海里，所以貨輪沒有觸礁的危險(xiǎn). [師]接下來，我們?cè)賮硌芯恳粋€(gè)問題.還記得本章開頭小明要測(cè)塔的高度嗎?現(xiàn)在我們來看他是怎樣測(cè)的，并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度. 多媒體演示 想一想你會(huì)更聰明： 如圖，小明想測(cè)量塔 CD的高度.他在A處 仰望塔頂，測(cè)得仰角 為30，再往塔的方 向前進(jìn)50m至B處.測(cè)得仰角為60.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1 m) [師]我想請(qǐng)一位同學(xué)告訴我什么是仰角?在這個(gè)圖中，30的仰角、60的仰角分別指哪兩個(gè)角? [生]當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30的仰角指∠DAC，60的仰角指∠DBC. [師]很好!請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考解決這個(gè)問題的思路，然后回答. (教師留給學(xué)生充分的思考時(shí)間，感覺有困難的學(xué)生可給以指導(dǎo)) [生]首先，我們可以注意到CD是兩個(gè)直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共邊，在Rt△ADC中，tan30=， 即AC＝在Rt△BDC中，tan60=, 即BC＝，又∵AB=AC-BC＝50 m，得 -=50. 解得CD≈43(m)， 即塔CD的高度約為43 m. [生]我有一個(gè)問題，小明在測(cè)角時(shí)，小明本身有一個(gè)高度，因此在測(cè)量CD的高度時(shí)應(yīng)考慮小明的身高. [師]這位同學(xué)能根據(jù)實(shí)際大膽地提出質(zhì)疑，很值得贊賞.在實(shí)際測(cè)量時(shí).的確應(yīng)該考慮小明的身高，更準(zhǔn)確一點(diǎn)應(yīng)考慮小明在測(cè)量時(shí)，眼睛離地面的距離. 如果設(shè)小明測(cè)量時(shí)，眼睛離地面的距離為1.6 m，其他數(shù)據(jù)不變，此時(shí)塔的高度為多少?你能畫出示意圖嗎? [生]示意圖如 右圖所示，由前面的 解答過程可知CC′≈ 43 m，則CD＝43+ 1.6＝44.6 m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6 m. [師]同學(xué)們的表現(xiàn)太棒了.現(xiàn)在我手里有一個(gè)樓梯改造工程問題，想請(qǐng)同學(xué)們幫忙解決一下. 多媒體演示： 某商場(chǎng)準(zhǔn)備改善原來 樓梯的安全性能，把 傾角由40減至35， 已知原樓梯長(zhǎng)為4 m， 調(diào)整后的樓梯會(huì)加長(zhǎng)多少？樓梯多占多長(zhǎng)一段地面?(結(jié)果精確到0.0l m) 請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)題意，畫出示意圖，將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，(先獨(dú)立完成，然后相互交流，討論各自的想法) [生]在這個(gè)問題 中，要注意調(diào)整前后 的梯樓的高度是一個(gè) 不變量.根據(jù)題意可 畫㈩示意圖(如右 圖).其中AB表示樓梯的高度.AC是原樓梯的長(zhǎng)，BC是原樓梯的占地長(zhǎng)度；AD是調(diào)整后的樓梯的長(zhǎng)度，DB是調(diào)整后的樓梯的占地長(zhǎng)度.∠ACB是原樓梯的傾角，∠ADB是調(diào)整后的樓梯的傾角.轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即為： 如圖，AB⊥DB，∠ACB＝40，∠ADB＝35，AC＝4m.求AD-AC及DC的長(zhǎng)度. [師]這位同學(xué)把這個(gè)實(shí)際樓梯調(diào)整問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題.大家從示意圖中不難看出這個(gè)問題是前面問題的變式.我相信同學(xué)們一定能用計(jì)算器輔助很快地解決它，開始吧! [生]解：由條件可知，在Rt△ABC中,sin40＝，即AB＝4sin40m，原樓梯占地 長(zhǎng)BC＝4cos40m. 調(diào)整后,在Rt△ADB中，sin35＝，則AD＝m.樓梯占地長(zhǎng) DB=m. ∴調(diào)整后樓梯加長(zhǎng)AD-AC＝-4≈0.48(m)，樓梯比原來多占DC＝DB-BC= -4cos40≈0.61(m). Ⅲ.隨堂練習(xí) 1.如圖，一燈柱AB被 一鋼纜CD固定，CD與地面 成40夾角，且DB＝5 m， 現(xiàn)再在C點(diǎn)上方2m處加固 另一條鋼纜ED，那么鋼纜 ED的長(zhǎng)度為多少? 解：在Rt△CBD中，∠CDB=40，DB=5 m，sin40= ，BC=DBsin40=5sin40(m). 在Rt△EDB中，DB=5 m， BE=BC+EC＝2+5sin40(m). 根據(jù)勾股定理，得DE=≈7.96(m). 所以鋼纜ED的長(zhǎng)度為7.96 m. 2.如圖，水庫(kù)大壩的 截面是梯形ABCD，壩頂AD ＝6 m，坡長(zhǎng)CD＝8 m.坡底 BC＝30 m，∠ADC=135. (1)求∠ABC的大小： (2)如果壩長(zhǎng)100 m.那么建筑這個(gè)大壩共需多少土石料?(結(jié)果精確到0.01 m3) 解：過A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F為垂足. (1)在梯形ABCD中.∠ADC＝135， ∴∠FDC＝45，EF＝AD=6 m.在Rt△FDC中，DC＝8 m.DF＝FC＝CD.sin45=4 (m). ∴BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m). 在Rt△AEB中，AE＝DF=4 (m). tanABC＝≈0.308. ∴∠ABC≈178′21″. (2)梯形ABCD的面積S＝(AD+BC)AE = (6+30)4 =72 (m2). 壩長(zhǎng)為100 m，那么建筑這個(gè)大壩共需土石料10072 ≈10182.34(m3). 綜上所述，∠ABC＝178′21″，建筑大壩共需10182.34 m3土石料. Ⅳ.課時(shí)小結(jié)