中考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編 知識(shí)點(diǎn)30 直角三角形、勾股定理.doc
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知識(shí)點(diǎn)30 直角三角形、勾股定理 一、選擇題 1. （xx山東濱州，1，3分）在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】∵三角形為直角三角形，∴三邊滿足勾股定理，∴弦為：＝5． 【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理 2. （xx四川瀘州，8題，3分） “趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖3所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a,較短直角邊長(zhǎng)為b,若ab=8，大正方形的面積為25,則小正方形的邊長(zhǎng)為（ ） A. 9 B.6 C. 4 D.3 第8題圖 【答案】D 【解析】因?yàn)閍b=8，所以三角形的面積為ab=4，則小正方形的面積為25-44=9，邊長(zhǎng)為3 【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理，三角形面積，平方根 3. （xx年山東省棗莊市，12，3分）如圖，在中，，，垂足為，平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn).若，則的長(zhǎng)為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路分析】在中， ， 平分，可知CE=CF，過(guò)F作FH垂直于AB，F(xiàn)H=CF，在Rt△FBH中設(shè)CF=x，利用勾股定理列方程求出CF的長(zhǎng)，從而得到CE的長(zhǎng). 【解題過(guò)程】解：在中， ，∴∠ACD=∠B，∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠CEF=∠CFE，CE=CF，如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，∵平分，∴CF=FG，AG=AC=3，BG=2，設(shè)CF=FG=x， ∵，∴BC=4，則BF=4-x，在Rt△FBG中，，解得，即CE=CF=，故選A. 【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形 4. （xx湖南長(zhǎng)沙，11題，3分）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦久韶的著作《數(shù)書(shū)九章》里記載有這樣一道題目：“問(wèn)有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，問(wèn)這塊沙田面積有多大？題中的“里”是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位，1里=500米，則該沙田的面積為（ ） A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米 【答案】A 【解析】將里換算為米為單位,則三角形沙田的三邊長(zhǎng)為2.5千米,6千米,6.5千米,因?yàn)?.52+62=6.52，所以這個(gè)三角形為直角三角形,直角邊長(zhǎng)為2.5千米和6千米，所以S=62.5=7.5(平方千米)，故選A 【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理，三角形面積 5. (xx山東青島中考，6，3分)如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=90，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)．沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕EF交BC于點(diǎn)F．已知，則BC的長(zhǎng)是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠B=45．由折疊的性質(zhì)可得∠BEF=90，∴∠BFE=45，∴BE=EF=． ∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∴AB=AC=3．在Rt△ABC中，BC===．故選B． 【知識(shí)點(diǎn)】折疊的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)與判定；勾股定理； 6.（xx山東省淄博市，12，4分）如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且P到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3、4、5，則△ABC的面積為 （A）9+ （B）9+ （C）18+ （D）18+ 【答案】A 【思路分析】將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到△AHC，作AI⊥CH交CH延長(zhǎng)線于點(diǎn)I，則△APH為等邊三角形，利用已知線段證明△PHC為直角三角形，從而得到∠AHC=150，∠AHI=30，求得AI、IH，進(jìn)而求得IC，利用勾股定理求出AC，再利用正三角形面積公式求出三角形ABC的面積. 【解題過(guò)程】將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到△AHC，作AI⊥CH交CH延長(zhǎng)線于點(diǎn)I，則△APH為等邊三角形，HA=HP=PA=3，HC=PB=4，∵PC=5，∴PC2=PH2+CH2，∴∠PHC=90，∴∠AHI=30，∴AI=，HI=，∴CI=+4，∴AC2=（）2+（+4）2=25+12，∴S△ABC=AC2=（25+12）=9+. 【知識(shí)點(diǎn)】圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形；正三角形的面積；勾股定理及逆定理 1. （xx湖北黃岡，5題，3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，AD=2，CE=5，則CD=（ ） A.2 B.3 C.4 D. 第5題圖 【答案】C 【解析】在Rt△ABC中，CE為AB邊上的中線，所以CE=AB=AE，因?yàn)镃E=5，AD=2，所以DE=3，因?yàn)镃D為AB邊上的高，所以在Rt△CDE中，=4，故選C 【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理 2. （xx四川涼山州，3，4分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為2，AB⊥OA于A，且AB＝1，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作弧，交數(shù)軸于點(diǎn)C，則OC長(zhǎng)為（ ） A.3 B. C. D. 【答案】D 【解析】∵AB⊥OA于A，∴∠OAB=90.在Rt△OAB中，由勾股定理得OB=.∴OC=OB=.故選擇D. 【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形的判定，勾股定理，尺規(guī)作圖. 二、填空題 1. （xx年山東省棗莊市，15，4分） 我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書(shū)九章》一書(shū)中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式.即：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，則該三角形的面積為 ，已知的三邊長(zhǎng)分別為，則的面積為 . 【答案】1 【解析】方法一：把代入三角形的面積得，故填 1. 方法二：由的三邊長(zhǎng)分別為，根據(jù)勾股定理的逆定理得是直角三角形，其面積為，故填 1. 【知識(shí)點(diǎn)】二次根式；勾股定理的逆定理 2. （xx四川省成都市，14，4）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線MN交CD于點(diǎn)E，若DE＝2，CE＝3，則矩形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為 ． 【答案】 【思路分析】因?yàn)橛勺鲌D可知MN為線段AC的垂直平分線，則有AE＝CE＝3，在Rt△ADE中，由勾股定理可以求出AD的長(zhǎng)，然后再在Rt△ADC中用勾股定理求出AC即可． 【解析】解：連接AE，由作圖可知MN為線段AC的垂直平分線，∴AE＝CE＝3，在Rt△ADE中，＝＋，∴AD＝＝，在Rt△ADC中，＝＋，∵CD＝DE＋CE＝5，∴AC＝＝． 【知識(shí)點(diǎn)】尺規(guī)作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理 3. （xx天津市，18，3）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上. （1）∠ACB的大小為 （度）； （2）在如圖所示的網(wǎng)格中，P是BC邊上任意一點(diǎn).A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，把點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′.當(dāng)CP′最短時(shí)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出點(diǎn)P′，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P′的位置是如何找到的（不要求證明） ． 【答案】90; 如圖，取格點(diǎn)D，E，連接DE交AB于點(diǎn)T；取格點(diǎn)M，N，連接MN交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；取格點(diǎn)F，連接FG交TC延長(zhǎng)線于點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′即為所求. 【解析】分析：本題考查了勾股定理及其逆定理．解題的關(guān)鍵是分析題意并構(gòu)造出如圖所示的三對(duì)格點(diǎn)． 解：(1)在網(wǎng)格中由勾股定理得： ∴△ABC為直角三角形， ∴∠ACB=90 (2) 如圖，取格點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)；取格點(diǎn)，，連接交延長(zhǎng)線于點(diǎn)；取格點(diǎn)，連接交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求. 【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理定理及逆定理；格點(diǎn)作圖 4. （xx浙江湖州，16，4）在每個(gè)小正方形的邊為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)．以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個(gè)全等的直角三角形，使四個(gè)直角頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖．例如，在圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，此時(shí)正方形EFGH的面積為5．問(wèn)：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長(zhǎng)為時(shí)，正方形EFGH的面積的所有可能值是 （不包括5）． 圖1 【答案】9，13和49 【解析】設(shè)圖中直角三角形的長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，則a2+b2＝65．小正方形的面積為（a－b）2．∴只要能把長(zhǎng)為a和b的線段在網(wǎng)格中畫(huà)出來(lái)，并且a和b的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上即可．∵65可以寫(xiě)作64+1或49+16，所以a，b的值分別為8，1或7，4．此時(shí)小正方形的面積為49或9． 另外，∵長(zhǎng)為13和5的線段也可以在網(wǎng)格中畫(huà)出，所以65還可以寫(xiě)成52+13或45+20，此時(shí)a，b的值分別為2，和3，2．此時(shí)小正方形的面積為13和5． 小正方形的面積為9，13和49對(duì)應(yīng)的圖形分別為下圖的①②③．故填9，13和49. 【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理 1. （xx湖北黃岡，13題，3分）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長(zhǎng)為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為_(kāi)_____cm（杯壁厚度不計(jì)） 第13題圖 【答案】20 【解析】如圖，點(diǎn)E與點(diǎn)A關(guān)于直線l對(duì)稱，連接EB，即為螞蟻爬行的最短路徑，過(guò)點(diǎn)B做BC⊥AE于點(diǎn)C，則Rt△EBC中，BC=322=16cm，EC=3+14-5=12cm，所以 第13題解圖 【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱，勾股定理 2. （xx重慶A卷，16，4）如圖，把三角形紙片折疊，使點(diǎn)B、點(diǎn)C都與點(diǎn)A重合，折痕分別為DE、FG，得到∠AGE＝30，若AE＝EG＝厘米，則△ABC的邊BC的長(zhǎng)為 厘米． 【答案】4＋6． 【解析】如下圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AG于點(diǎn)M，則由AE＝EG，得AG＝2MG． ∵∠AGE＝30，EG＝厘米， ∴EM＝EG＝（cm）． 在Rt△EMG中，由勾股定理，得MG＝＝3（cm），從而AG＝6cm． 由折疊可知，BE＝AE＝（cm），GC＝AG＝6cm． ∴BC＝BE＋EG＋GC＝＋＋6＝4＋6（cm）． 【知識(shí)點(diǎn)】翻折；軸對(duì)稱；勾股定理；直角三角形的性質(zhì)；等腰三角形 3. （xx江蘇淮安，15，3） 如圖，在份Rt△ABC中，∠C=90，AC=3, BC=5,分別以A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q,過(guò)P、Q兩點(diǎn)作直線交BC于點(diǎn)D，則CD 的長(zhǎng)是 . (第15題） 【答案】1.6 【解析】本題考查勾股定理和基本作圖，連結(jié)AD,由線段的垂直平分線的性質(zhì)可知AD=BD,再由勾股定理可求得CD. 解：連結(jié)AD 由作法可知AD=BD, 在Rt△ACD中設(shè)CD=x,則AD=BD=5-x,AC=3. 由勾股定理得，CD2+AC2=AD2 即x2+32=(5-x)2 解得x=1.6 故答案為1.6 【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；軸對(duì)稱；線段的垂直平分線；基本作圖 4. （xx山東德州，15，4分）如圖,為的平分線，，，，則點(diǎn)到射線的距離為 ． 【答案】3 【解析】因?yàn)?，，，所以CM=3，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥OA于N，又因?yàn)闉榈钠椒志€，所以CN= CM=3，即點(diǎn)到射線的距離為3． 【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理，角平分線的性質(zhì) 5. （xx福建A卷，13，4）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AB=6，D為AB的中點(diǎn)，則CD= _______． 【答案】3 【思路分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得出CD的值. 【解析】解：在△ABC中，以∠ACB為直角的直角三角形的斜邊AB=6，∵CD是AB邊上的中線，∴CD=AB=3. 【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形 6.（xx福建A卷，15，4）把兩個(gè)相同大小的含45角的三角板如圖所示放置，其中一個(gè)三角板的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，另外三角板的銳角頂點(diǎn)B、C、D在同一直線上，若AB=，則CD=_______． 【答案】 【思路分析】首先利用勾股定理計(jì)算出BC、AD的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，由“三線合一”及等腰直直角三角形的性質(zhì)易求得AF=CF，在直角三角形ADF中，再次利用勾股定理計(jì)算出DF的長(zhǎng)度，問(wèn)題便獲得解決. 【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∵ AB=AC，∴CF=，∵ AB=AC=，∴AD=，∴CF=1，∵∠C=45，∴AF=CF=1，∴，∴. 【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理 7. （xx福建B卷，13，4）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AB=6，D為AB的中點(diǎn)，則CD= _______． 【答案】3 【思路分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得出CD的值. 【解題過(guò)程】解：在△ABC中，以∠ACB為直角的直角三角形的斜邊AB=6，∵CD是AB邊上的中線，∴CD=AB=3. 【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形 8. （xx福建B卷，15，4）把兩個(gè)相同大小的含45角的三角板如圖所示放置，其中一個(gè)三角板的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，另外三角板的銳角頂點(diǎn)B、C、D在同一直線上，若AB=，則CD=_______． 【答案】 【思路分析】首先利用勾股定理計(jì)算出BC、AD的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，由“三線合一”及等腰直直角三角形的性質(zhì)易求得AF=CF，在直角三角形ADF中，再次利用勾股定理計(jì)算出DF的長(zhǎng)度，問(wèn)題便獲得解決. 【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∵ AB=AC，∴CF=，∵ AB=AC=，∴AD=，∴CF=1，∵∠C=45，∴AF=CF=1，∴，∴. 【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理 9.（xx湖北省襄陽(yáng)市，15，3分）已知CD是△ABC的邊AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，則BC的長(zhǎng)為= ▲ . 【答案】 【解析】解：分兩種情況討論： ①當(dāng)CD在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC==2. ∴AB=2AC=4， ∴BD=AB-AD=3. 在Rt△BCD中，由勾股定理得，BC==. ②當(dāng)CD在△ABC外部時(shí)，如圖 此時(shí)，AB=4，BD=BA+AD=5, 在Rt△ABD中，由勾股定理得，BC==. 綜上所述，BC的長(zhǎng)為. 故答案為. 【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理，分類(lèi)討論思想 10. （xx廣西玉林，17題，3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90，∠A=60，AB=4，則AD的取值范圍是_______ 第17題圖 【答案】2下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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