高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 2.3.1 數(shù)學(xué)歸納法 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用課件 北師大版選修4-5.ppt

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3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式3．1數(shù)學(xué)歸納法3．2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,1．理解數(shù)學(xué)歸納法原理．2．能運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，掌握數(shù)學(xué)歸納法的步驟．3．會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式．4．了解貝努利不等式的應(yīng)用條件.,[學(xué)習(xí)目標(biāo)],1.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式．(重點(diǎn))2．貝努利不等式的應(yīng)用．(難點(diǎn)),[學(xué)法指要],,預(yù)習(xí)學(xué)案,1．已知某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)該命題成立，那么可以推得n＝k＋1時(shí)該命題也成立．現(xiàn)已知n＝5時(shí)該命題不成立，則n＝4時(shí)該命題__________．,不成立,1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的步驟(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值______時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)__________(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝_________時(shí)命題也成立．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．2．對(duì)任何實(shí)數(shù)x≥－1和任何正整數(shù)n，有____________，稱為貝努利不等式．,n0,n＝k,k＋1,(1＋x)n≥1＋nx,解析：左端＝1＋a＋a2＋…＋an＋1共n＋2項(xiàng)，當(dāng)n＝1時(shí)an＋1＝a2∴左端＝1＋a＋a2.答案：C,答案：B,3．設(shè)凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析：由凸多邊形性質(zhì)知多加了一條邊內(nèi)角和比原來多了π.答案：π,,課堂講義,[思路點(diǎn)撥]要證明的等式左邊有2n項(xiàng)，右邊有n項(xiàng)，f(k)與f(k＋1)相比，左邊增加二項(xiàng)，右邊增加一項(xiàng)，而且左、右兩邊的首項(xiàng)不同，因此，由n＝k到n＝k＋1時(shí)要注意項(xiàng)的合并．,用數(shù)學(xué)歸納法證等式,[思路點(diǎn)撥]用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)．從n＝k到n＝k＋1，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)．,[思路點(diǎn)撥]用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式常常要用到放縮法，即在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上，通過放大或縮小等技巧，變換出要證明的目標(biāo)不等式．,數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式問題,[思路點(diǎn)撥]利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是：觀察—?dú)w納—猜想—證明．即先通過觀察部分項(xiàng)的特點(diǎn)．進(jìn)行歸納，判斷并猜想出一般結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．,(1)數(shù)學(xué)歸納法的概念：先證明當(dāng)n取第一值n0(例如可取n0＝1)時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．(2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍：數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明．,數(shù)學(xué)歸納法,在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題中，從“n＝k”到“n＝k＋1”的過渡中，利用歸納假設(shè)是比較困難的一步，它不像用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問題一樣，只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來，而證明不等式的第二步中，從“n＝k”到“n＝k＋1”，只用拼湊的方法，有時(shí)行不通，因?yàn)閷?duì)不等式來說，它還涉及“放縮”的問題，它可能需通過“放大”或“縮小”的過程，才能利用上歸納假設(shè)，因此，我們可以利用“比較法”“綜合法”“分析法”等來分析從“n＝k”到“n＝k＋1”的變化，從中找到“放縮尺度”，準(zhǔn)確地拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)．,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,如果x是實(shí)數(shù)，且x>－1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1＋x)n>1＋nx.證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，由x≠0得(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時(shí)不等式成立．即有(1＋x)k>1＋kx.當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋x＋kx＋kx2>1＋(k＋1)x.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式成立．,貝努利不等式,由(1)(2)可知，貝努利不等式成立．把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實(shí)數(shù)a時(shí)，仍有類似不等式成立，它們是貝努利不等式的更一般的形式：當(dāng)a是實(shí)數(shù)，并且滿足a>1或者a－1)；當(dāng)a是實(shí)數(shù)，并且滿足0－1)．,這種方法解決的問題主要是歸納型問題或探索性問題，結(jié)論如何？命題的成立不成立都預(yù)先需要?dú)w納與探索，而歸納與探索多數(shù)情況下是從特例、特殊情況入手，得到一個(gè)結(jié)論，但這個(gè)結(jié)論不一定正確，因?yàn)檫@是靠不完全歸納法得出的，因此，需要給出一定的邏輯證明，所以，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索一般規(guī)律，其關(guān)鍵在于正確的歸納猜想，如果歸納不出正確的結(jié)論，那么數(shù)學(xué)歸納法的證明也就無法進(jìn)行了.,觀察、歸納、猜想、證明的方法,