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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第8章 第5節(jié) 橢圓課時(shí)作業(yè) 理
一、選擇題
1.(xx衡水一模)已知F1,F(xiàn)2是橢圓+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),則使|PF1||PF2|取最大值 的點(diǎn)P為( )
A.(-2,0) B.(0,1)
C.(2,0) D.(0,1)或(0,-1)
答案:D
解析:由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a=4,
∴|PF1||PF2|≤2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=2時(shí),取“=”.
故應(yīng)選D.
2.設(shè)e是橢圓+=1的離心率,且e∈,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.(0,3) B.
C.(0,3)∪ D.(0,2)
答案:C
解析:當(dāng)k>4時(shí),c=,由條件知<<1,解得k>;
當(dāng)0
b>0)的離心率e=,右焦點(diǎn)F(c,0),方程ax2+bx-c=0的兩個(gè)根分別為x1,x2,則點(diǎn)P(x1,x2)在( )
A.圓x2+y2=2上 B.圓x2+y2=2內(nèi)
C.圓x2+y2=2外 D.以上三種情況都有可能
答案:B
解析:由題意,知e==,
∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2=+=+1=2-=<2,
∴點(diǎn)P(x1,x2)在圓x2+y2=2內(nèi).
5.已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,|F1F2|=2c,點(diǎn)A在橢圓上,且AF1垂直于x軸,=c2,則橢圓的離心率e等于( )
A. B.
C. D.
答案:C
解析:如圖,由橢圓的幾何性質(zhì)可得|AF1|=,假設(shè)A在x軸上方,則A,而F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0).
故=,=,
所以=02c+=.
由題意可得=c2,所以b2=ac,即a2-c2=ac,也就是1-e2=e,解得e=或e=(舍).
故應(yīng)選C.
6.(xx新課標(biāo)全國Ⅰ)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案:D
解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2,y1+y2=-2,
①-②,得+=0,
所以kAB==-=.
又kAB==,所以=.
又9=c2=a2-b2,
解得b2=9,a2=18,
所以橢圓E的方程為+=1.故應(yīng)選D.
二、填空題
7.(xx遼寧)已知橢圓C:+=1,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合,若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在C上,則|AN|+|BN|=________.
答案:12
解析:橢圓+=1中,a=3.
如圖,設(shè)MN的中點(diǎn)為D,則|DF1|+|DF2|=2a=6.
∵D,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為MN,AM,BM的中點(diǎn),
∴|BN|=2|DF2|,|AN|=2|DF1|,
∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12.
8.已知點(diǎn)A(4,0)和B(2,2),M是橢圓+=1上一動(dòng)點(diǎn),則|MA|+|MB|的最大值為________.
答案:10+2
解析:顯然A是橢圓的右焦點(diǎn),如圖所示,設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為A1(-4,0),連接BA1并延長交橢圓于M1,則M1是使|MA|+|MB|取得最大值的點(diǎn).事實(shí)上,對(duì)于橢圓上的任意點(diǎn)M有
|MA|+|MB|=2a-|MA1|+|MB|≤2a+|A1B|(當(dāng)M1與M重合時(shí)取等號(hào)),
∴|MA|+|MB|的最大值為
2a+|A1B|=25+=10+2.
9.已知橢圓+=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,點(diǎn)P為該橢圓上一動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)取最小值時(shí)|+|的取值為________.
答案:3
解析:由已知得a=2,b=,c=1,
所以F2(1,0),A1(-2,0),設(shè)P(x,y),
則=(1-x,-y)(-2-x,-y)
=(1-x)(-2-x)+y2.
又點(diǎn)P(x,y)在橢圓上,所以y2=3-x2,代入上式,
得=x2+x+1=(x+2)2.
又x∈[-2,2],
所以x=-2時(shí),取得最小值.
所以P(-2,0),求得|+|=3.
10.(xx合肥一模)若橢圓+=1的焦點(diǎn)在x軸上,過點(diǎn)作圓x2+y2=1的切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn),則橢圓的方程是________.
答案:+=1
解析:由題可設(shè)斜率存在的切線的方程為y-=k(x-1)(k為切線的斜率),即2kx-2y-2k+1=0,由=1,解得k=-,
∴圓x2+y2=1的一條切線方程為3x+4y-5=0,求得切點(diǎn)A,易知另一切點(diǎn)B(1,0),則直線AB的方程為y=-2x+2.令y=0得右焦點(diǎn)為(1,0),令x=0得上頂點(diǎn)為(0,2).
∴a2=b2+c2=5,
故所求橢圓的方程是+=1.
三、解答題
11.(xx新課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
解:(1)根據(jù)c=及題設(shè),知M,2b2=3ac.
將b2=a2-c2代入2b2=3ac,
解得=或=-2(舍去).
故C的離心率為.
(2)由題意,原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn),MF2∥y軸,
所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn),
故=4,即b2=4a.①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,則
即
代入C的方程,得+=1.②
將①及c=代入②,得+=1.
解得a=7,b2=4a=28,
故a=7,b=2.
12.(xx臨沂模擬)已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓C的左、右焦點(diǎn),P是橢圓C上任意一點(diǎn),且|PF1||PF2|的最大值為2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A,B,滿足+=t(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)|-|<時(shí),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解:(1)由拋物線y2=4x的準(zhǔn)線是x=-1,得橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(-1,0),即c=1.
由橢圓的定義知|PF1|+|PF2|=2a,
∴|PF1||PF2|≤2=a2,
當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=a時(shí)取等號(hào).
∴a2=2,∴b2=a2-c2=1,
故橢圓C的方程為+y2=1.
(2)由題意知直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的斜率為k,
則其方程為y=k(x-2).
由消去y,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.
Δ=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)>0,解得k2<.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
則x1+x2=,x1x2=.
∵+=t,∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y).
∴x==,
y==[k(x1+x2)-4k]=.
∵點(diǎn)P在橢圓上,∴+2=2,
整理得16k2=t2(1+2k2),
又∵|-|<,∴||<,
∴=
<,
∴(1+k2)<,
化簡(jiǎn),得56k4+38k2-13>0,
∴(4k2-1)(14k2+13)>0,解得k2>,
∴b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2.以O(shè)為圓心,a為半徑作圓,若過點(diǎn)P的圓的兩切線互相垂直,切點(diǎn)分別為A,B.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M,N兩點(diǎn),且|+|=,求直線l的方程.
解:(1)由題意知,橢圓的半焦距c=1,
∵過點(diǎn)P的⊙O:x2+y2=a2的兩條切線互相垂直,
∴四邊形OAPB為正方形,∴=a,∴a=.
由a2=b2+c2,知b2=1,
∴橢圓方程為+y2=1.
(2)由(1)知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),
若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=-1,
將x=-1代入橢圓方程,得y=.
不妨設(shè)M,N,
∴+=+=(-4,0),
∴|+|=4,與題設(shè)矛盾,
∴直線l的斜率存在.
設(shè)直線l的斜率為k,則直線的方程為y=k(x+1).
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
聯(lián)立消y,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系,知x1+x2=,
從而y1+y2=k(x1+x2+2)=,
又∵=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),
∴+=(x1+x2-2,y1+y2),
∴|+|2=(x1+x2-2)2+(y1+y2)2
=2+2
=,
∴=2,
化簡(jiǎn)得40k4-23k2-17=0,
解得k2=1或者k2=-(舍去),∴k=1,
∴所求直線l的方程為y=x+1或y=-x-1.
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