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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第八章 第6節(jié) 雙曲線 理（含解析）
1．（xx天津，5分）已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：y＝2x＋10，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：選A 由題意可知，雙曲線的其中一條漸近線y＝x與直線y＝2x＋10平行，所以＝2且左焦點為(－5,0)，所以a2＋b2＝c2＝25，解得a2＝5，b2＝20，故雙曲線方程為－＝1.
答案：A
2．（xx北京，5分）設(shè)雙曲線C經(jīng)過點(2,2)，且與－x2＝1具有相同漸近線，則C的方程為________；漸近線方程為________．
解析：∵與雙曲線－x2＝1有相同漸近線的雙曲線方程為－x2＝k.將點(2,2)代入，得k＝－3，
∴雙曲線C的方程為－＝1，
其漸近線方程為－＝0，即y＝2x.
答案：－＝1 y＝2x
3．（xx新課標全國卷Ⅰ，5分）已知F是雙曲線C：x2－my2＝3m(m>0)的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為( )
A. B．3
C.m D．3m
解析：雙曲線方程為－＝1，焦點F到一條漸近線的距離為b＝.選A.
答案：A
3．（xx山東，5分）已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為( )
A．xy＝0 B.xy＝0
C．x2y＝0 D．2xy＝0
解析：橢圓C1的離心率為，雙曲線C2的離心率為，所以＝，所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以雙曲線C2的漸近線方程是y＝ x，即xy＝0.
答案：A
4．（xx廣東，5分）若實數(shù)k滿足0＜k＜9，則曲線－＝1與曲線－＝1的( )
A．離心率相等
B．虛半軸長相等
C．實半軸長相等
D．焦距相等
解析：由0
0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1||PF2|＝ab，則該雙曲線的離心率為( )
A. B.
C. D．3
解析：選B 由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4|PF1||PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1||PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即92－－4＝0，則＝0，解得＝，則雙曲線的離心率e＝＝.
答案：B
6．（xx湖北，5分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2＝，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為( )
A. B.
C．3 D．2
解析：假定焦點在x軸上，點P在第一象限，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點．設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，雙曲線的方程為－＝1(m>0，n>0)，它們的離心率分別為e1，e2，由|PF1|－|PF2|＝2m，|PF1|＋|PF2|＝2a，得|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，在△PF1F2中，4c2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cos?a2＋3m2＝4c2?2＋32＝4，則≥2?＋＝＋≤，當且僅當a＝3m時，等號成立，故選A.
答案：A
7．（xx廣東，5分）已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0)，離心率等于，則C的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：本題考查雙曲線的方程，考查考生的運算能力．由題意可知c＝3，a＝2，b＝ ＝ ＝，故雙曲線的方程為－＝1.
答案：B
8．（xx湖北，5分）已知0＜θ＜，則雙曲線C1：－＝1與C2：－＝1的( )
A．實軸長相等 B．虛軸長相等
C．焦距相等 D．離心率相等
解析：本題考查三角函數(shù)、雙曲線等知識，意在考查考生對雙曲線知識的掌握情況，會求實軸、虛軸、焦距和離心率的值，掌握三角函數(shù)的重要公式是求解本題的基礎(chǔ)．雙曲線C1的離心率e1＝＝ ＝ ＝，雙曲線C2的離心率e2＝＝ ＝ ＝＝ ＝，所以e1＝e2，而雙曲線C1的實軸長為2a1＝2cos θ，虛軸長為2b1＝2sin θ，焦距為2c1＝2 ＝2，雙曲線C2的實軸長為2a2＝2sin θ，虛軸長為2b2＝2sin θsin θ，焦距為2c2＝2 ＝2 ＝2tan θ，所以A，B，C均不對，故選D.
答案：D
9．（xx福建，5分）雙曲線－y2＝1的頂點到其漸近線的距離等于( )
A. B.
C. D.
解析：本題考查雙曲線的圖象與性質(zhì)，點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力以及運算求解能力．雙曲線－y2＝1的漸近線方程為y＝，即x2y＝0，所以雙曲線的頂點(2,0)到其漸近線距離為＝.
答案：C
10．（xx浙江，5分）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是( )
A. B.
C. D.
解析：本題考查橢圓、雙曲線的定義，幾何圖形和標準方程，簡單幾何性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想以及運算求解能力．設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)①，點A的坐標為(x0，y0)．
由題意得a2＋b2＝3＝c2②，則|OA|＝c＝，
所以解得x＝，y＝，又點A在雙曲線上，代入①得，b2－a2＝a2b2③，聯(lián)立②③解得a＝，所以e＝＝，故選D.
答案：D
11．（xx北京，5分）若雙曲線－＝1 的離心率為，則其漸近線方程為( )
A. y＝2x B．y＝x
C. y＝x D. y＝x
解析：本題考查雙曲線的方程和簡單幾何性質(zhì)，意在考查考生的運算求解能力．在雙曲線中離心率e＝＝ ＝，可得＝，故所求的雙曲線的漸近線方程是y＝x.
答案：B
12．（xx陜西，5分）雙曲線－＝1的離心率為，則m等于________．
解析：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)和方程思想的具體應(yīng)用．
?＝?m＝9.
答案：9
13．（xx江蘇，5分）雙曲線－＝1的兩條漸近線的方程為________．
解析：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生的運算能力．
令－＝0，解得y＝x.
答案：y＝x
14．（xx湖南，5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30，則C的離心率為________．
解析：本小題主要考查雙曲線的定義及其幾何性質(zhì)和余弦定理，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力，屬中檔題．依題意及雙曲線的對稱性，不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.而|F1F2|＝2c，所以在△PF1F2中由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，所以4a2＝16a2＋4c2－24a2ccos 30，即3a2－2ac＋c2＝0，所以a－c＝0，故雙曲線C的離心率為.
答案：
15．（2011山東，5分）已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：圓心的坐標是(3,0)，圓的半徑是2，雙曲線的漸近線方程是bxay＝0，根據(jù)已知得＝2，即＝2，解得b＝2，則a2＝5，故所求的雙曲線方程是－＝1.
答案：A
16．（2011安徽，5分）雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：雙曲線方程可變形為－＝1，所以a2＝4，a＝2,2a＝4.
答案：C
17．（xx新課標全國，5分）等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準線交于A，B兩點，|AB|＝4，則C的實軸長為( )
A. B．2
C．4 D．8
解析：拋物線y2＝16x的準線方程是x＝－4，所以點A(－4，2)在等軸雙曲線C：x2－y2＝a2(a＞0)上，將點A的坐標代入得a＝2，所以C的實軸長為4.
答案：C
18．（xx浙江，5分）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：－＝1(a，b＞0)的左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M.若|MF2|＝|F1F2|，則C的離心率是( )
A. B.
C. D.
解析：不妨設(shè)c＝1，則直線PQ：y＝bx＋b，兩漸近線為y＝x，
因此有交點P(－，)，Q(，)，設(shè)PQ的中點為N，則點N的坐標為(，)，
因為線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M，|MF2|＝|F1F2|，所以點M的坐標為(3,0)，
因此有kMN＝＝－，所以3－4a2＝b2＝1－a2，
所以a2＝，所以e＝.
答案：B
19．（2011湖南，5分）設(shè)雙曲線－＝1(a＞0)的漸近線方程為3x2y＝0，則a的值為( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：雙曲線方程－＝1的漸近線方程為3xay＝0，與已知方程比較系數(shù)得a＝2.
答案：C
20．（xx湖北，5分）如圖，雙曲線－＝1(a，b＞0)的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A，B，C，D.則
(1)雙曲線的離心率e＝________；
(2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值＝________.
解析：由題意可得a＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.
設(shè)sin θ＝，cos θ＝，
＝＝＝＝e2－＝.
答案：
21．（2011遼寧，5分）已知點(2,3)在雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距為4，則它的離心率為________．
解析：根據(jù)點(2,3)在雙曲線上，可以很容易建立一個關(guān)于a，b的等式，即－＝1，考慮到焦距為4，這也是一個關(guān)于c的等式，2c＝4，即c＝2.再有雙曲線自身的一個等式a2＋b2＝c2，這樣，三個方程，三個未知量，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以，離心率e＝2.
答案：2
2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第八章 第6節(jié) 雙曲線 理（含解析）.doc
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