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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題5 第2講 圓錐曲線素能訓(xùn)練（文、理）
一、選擇題
1．已知方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A．(，2) B．(1，＋∞)
C．(1,2) D．(，1)
[答案] C
[解析] 由題意可得，2k－1>2－k>0，
即解得1
0，b>0)的一個焦點作實軸的垂線，交雙曲線于A、B兩點，若線段AB的長度恰等于焦距，則雙曲線的離心率為( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 依題意得＝2c，c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，(e－)2＝，又e>1，因此e－＝，e＝，故選A.
(理)(xx新課標(biāo)Ⅰ理，4)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b＞0)的離心率為，則C的漸近線方程為( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
[答案] C
[解析] e＝＝ ∴＝
∴b2＝a2－a2＝
∴＝，即漸近線方程為y＝x.
3．(文)(xx湛江測試)從拋物線y2＝8x上一點P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|＝5，設(shè)拋物線的焦點為F，則△PFM的面積為( )
A．5 B．6
C．10 D．5
[答案] A
[解析] 拋物線的焦點F(2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－2.設(shè)P(m，n)，則|PM|＝m＋2＝5，解得m＝3.代入拋物線方程得n2＝24，故|n|＝2，則S△PFM＝|PM||n|＝52＝5.
(理)(xx德州模擬)設(shè)F1、F2分別是橢圓E：x2＋＝1(00，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線左支上的任意一點，若的最小值為9a，則雙曲線的離心率為( )
A．2 B．5
C．3 D．2或5
[答案] B
[解析] 由雙曲線定義得|PF2|＝2a＋|PF1|，
∴＝＝|PF1|＋＋4a，其中|PF1|≥c－a.當(dāng)c－a≤2a時，y＝x＋在[c－a，＋∞)上為減函數(shù)，沒有最小值，故c－a>2a，即c>3a?e>3，y＝x＋在[c－a，＋∞)上為增函數(shù)，故f(x)min＝f(c－a)＝c－a＋＋4a＝9a，化簡得10a2－7ac＋c2＝0，兩邊同除以a2可得e2－7a＋10＝0，解得e＝5或e＝2(舍去)．
6．(xx新鄉(xiāng)、許昌、平頂山二調(diào))若雙曲線－＝1(a>0，b>0)和橢圓＋＝1(m>n>0)有共同的焦點F1、F2，P是兩條曲線的一個交點，則|PF1||PF2| ( )
A．m2－a2 B.－
C.(m－a) D. (m－a)
[答案] D
[解析] 不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點，P在雙曲線的右支上，由題意得|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，故|PF1||PF2|＝m－a.
二、填空題
7．(xx安徽理，13)已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A、B兩點，若該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為________．
[答案] a≥1
[解析] 顯然a>0，不妨設(shè)A(，a)，B(－，a)，C(x0，x)，則＝(－－x0，a－x)，
＝(－x0，a－x)，∵∠ACB＝90.
∴＝(－x0，a－x)(－－x0，a－x)＝0.
∴x－a＋(a－x)2＝0，則x－a≠0.
∴(a－x)(a－x－1)＝0，∴a－x－1＝0.
∴x＝a－1，又x≥0.
∴a≥1.
8．(xx長沙市模擬)設(shè)點P是雙曲線－＝1(a>0，b>0)與圓x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交點，其中F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線的離心率為________．
[答案]
[解析] 設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝2m，|F1F2|＝＝m，因此雙曲線的離心率為＝.
9．(xx湖南理，15)如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a、b(a0)經(jīng)過C、F兩點，則＝________.
[答案] ＋1
[解析] 由題可得C(，－a)，F(xiàn)(＋b，b)，
∵C、F在拋物線y2＝2px上，∴
∴＝＋1，故填＋1.
三、解答題
10．(文)(xx廈門質(zhì)檢)已知雙曲線的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求這雙曲線的焦點坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；
(2)設(shè)F1和F2是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上，且|PF1||PF2|＝32，求∠F1PF2的大?。?
[解析] (1)由16x2－9y2＝144得－＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴焦點坐標(biāo)F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，離心率e＝，漸近線方程為y＝x.
(2)由(1)知||PF1|－|PF2||＝6，
cos∠F1PF2＝
＝
＝＝0，
∵∠F1PF2∈(0,180)，∴∠F1PF2＝90.
(理)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，并且直線y＝x＋b是拋物線y2＝4x的一條切線．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點S(0，－)的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
[解析] (1)由消去y得x2＋(2b－4)x＋b2＝0，
因為直線y＝x＋b與拋物線y2＝4x相切，
所以Δ＝(2b－4)2－4b2＝0，解得b＝1.
因為e＝＝，∴＝＝，∴a2＝2.
故所求橢圓方程為＋y2＝1.
(2)當(dāng)l與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程為
x2＋(y＋)2＝()2.
當(dāng)l與y軸平行時，以AB為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1.
由解得
即兩圓相切于點(0,1)，
因此，所求的點T如果存在，只能是(0,1)．
事實上，點T(0,1)就是所求的點，證明如下：
當(dāng)直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T(0,1)．
若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l的方程為y＝kx－，
由消去y得(18k2＋9)x2－12kx－16＝0.
設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則
又因為＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，
所以＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)
＝x1x2＋(kx1－)(kx2－)
＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋
＝(1＋k2)－k＋＝0，
所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T(0,1)，
所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點T(0,1)滿足條件.
一、選擇題
11．(文)(xx唐山市一模)雙曲線x2－y2＝4左支上一點P(a，b)到直線y＝x的距離為， 則a＋b＝ ( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
[答案] A
[解析] 解法1：如圖，雙曲線－＝1的左頂點(－2,0)到直線y＝x的距離為，又∵點(a，b)為雙曲線左支上的點，∴a＝－2，b＝0，∴a＋b＝－2.
解法2：由題意得∴a＋b＝－2.
(理)已知點F是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，△ABE是直角三角形，則該雙曲線的離心率是( )
A．3 B．2
C. D.
[答案] B
[解析] 因為AB⊥x軸，又已知△ABE是直角三角形，且顯然AE＝BE，所以△ABE是等腰直角三角形．所以∠AEB＝90.所以∠AEF＝45.所以AF＝EF.易知A(－c，)(不妨設(shè)點A在x軸上方)，
故＝a＋c.即b2＝a(a＋c)．得c2－ax－2a2＝0，
即e2－e－2＝0，解得e＝2，或e＝－1(舍去)．故選B.
12．直線l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點，且與拋物線交于A，B兩點，若AB的中點橫坐標(biāo)為3，則線段AB的長為( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案] D
[解析] 焦點F(1,0)，設(shè)l：x＝my＋1，代入y2＝4x中得，y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，∵AB中點橫坐標(biāo)為3，∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2＝6，∴m＝1，當(dāng)m＝1時，l：y＝x－1，代入y2＝4x中得x2－6x＋1＝0，∴x1＝3－2，x2＝3＋2，∴|AB|＝|x1－x2|＝8，由對稱性知m＝－1時，結(jié)論相同．
13．(文)已知有公共焦點的橢圓與雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F1、F2，且它們在第一象限的交點為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形．若|PF1|＝10，雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2)．則該橢圓的離心率的取值范圍是( )
A．(，) B．(，)
C．(，) D．(，1)
[答案] C
[解析] 設(shè)橢圓的半焦距為c，長半軸長為a，由橢圓的定義及題意知，|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c＝10，得到a－c－5＝0，因為雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2)，所以1<<2，∴0，x2>0，
∴|FA|＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，∴x1＋2＝2x2＋4，
∴x1＝2x2＋2.
由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4，x1＋x2＝＝－4.
由，得x＋x2－2＝0，∴x2＝1，∴x1＝4，
∴－4＝5，∴k2＝，k＝.
(理)(xx唐山市二模)已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)與圓C2：x2＋y2＝b2，若在橢圓C1上存在點P，使得由點P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，則橢圓C1的離心率的取值范圍是( )
A．[，1) B．[，]
C．[，1) D．[，1)
[答案] C
[解析] 如圖，設(shè)切點為A、B，則OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠APB＝90，連結(jié)OP，則∠APO＝45，∴AO＝PA＝b，OP＝b，∴a≥b，∴a2≤2c2，∴≥，∴e≥，又∵e<1，∴≤e<1.
二、填空題
15．(xx安徽理，14)若F1、F2分別是橢圓E：x2＋＝1(00)的準(zhǔn)線與x軸交于點M，過點M作直線l交拋物線于A、B兩點．
(1)若線段AB的垂直平分線交x軸于N(x0,0)，求證：x0>3p；
(2)若直線l的斜率分別為p，p2，p3，…時，相應(yīng)線段AB的垂直平分線與x軸的交點依次為N1，N2，N3，…，當(dāng)00，得0p＋2p＝3p，∴x0>3p.
(2)∵l的斜率分別為p，p2，p3，…時，對應(yīng)線段AB的中垂線與x軸交點依次為N1，N2，N3，…(0b>0)的上、下頂點分別為A、B，已知點B在直線l：y＝－1上，且橢圓的離心率e＝.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ的中點，直線AM交直線l于點C，N為線段BC的中點，求證：OM⊥MN.
[解析] (1)依題意，得b＝1.
∵e＝＝，a2－c2＝b2＝1，∴a2＝4.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)證明：設(shè)P(x0，y0)，x0≠0，則Q(0，y0)，且＋y＝1.
∵M(jìn)為線段PQ中點，∴M(，y0)．
又A(0,1)，∴直線AM的方程為y＝x＋1.
∵x0≠0，∴y0≠1，令y＝－1，得C(，－1)．
又B(0，－1)，N為線段BC的中點，
∴N(，－1)．
∴＝(－，y0＋1)．
∴＝(－)＋y0(y0＋1)
＝－＋y＋y0
＝(＋y)－＋y0＝1－(1＋y0)＋y0＝0，
∴OM⊥MN.
(理)已知橢圓C：＋y2＝1(a>1)的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若不過點A的動直線l與橢圓C交于P、Q兩點，且＝0.求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
[解析] (1)A(0,1)，F(xiàn)(，0)，
直線AF：＋y＝1，
即x＋y－＝0，
∵AF與⊙M相切，圓心M(3,1)，半徑r＝，
∴＝，∴a＝，
∴橢圓的方程為＋y2＝1.
(2)由＝0知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)直線AP的方程為y＝kx＋1，直線AQ的方程為y＝－x＋1，
將y＝kx＋1代入橢圓C的方程，
整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，
解得x＝0或x＝，
故點P的坐標(biāo)為(，)．
同理，點Q的坐標(biāo)為(，)．
所以直線l的斜率為＝.
則直線l的方程為y＝(x－)＋，
即y＝x－.
所以直線l過定點(0，－)．
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