傅里葉變換Fouriertrans.ppt
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數(shù)學物理方法,傅立葉變換,傅里葉生平,1768年生于法國 1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)的級數(shù)表示” 1822年發(fā)表“熱的分析理論”,首次提出“任何非周期信號都可用正弦函數(shù)的積分表示”,傅立葉變換,傅立葉級數(shù) 傅立葉變換 狄拉克函數(shù) 本章小結(jié),傅立葉級數(shù),三角級數(shù) 定義 由周期為2π的正弦和余弦函數(shù)的線性組合而成的無窮級數(shù),基本函數(shù)族 組成:1,cos(nx),sin(nx) 性質(zhì):任意兩個在一個周期上的積分等于0,稱為正交性;,傅立葉級數(shù),傅立葉展開 傅立葉展開定理: 周期為2π的函數(shù)f(x) 可以展開為三角級數(shù), 展開式系數(shù)為,狄利克雷收斂定理 收斂條件 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點; 在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點。 收斂結(jié)果 當x是連續(xù)點時,級數(shù)收斂于該點的函數(shù)值; 當x是間斷點時,級數(shù)收斂于該點左右極限的平均值。,傅立葉級數(shù),展開舉例 對稱函數(shù) 對奇函數(shù):,對偶函數(shù):,典型周期函數(shù)(周期為2π),傅立葉級數(shù),傅立葉展開的意義: 理論意義:把復雜的周期函數(shù)用簡單的三角級數(shù)表示; 應用意義:用三角函數(shù)之和近似表示復雜的周期函數(shù)。 例如:對稱方波的傅立葉展開,傅立葉級數(shù),重要推廣 推廣1: 問題:把周期為T=2L的函數(shù)f(t)的展開: 方法:對基本公式作變換x→πt/L,,傅立葉級數(shù),推廣2 問題:把定義在 [-L, L] 上的函數(shù) f(t)展開; 方法:先把它延拓為周期函數(shù)(即把它當成是一個周期 為2L的函數(shù)的一部分), 再按推廣1展開; 注意:所得到的級數(shù)僅在原定義范圍中與f(t)一致。 延拓前 延拓后,傅立葉級數(shù),推廣3 問題:把定義在 [0, L] 上的函數(shù) f(x)展開; 方法:先把它延拓為[-L, L]上的奇函數(shù)或偶函數(shù), 再按推廣2把它延拓為周期函數(shù), 最后按推廣1展開; 注意:所得到的級數(shù)僅在原定義范圍中與f(x)一致。 公式:,傅立葉級數(shù),展開的復數(shù)形式 展開公式:,基本函數(shù)族:,正交性:,展開系數(shù):,傅立葉變換,非周期函數(shù)的傅立葉展開 問題: 把定義在(-∞,∞)中的非周期函數(shù) f (x)展開; 思路: 把該函數(shù)定義在(-L,L)中的部分展開,再令L→∞; 實施: 展開公式,展開系數(shù):,困難 展開系數(shù) cn 為無窮?。?冪指數(shù) n?x/L 不確定。,傅立葉變換,解決方法: 把 nπ/L 作為新變量,即定義ωn = nπ/L ; 把 cnL/π作為新的展開系數(shù),即定義F(ωn)=cnL/π. 公式的新形式: 展開公式:,展開系數(shù):,取極限: 傅立葉變換:,傅立葉積分:,傅立葉變換,例題1 矩形函數(shù)的定義為,求矩形脈沖 x (t) = rect(t/2T1)的傅立葉變換。 解:,傅立葉變換,例題2 將矩形脈沖 f (t) = h rect(t/2T)展開為傅立葉積分。 解: 先求出 f (t) 的傅立葉變換,代入傅立葉積分公式,得,例題3 求對稱指數(shù)函數(shù)f(t)的傅立葉變換,傅立葉變換,傅立葉變換,傅立葉變換的意義 數(shù)學意義 從一個函數(shù)空間(集合)到另一個函數(shù)空間(集合)的映射; f(x)稱為變換的原函數(shù)(相當于自變量),F(xiàn)(ω)稱為象函數(shù)。 應用意義 把任意函數(shù)分解為簡單周期函數(shù)之和,F(xiàn)(ω)的自變量為頻率,函數(shù)值為對應的振幅。 物理意義 把一般運動分解為簡諧運動的疊加; 把一般電磁波(光)分解為單色電磁波(光)的疊加。 物理實現(xiàn) 分解方法:棱鏡光譜儀、光柵光譜儀; 記錄方式:(用照相底版)攝譜儀、(用光電探測器)光度計。,傅立葉變換,傅立葉變換的性質(zhì) 一般假定 f(x) → F(ω), g(x) → G(ω) 奇偶虛實性 f(x)為偶函數(shù),F(xiàn)(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)為實函數(shù); f(x)為奇函數(shù),F(xiàn)(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)為虛函數(shù) 線性性質(zhì) k f(x) → k F(ω); f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω) 分析性質(zhì) f ’(x) → iωF(ω);,傅立葉變換,位移性質(zhì) f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ; exp(iφx)f(x) → F(ω-φ) 相似性質(zhì) f(ax) → F(ω/a)/a; f(x/b)/b → F(bω) 。 卷積性質(zhì) f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω); f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ 對稱性質(zhì) 正變換與逆變換具有某種對稱性; 適當調(diào)整定義中的系數(shù)后,可以使對稱性更加明顯。,傅立葉變換,應用舉例,傅立葉變換,推廣 推廣1 問題:把定義在 [0, ∞) 上的函數(shù) f(t)展開; 方法:先把它延拓為(-∞,∞)上的奇函數(shù)或偶函數(shù), 再按公式進行傅立葉變換; 注意: 偶函數(shù)滿足條件f’(0)=0,形式為 f(|t|); 奇函數(shù)滿足條件f(0)=0,形式為 sgn(t)f(|t|). 結(jié)果:所得到的傅立葉積分僅在原定義范圍中與f(t)一致。,傅立葉變換,推廣2 問題:多元函數(shù)的傅立葉變換 公式:,狄拉克函數(shù),概念 問題 質(zhì)點的密度函數(shù)如何表示? 思路 質(zhì)點是物體在尺度趨于零時的理想模型; 一個位于原點的單位質(zhì)點,可以看成一個線密度為h rect(hx)的物體在寬度d=1/h趨向零時的極限; 極限密度為δ(x)=lim h→∞ h rect(hx) 一般定義,狄拉克函數(shù),狄拉克函數(shù),性質(zhì) 奇偶性質(zhì) δ(-x)=δ(x), δ’(-x)=δ’(x) 分析性質(zhì),選擇性質(zhì) ∫f(x)δ(x-a)dx=f(a),∫f ’(x)δ(x-a)dx=-f’(a) 變換性質(zhì),狄拉克函數(shù),狄拉克函數(shù)的應用 描述功能 位于x=a處質(zhì)量為m的質(zhì)點,質(zhì)量線密度為mδ(x-a); 位于x=a處電量為q的點電荷,電荷線密度為qδ(x-a); 位于t=a時刻強度為I的脈沖信號,信號函數(shù)為Iδ(t-a); 分解功能 質(zhì)量密度為ρ(x)的物體,可分解為質(zhì)點的空間疊加 ρ(x) = ∫ρ(a)δ(a-x)da 電荷密度為ρ(x)的帶電體,可分解為點電荷的空間疊加 ρ(x) = ∫ρ(a)δ(a-x)da 信號函數(shù)為ρ(t)的信號,可分解為脈沖信號的時間疊加 ρ(t) = ∫ρ(a)δ(a-t)da,狄拉克函數(shù),計算功能 計算函數(shù)在間斷點的導數(shù); 計算特別函數(shù)的傅立葉變換。 例題1 計算f(x) = sgn(x)的導函數(shù)。 解: sgn(x) = 2 H(x) - 1 sgn’(x) = 2 H’(x) = 2δ(x) 例題2 計算 f(x) = |x| 的傅立葉變換。 解:,狄拉克函數(shù),狄拉克函數(shù)的推廣 問題: 三維空間中的質(zhì)點的密度、點電荷的電荷密度。 三維狄拉克函數(shù): δ(r)=δ(x,y,z)=δ(x)δ(y)δ(z) 應用 位于r=a處質(zhì)量為m的質(zhì)點,質(zhì)量體密度為mδ(r-a); 位于r=a處電量為q的點電荷,電荷體密度為qδ(r-a);,本章小結(jié),傅立葉級數(shù) 周期函數(shù)的三角展開公式; 基本三角函數(shù)的性質(zhì)。 傅立葉變換 非周期函數(shù)的三角展開公式; 傅立葉變換的性質(zhì)。 狄拉克函數(shù) 狄拉克函數(shù)概念; 狄拉克函數(shù)性質(zhì); 狄拉克函數(shù)功能。,作 業(yè),P73 6-2 6-4:(3) 6-5:(1) 6-6:(3) 6-7:(1),- 配套講稿:
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