西南交通大學(xué)概率教案5考研必備.ppt

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2.2 離散型隨機變量,,,,,一、離散型隨機變量 二、常見的離散型隨機變量,,,,,一、離散型隨機變量的分布律 1、離散型隨機變量定義,定義2.1 若隨機變量X的可能取值僅有有限或可列多個, 則稱此隨機變量為離散型隨機變量。 即：X的可能取值為xk, 則離散型隨機變量可記為 X=xk k=1,2,3,…,,,,,2、離散型隨機變量的分布律,,,,,注：概率分布有三種表示方式,,,,,(3)圖形表示法,,,,,由隨機變量X的概率分布可以得到其分布函數(shù)，以X有n個可能取值為例：,,,,,(2) 離散型隨機變量X的分布函數(shù)F(x)的圖形為一階梯形曲線；,注,(1)離散型隨機變量X的分布函數(shù)F(x)在X=xk處有跳躍，其跳躍值為pk=P{X=xk}，k=1,2,…；,,,,,練習(xí) 設(shè)X為一離散型隨機變量，其分布律如下：,,,,,3、離散型隨機變量的分布律的求法,(1)利用古典概率、條件概率、獨立性等計算方法及其運算法則求出事件{X=xk}的概率pk=P{X=xk}, k=1, 2,…求法步驟為： 第一步：先確定X的全部可能取值xk，k=1, 2,…; 第二步：具體求出事件{X=xk}的概率，即pk。,,,,,例2.1 設(shè)有甲、乙兩勢均力敵的排球隊，在每一局比賽中各隊取勝的概率都是1/2，求兩個隊在一場排球比賽中所打局數(shù)的概率分布及分布函數(shù)。,,,,,解: 設(shè)一場排球比賽中所打局數(shù)為隨機變量X, 則按現(xiàn)行規(guī)則, X的取值只可能是3, 4或5. 而第k局比賽甲, 乙隊取勝的事件分別記為Ak, Bk,,則 P(Ak)=P(Bk)=1/2, k=1,2,3,4,5 且每個Ak與Bk間是相互獨立的。,,,,,P{X=5}＝1–P{X=3}–P{X=4}＝3/8,X的分布函數(shù)為：,即所求概率分布如下表：,,,,,(2)利用分布函數(shù)F(x)求概率分布,求法步驟為： 第一步：F(x)的各間斷點xk的取值為X的可能取值； 第二步：由pk=P{X=xk}=F(xk)–F(xk–0)求出事件{X=xk}的概率。,例2.2 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為 試求X的概率分布。,,,,,解: (1) F(x)的間斷點為–1,1,3, 即為X的可能取值,(2) p1=P(X= –1)=F(–1)–F(–1–0)=0.4–0=0.4,p2=P(X=1)=F(1)–F(1–0)=0.8–0.4=0.4,p3=P(X=3)=F(3)–F(3–0)=1–0.8=0.2,(3) 利用分布律的基本性質(zhì)求分布律,,,,,例2.3 一批產(chǎn)品分為一、二、三級，其中一級品是二級品的兩倍，三級品是二級品的一半，從這批產(chǎn)品中隨機地抽取一個作質(zhì)量檢驗，用隨機變量描述檢驗的可能結(jié)果，試求出它的概率分布。,解: 設(shè)抽取產(chǎn)品的檢驗等級數(shù)為X, 則X =1,2,3, 依題意知,,,,,二、常見的離散型隨機變量,其分布函數(shù)為：,1、（0–1）分布（兩點分布）,,,,,例： (1)對新生嬰兒進行性別登記，記女嬰出現(xiàn)的事件為A (2)檢查一件產(chǎn)品是否合格，記合格品的事件為A (3)檢查某車間電力消耗量是否超負荷，記超過負荷事件為A (4)拋擲硬幣一次，記正面出現(xiàn)的事件為A。,,,,,例2.4 設(shè)100件產(chǎn)品，其中有95件合格品，5件次品?，F(xiàn)從中任取一件，設(shè)隨機變量 試求X的概率分布及分布函數(shù)。,2、等可能分布(離散型均勻分布),,,,,如果隨機變量X可以取n個不同的值x1, x2,…, xn, 且取每個xk值的概率相等, 即 P{X=xk}=1/n k=1,2,…,n 則稱X服從等可能分布或離散型均勻分布, 其分布參數(shù)為n, 可記為X~U(n)。,其分布函數(shù)為,注: 等可能概型中, 試驗E的可能結(jié)果只可能是有限個,,,,,3、二項分布,若隨機變量X取值為0,1,2,…,n的概率為 則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記為X~B(n,p)。,其分布函數(shù)為,,,,,應(yīng)用模型： n重貝努利概型中事件A發(fā)生的次數(shù)X即服從B(n,p)。,,,,,例如： (1)n次投擲一枚硬幣，其中正面出現(xiàn)次數(shù)X的分布； (2)檢查n只產(chǎn)品(次品率一定)，其中次品個數(shù)X的分布； (3)n臺同型號機床，在一小時內(nèi)，每臺機床出故障的概率相同，則n臺機床在同一小時內(nèi)出故障的臺數(shù)的分布； (4)n個新生嬰兒中男嬰的個數(shù)的分布； (5)某射手向同一目標(biāo)射擊n次，n次射擊中擊中靶心的次數(shù)的分布。,,,,,注3 當(dāng)二項分布B(n,p)中的參數(shù)n=1時, 化為兩點分布B(1,p), 即兩點分布是二項分布的特例,注1,注2 二項分布B(n,p)的分布律P{X=k}在,例2.5 設(shè)某種疾病在鴨子中傳染的概率為0.25。 (1)求在正常情況下(未注射防疫血清時)，50只鴨子和39只鴨子中，受到感染的最大可能只數(shù)； (2)設(shè)對17只鴨子注射甲種血清后，仍有一只受到感染；對23只鴨子注射乙種血清后，仍有兩只受到感染。 試問這兩種血清是否有效？,,,,,注4 一般地, 當(dāng)n不大于10時, F(x)的值可由《二項分布表》查出, 若n較大時, 通常采用泊松分布函數(shù)或正態(tài)分布函數(shù)作近似計算。,,,,,解: 設(shè)n只鴨子中受感染的只數(shù)為X, 則X~B(n,0.25),,,,,由于假定血清無效, 而得出相應(yīng)事件出現(xiàn)的概率很小, 所以, 可以初步判斷兩種血清都是有效的。且由于F23(2)F17(1), 我們還可以認為乙種血清的效果稍好一些。,,,,,4、泊松分布,如果隨機變量X的可能取值為0,1,2,…, 取各值的概率為 其中?0為常數(shù), 則稱X服從參數(shù)為?的泊松分布, 記作X~? (?); 其分布函數(shù)為,,,,,注1 泊松分布中的參數(shù)?表征平均特性, 如X表示單位時間內(nèi)某電話交換臺接到的呼叫次數(shù), 即?表示在這單位時間內(nèi)接到呼叫次數(shù)的平均數(shù)。,應(yīng)用模型： 作為描述大量獨立試驗中稀有事件A出現(xiàn)次數(shù)的分布模型。,例如： (1)電話交換臺在一段時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù); (2)一大批產(chǎn)品中的廢品數(shù); (3)某路段, 某時段內(nèi)交通事故出現(xiàn)的次數(shù); (4)某商店一天內(nèi)銷售的某種特殊商品數(shù); (5)一本書中某一頁上印刷錯誤個數(shù)。,,,,,注2 泊松分布常用于近似計算二項分布的概率。 當(dāng)貝努利試驗的次數(shù)n很大，而在一次試驗中某事件發(fā)生的概率p很小，且?=np適中時，可用泊松分布作二項分布概率的近似計算，即 從下表可看出近似程度。（見下頁）,注3 泊松分布? (?)的分布律P{X=k}在,,,,,,,,,例2.6 某電話交換臺在一般情況下, 一小時內(nèi)平均接到電話60次, 已知電話呼喚次數(shù)X服從泊松分布, 試求在一般情況下, 30秒內(nèi)接到電話次數(shù)不超過一次的概率。,,,,,例2.7 設(shè)有80臺同類型設(shè)備, 各臺工作是相互獨立的, 發(fā)生故障的概率都是0.01, 且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理。考慮兩種配備維修工人的方法, 其一是由4人維護, 每人負責(zé)20臺; 其二是由3人共同維護80臺, 試比較兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小。,,,,,解: (1)按第一種方法, 設(shè)X為“第一人維護的20臺同時發(fā)生故障的臺數(shù)”, Ai (i=1,2,3,4)為“第i人維護的20臺中發(fā)生故障不能及時維修”,則80臺中發(fā)生故障不能及時維修的概率為 P(A1?A2?A3?A4),依題意X~B(20,0.01), 此處?=np=0.2, 故,?P(A1),=P(X ?2),,,,,故 P(A1?A2?A3?A4) ?0.0175231,,,,,(2)按第二種方法, 設(shè)Y為“80臺中同時發(fā)生故障的臺數(shù)”, 此時Y~B(80,0.01), 此處?=np=0.8,,則80臺中發(fā)生故障不能及時維修的概率為,查泊松分布表得 P(Y ?4)≈0.00908,所以，第二種方法更好。,例2.8 一臺總機共有300臺分機, 總機擁有13條外線, 假設(shè)每臺分機向總機要外線的概率為3%, 試求每臺分機向總機要外線時能及時得到滿足的概率和同時向總機要外線的分機的最可能臺數(shù)。,,,,,解: 設(shè)300臺分機向總機要外線的臺數(shù)為X, 則X~B(300,0.03),由注3知, 向總機要外線的分機的最可能臺數(shù)為8或9臺(因?=9為整數(shù)),,,,,例2.9(壽命保險問題) 設(shè)在保險公司里有2500個同一年齡和同社會階層的人參加了人壽保險, 在一年里每個人死亡的概率為0.002, 每個參加保險的人在每年一月一日付12元保險費, 而死亡時家屬可到保險公司領(lǐng)取賠付費2000元。 試問： (1)“一年內(nèi)保險公司虧本”(記為A)的概率是多少？ (2)“一年內(nèi)保險公司獲利不少于10000, 20000元”(分別記為B1,B2)的概率是多少？,解：每年保險公司收入為250012=30000元, 設(shè)X為2500人在一年中死亡的人數(shù), 則保險公司應(yīng)賠付2000X元, 若A發(fā)生, 則有 2000X30000 得 X15（人） 即若一年中死亡人數(shù)超過15人, 則公司虧本(此處不計3萬元所得利息)。,,,,,,,,,依題意X~B(2500,0.002), 故,,,,,即一年內(nèi)保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上。,,,,,同理,即一年內(nèi)保險公司獲利不少于20000元的概率約為0.62,