《2019-2020年高考數(shù)學(xué)考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練第一部分知識(shí)方法篇專題9平面直角坐標(biāo)與不等式第36練不等式選講.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高考數(shù)學(xué)考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練第一部分知識(shí)方法篇專題9平面直角坐標(biāo)與不等式第36練不等式選講.doc（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
2019-2020年高考數(shù)學(xué)考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練第一部分知識(shí)方法篇專題9平面直角坐標(biāo)與不等式第36練不等式選講
[題型分析高考展望] 本部分主要考查絕對(duì)值不等式的解法．求含絕對(duì)值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對(duì)值不等式中參數(shù)的取值范圍，不等式的證明等，結(jié)合集合的運(yùn)算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問題及基本不等式，絕對(duì)值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點(diǎn)，主要考查基本運(yùn)算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想．
1．(xx課標(biāo)全國甲)已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a＋b|<|1＋ab|.
(1)解 f(x)＝
當(dāng)x≤－時(shí)，由f(x)<2得－2x<2，
解得x>－1，所以－1
a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|0)?－ay.求證：2x＋≥2y＋3.
(2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足：|x＋y|<，|2x－y|<，
求證：|y|<.
證明 (1)因?yàn)閤>0，y>0，x－y>0，
2x＋－2y
＝2(x－y)＋
＝(x－y)＋(x－y)＋
≥3＝3，
所以2x＋≥2y＋3，
(2)因?yàn)?|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|
≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由題設(shè)知|x＋y|<，|2x－y|<，
從而3|y|<＋＝，
所以|y|<.
點(diǎn)評(píng) (1)作差法應(yīng)該是證明不等式的常用方法．作差法證明不等式的一般步驟：①作差；②分解因式；③與0比較；④結(jié)論．關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力．
(2)在不等式的證明中，適當(dāng)“放”“縮”是常用的推證技巧．
變式訓(xùn)練2 (1)若a，b∈R，求證：≤＋.
(2)已知a，b，c均為正數(shù)，a＋b＝1，求證：＋＋≥1.
證明 (1)當(dāng)|a＋b|＝0時(shí)，不等式顯然成立．
當(dāng)|a＋b|≠0時(shí)，
由0<|a＋b|≤|a|＋|b|?≥，
所以＝≤
＝≤＋.
(2)因?yàn)椋玝≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
所以＋＋≥1.
題型三 柯西不等式的應(yīng)用
柯西不等式
(1)設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)等號(hào)成立．
(2)設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立．
例3 (xx福建)已知a＞0，b＞0，c＞0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值為4.
(1)求a＋b＋c的值；
(2)求a2＋b2＋c2的最小值．
解 (1)因?yàn)閒(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，
當(dāng)且僅當(dāng)－a≤x≤b時(shí)，等號(hào)成立．
又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b.
所以f(x)的最小值為a＋b＋c.
又已知f(x)的最小值為4，
所以a＋b＋c＝4.
(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得
(4＋9＋1)
≥2
＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，
即a＝，b＝，c＝時(shí)等號(hào)成立．
故a2＋b2＋c2的最小值為.
點(diǎn)評(píng) (1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時(shí)，就可使用柯西不等式進(jìn)行證明．
(2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為
(a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式時(shí)，要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號(hào)成立的條件．
變式訓(xùn)練3 已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為a.
(1)求a的值；
(2)若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3.
(1)解 因?yàn)閨x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，當(dāng)且僅當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，等號(hào)成立，
所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.
(2)證明 由(1)知p＋q＋r＝3，
又因?yàn)閜，q，r是正實(shí)數(shù)，
所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p1＋q1＋r1)2＝(p＋q＋r)2＝9，
即p2＋q2＋r2≥3.
高考題型精練
1．如果關(guān)于x的不等式|x－3|－|x－4|－1時(shí)，不等式的解集不是空集．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－1，＋∞)．
2．設(shè)x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．
解 ∵x>0，y>0，∴原不等式可化為－λ≤(＋)(x＋y)＝2＋＋.
∵2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立．∴[(＋)(x＋y)]min＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即實(shí)數(shù)λ的最小值是－4.
3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解 設(shè)y＝|2x－1|＋|x＋2|
＝
當(dāng)x<－2時(shí)，y＝－3x－1>5；
當(dāng)－2≤x<時(shí)，y＝－x＋3>；
當(dāng)x≥時(shí)，y＝3x＋1≥，
故函數(shù)y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值為.
因?yàn)椴坏仁絴2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以≥a2＋a＋2.
解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，
故a的取值范圍為[－1，]．
4．設(shè)不等式|x－2|1時(shí)，
由2x<4，得1|x＋1|成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
解 由柯西不等式知
[12＋()2＋()2][a2＋(b)2＋(c)2]
≥(1a＋b＋c)2
即6(a2＋2b2＋3c2)≥ (a＋2b＋3c)2.
又∵a2＋2b2＋3c2＝6，
∴66≥(a＋2b＋3c)2，
∴－6≤a＋2b＋3c≤6，
∵存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立．
∴|x＋1|<6，∴－70.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值．
解 (1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)≥3x＋2可化為|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集為{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式化為不等式組
或
即或
因?yàn)閍>0，所以不等式組的解集為{x|x≤－}．
由題設(shè)可得－＝－1，
故a＝2.
8．(xx課標(biāo)全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍．
解 (1)當(dāng)a＝1時(shí)，
f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0.
當(dāng)x≤－1時(shí)，不等式化為x－4>0，無解；
當(dāng)－10，解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集為.
(2)由題設(shè)可得，f(x)＝
所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面積為(a＋1)2.
由題設(shè)得(a＋1)2>6，
故a>2.
所以a的取值范圍為(2，＋∞)．
2019-2020年高考數(shù)學(xué)考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練第一部分知識(shí)方法篇專題9平面直角坐標(biāo)與不等式第36練不等式選講.doc
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