2019-2020年高考數(shù)學專題復習導練測 第九章 第8講 曲線與方程 理 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學專題復習導練測 第九章 第8講 曲線與方程 理 新人教A版 一、選擇題 1.已知兩定點A(1,1),B(-1,-1),動點P滿足=,則點P的軌跡是( ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 解析 設點P(x,y),則=(1-x,1-y),=(-1-x,-1-y), 所以=(1-x)(-1-x)+(1-y)(-1-y)=x2+y2-2. 由已知x2+y2-2=,即+=1,所以點P的軌跡為橢圓. 答案 B 2.已知點F,直線l:x=-,點B是l上的動點.若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M,則點M的軌跡是( ). A.雙曲線 B.橢圓 C.圓 D.拋物線 解析 由已知:|MF|=|MB|.由拋物線定義知,點M的軌跡是以F為焦點,l為準線的拋物線,故選D. 答案 D 3.設圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,A(1,0)是圓內(nèi)一定點,Q為圓周上任一點.線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M,則M的軌跡方程為 ( ). A.-=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 解析 M為AQ垂直平分線上一點,則|AM|=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的軌跡為橢圓,∴a=,c=1,則b2=a2-c2=, ∴橢圓的標準方程為+=1. 答案 D 4.已知點P是直線2x-y+3=0上的一個動點,定點M(-1,2),Q是線段PM延長線上的一點,且|PM|=|MQ|,則Q點的軌跡方程是( ). A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 解析 由題意知,M為PQ中點,設Q(x,y),則P為(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0. 答案 D 5.已知二面角α-l-β的平面角為θ,點P在二面角內(nèi),PA⊥α,PB⊥β,A,B為垂足,且PA=4,PB=5,設A,B到棱l的距離分別為x,y,當θ變化時,點(x,y)的軌跡方程是( ) A.x2-y2=9(x≥0) B.x2-y2=9(x≥0,y≥0) C.y2-x2=9(y≥0) D.y2-x2=9(x≥0,y≥0) 解析 實際上就是求x,y所滿足的一個等式,設平面PAB與二面角的棱的交點是C,則AC=x,BC=y(tǒng),在兩個直角三角形Rt△PAC,Rt△PBC中其斜邊相等,根據(jù)勾股定理即可得到x,y所滿足的關系式.如圖,x2+42=y(tǒng)2+52, 即x2-y2=9(x≥0,y≥0). 答案 B 6.在平行四邊形ABCD中,∠BAD=60,AD=2AB,若P是平面ABCD內(nèi)一點,且滿足:x+y+=0(x,y∈R).則當點P在以A為圓心,||為半徑的圓上時,實數(shù)x,y應滿足關系式為 ( ). A.4x2+y2+2xy=1 B.4x2+y2-2xy=1 C.x2+4y2-2xy=1 D.x2+4y2+2xy=1 解析 如圖,以A為原點建立平面直角坐標系,設AD=2.據(jù)題意,得AB=1,∠ABD=90,BD=.∴B、D的坐標分別為(1,0)、(1,),∴=(1,0),=(1,).設點P的坐標為(m,n),即=(m,n),則由x+y+=0,得:=x+y,∴ 據(jù)題意,m2+n2=1,∴x2+4y2+2xy=1. 答案 D 二、填空題 7.已知圓的方程為x2+y2=4,若拋物線過點A(-1,0)、B(1,0)且以圓的切線為準線,則拋物線的焦點軌跡方程是____________. 解析 設拋物線焦點為F,過A、B、O作準線的垂線AA1、BB1、OO1,則|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由拋物線定義得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,∴|FA|+|FB|=4,故F點的軌跡是以A、B為焦點,長軸長為4的橢圓(去掉長軸兩端點). 答案 +=1(y≠0) 8. 如圖,點F(a,0)(a>0),點P在y軸上運動,M在x軸上運動,N為動點,且=0,+=0,則點N的軌跡方程為________. 解析 由題意,知PM⊥PF且P為線段MN的中點,連接FN,延長FP至點Q使P恰為QF之中點;連接QM,QN,則四邊形FNQM為菱形,且點Q恒在直線l:x=-a上,故點N的軌跡是以點F為焦點,直線l為準線的拋物線,其方程為:y2=4ax. 答案 y2=4ax 9.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點M在AB上,且AM=AB,點P在平面ABCD上,且動點P到直線A1D1的距離的平方與P到點M的距離的平方差為1,在平面直角坐標系xAy中,動點P的軌跡方程是________. 解析 過P作PQ⊥AD于Q,再過Q作QH⊥A1D1于H,連接PH、PM,可證PH⊥A1D1,設P(x,y),由|PH|2-|PM|2=1,得x2+1-=1,化簡得y2=x-. 答案 y2=x- 10. 曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(-1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點的軌跡,給出下列三個結論: ①曲線C過坐標原點; ②曲線C關于坐標原點對稱; ③若點P在曲線C上,則△F1PF2的面積不大于a2. 其中,所有正確結論的序號是________. 解析 ①曲線C經(jīng)過原點,這點不難驗證是錯誤的,如果經(jīng)過原點,那么a=1,與條件不符;②曲線C關于原點對稱,這點顯然正確,如果在某點處|PF1||PF2|=a2,關于原點的對稱點處也一定符合|PF1||PF2|=a2;③三角形的面積S△F1F2P2≤,很顯然 S△F1F2P=|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|=.所以②③正確. 答案 ②③ 三、解答題 11.如圖,已知F(1,0),直線l:x=-1,P為平面上的動點,過點P作l的垂線,垂足為點Q,且 =.求動點P的軌跡C的方程. 解 法一:設點P(x,y),則Q(-1,y), 由=,得(x+1,0)(2,-y)=(x-1, y)(-2,y),化簡得C:y2=4x. 法二:由=, 得(+)=0,∴(-)(+)=0, ∴2-2=0.∴||=||. ∴點P的軌跡C是拋物線,由題意,軌跡C的方程為y2=4x. 12.設橢圓方程為x2+=1,過點M(0,1)的直線l交橢圓于A,B兩點,O為坐標原點,點P滿足=(+),點N的坐標為,當直線l繞點M旋轉(zhuǎn)時,求: (1)動點P的軌跡方程; (2)||的最大值,最小值. 解 (1)直線l過定點M(0,1),當其斜率存在時設為k,則l的方程為y=kx+1. 設A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知,A、B的坐標滿足方程組消去y得(4+k2)x2+2kx-3=0. 則Δ=4k2+12(4+k2)>0. ∴x1+x2=-,x1x2=. P(x,y)是AB的中點, 則由 消去k得4x2+y2-y=0. 當斜率k不存在時,AB的中點是坐標原點,也滿足這個方程,故P點的軌跡方程為4x2+y2-y=0. (2)由(1)知4x2+2=,∴-≤x≤ 而|NP|2=2+2=2+ =-32+, ∴當x=-時,||取得最大值, 當x=時,||取得最小值. 13.在平面直角坐標系xOy中,橢圓E:+=1(a>0,b>0)經(jīng)過點A,且點F(0,-1)為其一個焦點. (1)求橢圓E的方程; (2)設隨圓E與y軸的兩個交點為A1,A2,不在y軸上的動點P在直線y=b2上運動,直線PA1,PA2分別與橢圓E交于點M,N,證明:直線MN通過一個定點,且△FMN的周長為定值. 解 (1)根據(jù)題意可得可解得 ∴橢圓E的方程為+=1. (2)由(1)知A1(0,2),A2(0,-2),P(x0,4)為直線y=4上一點(x0≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),直線PA1方程為y=x+2,直線PA2方程為y=x-2,點M(x1,y1),A1(0,2)的坐標滿足方程組可得 點N(x2,y2),A2(0,-2)的坐標滿足方程組可得由于橢圓關于y軸對稱,當動點P在直線y=4上運動時,直線MN通過的定點必在y軸上,當x0=1時,直線MN的方程為y+1=,令x=0,得y=1可猜測定點的坐標為(0,1),并記這個定點為B.則直線BM的斜率kBM===,直線BN的斜率kBN===,∴kBM=kBN,即M,B,N三點共線,故直線MN通過一個定點B(0,1), 又∵F(0,-1),B(0,1)是橢圓E的焦點, ∴△FMN周長為|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8,為定值. 14.已知向量a=(x,y),b=(1,0),且(a+b)⊥(a-b). (1)求點Q(x,y)的軌跡C的方程; (2)設曲線C與直線y=kx+m相交于不同的兩點M、N,又點A(0,-1),當|AM|=|AN|時,求實數(shù)m的取值范圍. 解 (1)由題意得a+b=(x+,y),a-b=(x-,y),∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)(a-b)=0, 即(x+)(x-)+yy=0. 化簡得+y2=1,∴Q點的軌跡C的方程為+y2=1. (2)由得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0, 由于直線與橢圓有兩個不同的交點, ∴Δ>0,即m2<3k2+1. ① (i)當k≠0時,設弦MN的中點為P(xP,yP),xM、xN分別為點M、N的橫坐標,則xP==-, 從而yP=kxP+m=,kAP==-, 又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN. 則-=-,即2m=3k2+1, ② 將②代入①得2m>m2,解得0- 配套講稿:
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