2019-2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 三角函數(shù)教學(xué)案.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 三角函數(shù)教學(xué)案 第1課時(shí) 三角函數(shù)與三角變換 考綱指要: 主要考察三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及三角恒等式的證明等三角變換的基本問(wèn)題。 考點(diǎn)掃描: 1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì); 2.函數(shù)y=sinx的圖象變換出y=sin(ωx+)的圖象; 3.兩角和與差的三角函數(shù),二倍角公式。 考題先知: 例1.不查表求sin220+cos280+cos20cos80的值 分析:解法一利用三角公式進(jìn)行等價(jià)變形;解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,使解法更簡(jiǎn)單更精妙,需認(rèn)真體會(huì) 解法一 sin220+cos280+sin220cos80 = (1-cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80 =1-cos40+cos160+sin20cos(60+20) =1-cos40+ (cos120cos40-sin120sin40) +sin20(cos60cos20-sin60sin20) =1-cos40-cos40-sin40+sin40-sin220 =1-cos40-(1-cos40)= 解法二 設(shè)x=sin220+cos280+sin20cos80 y=cos220+sin280-cos20sin80,則 x+y=1+1-sin60=, x-y=-cos40+cos160+sin100 =-2sin100sin60+sin100=0 ∴x=y=, 即x=sin220+cos280+sin20cos80= 點(diǎn)評(píng):題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法,對(duì)計(jì)算能力的要求較高 例2.某市環(huán)保部門(mén)對(duì)該市每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后,得出一天中環(huán)境污染指數(shù)與時(shí)間x(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系為,其中a為與氣象有關(guān)的參數(shù),且。若函數(shù)的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù),并記作。(1)求函數(shù)的表達(dá)式; (2)市政府規(guī)定,每天的綜合污染指數(shù)不得超過(guò)2,試問(wèn)該市目前的綜合污染指數(shù)是否超標(biāo)? 解:(1)設(shè),則原函數(shù)可化為,當(dāng)時(shí), ,,由于的圖象為線段或折線,故的最大值在端點(diǎn)或折點(diǎn)處取得,又當(dāng)?shù)膱D象為折線時(shí),在折點(diǎn)處的t值為,而 ,所以的最大值為 =,而, ,由方程組得, 從而 (2)由(1)知:在上是增函數(shù),故,因此該市目前的綜合污染指數(shù)沒(méi)有超標(biāo)。 復(fù)習(xí)智略: 例3.設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值為f(a),試確定滿足f(a)=的a值,并對(duì)此時(shí)的a值求y的最大值 分析:利用等價(jià)轉(zhuǎn)化把問(wèn)題化歸為二次函數(shù)問(wèn)題,還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)講座等 解 由y=2(cosx-)2-及cosx∈[-1,1]得 f(a)= ∵f(a)=, ∴1-4a=a=[2,+∞ 或?。?a-1=,解得a=-1, 此時(shí),y=2(cosx+)2+, 當(dāng)cosx=1時(shí),即x=2kπ,k∈Z,ymax=5 點(diǎn)評(píng):本題主要考查最值問(wèn)題、三角函數(shù)的有界性、計(jì)算能力以及較強(qiáng)的邏輯思維能力 學(xué)生不易考查三角函數(shù)的有界性,對(duì)區(qū)間的分類(lèi)易出錯(cuò) 檢測(cè)評(píng)估: 1 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的兩根均tanα、tanβ,且α,β∈ (-),則tan的值是( ) A B -2 C D 或-2 2.給出函數(shù)封閉的定義:若對(duì)于定義域D內(nèi)的任一個(gè)自變量x0,都有函數(shù)值f(x0),則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在D上封閉。若定義域D1=(0,1),則下列函數(shù):f1(x)=2x-1,f2(x)=,f3(x)=2x-1,f4(x)=cosx.;其中在D1上封閉的有( )個(gè)。 A.1 B.2 C.3 D.4 3 函數(shù)y=-xcosx的部分圖像是( ) 4 函數(shù)f(x)=cos2x+sin(+x)是( ) A 非奇非偶函數(shù) B 僅有最小值的奇函數(shù) C 僅有最大值的偶函數(shù) D 既有最大值又有最小值的偶函數(shù) 5、函數(shù)的最大值為M,最小值為N,則( ) A、; B、; C、; D、 6.函數(shù)y=sin(2x+)的圖象通過(guò)如下變換: 得到y(tǒng)=sinx的圖象。 7 函數(shù)f(x)=()|c(diǎn)osx|在[-π,π]上的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)________ 8 設(shè)ω>0,若函數(shù)f(x)=2sinωx在[-,]上單調(diào)遞增,則ω的取值范圍是_________ 9.已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)-sin2x+sinxcosx,則函數(shù)f(x)的最小正周期是 。 當(dāng)x = 時(shí),f(x)取得最小值 ; 10.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值_________ 11.已知為銳角,且,函數(shù),數(shù)列{an}的首項(xiàng). ⑴ 求函數(shù)的表達(dá)式; ⑵ 求證:; ⑶ 求證: 12.已知向量,,已知函數(shù) (1)求函數(shù)的最值與最小正周期;(2)求使不等式 成立的 的取值范圍。 點(diǎn)撥與全解: 1 解析 ∵a>1,tanα+tanβ=-4a<0 tanα+tanβ=3a+1>0, 又α、β∈(-,)∴α、β∈(-,θ),則∈(-,0), 又tan(α+β)=, 整理得2tan2=0 解得tan=-2 答案 B 2.解:(1)∵f1()=0(0,1),∴f(x)在D1上不封閉; ∵f2(x)=-(x+)2+在(0,1)上是減函數(shù),∴0<f2(1)<f2(x)<f2(0)=1, ∴f2(x)(0,1)f2(x)在D1上封閉; ∵f3(x)=2x-1在(0,1)上是增函數(shù),∴0=f3(0)<f3(x)<f3(1)=1, ∴f3(x)(0,1)f3(x)在D1上封閉; ∵f4(x)=cosx在(0,1)上是減函數(shù),∴cos1=f4(1)<f4(x)<f4(0)=1, ∴f4(x)(cos1,1)(0,1)f4(x)在D1上封閉; 綜上所述,選C。 3 解 函數(shù)y=-xcosx是奇函數(shù),圖像不可能是A和C,又當(dāng)x∈(0, )時(shí),y<0 答案 D 4 解 f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x-1+cosx=2[(cosx+]-1 答案 D 5.解:,其中是奇函數(shù),所以M+N=2,故選D。 6.y=sin(2x+) 7 解 在[-π,π]上,y=|c(diǎn)osx|的單調(diào)遞增區(qū)間是[-,0]及[,π] 而f(x)依|c(diǎn)osx|取值的遞增而遞減,故[-,0]及[,π]為f(x)的遞減區(qū)間 8 解 由-≤ωx≤,得f(x)的遞增區(qū)間為[-,],由題設(shè)得 9.解:f(x)=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+),∴f(x)的最小正周期T=π 且當(dāng)2x+=2kπ-,即x=kπ- (k∈Z)時(shí),f(x)取得最小值-2 10.解 ∵<β<α<,∴0<α-β< π<α+β<, ∴ ∴sin2α=sin[(α-β)+(α+β)] =sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) 11.解:⑴ 又∵為銳角 ∴ ∴ ⑵ ∵ ∴都大于0 ∴ ∴ ⑶ ∴ ∴ ∵, , 又∵ ∴ ∴ ∴ 12、解: (1)∴的最大值是,的最小值是, 的最小正周期是 (2) 由解知 又∵ ∴的取值范圍是 第2課時(shí) 解三角形 考綱指要: (1)通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題; (2)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。 考點(diǎn)掃描: 1.直角三角形中各元素間的關(guān)系:(1)三邊之間的關(guān)系;(2)銳角之間的關(guān)系;(3)邊角之間的關(guān)系。 2.斜三角形中各元素間的關(guān)系:(1)三角形內(nèi)角和;(2)正弦定理;(3)余弦定理; 3.三角形的面積公式。 考題先知: 例1。在海島A上有一座海拔1千米的山,山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P,上午11時(shí),測(cè)得一輪船在島北30東,俯角為30的B處,到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北60西、俯角為60的C處。 (1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米; (2)又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后,船到達(dá)海島的正西方向的D處,問(wèn)此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)? 分析: 主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運(yùn)用正弦定理來(lái)解決問(wèn)題 解 (1)在Rt△PAB中,∠APB=60 PA=1,∴AB= (千米) 在Rt△PAC中,∠APC=30,∴AC= (千米) 在△ACB中,∠CAB=30+60=90 (2)∠DAC=90-60=30 sinDCA=sin(180-∠ACB)=sinACB= sinCDA=sin(∠ACB-30)=sinACBcos30-cosACBsin30 在△ACD中,據(jù)正弦定理得, ∴ 答 此時(shí)船距島A為千米 點(diǎn)評(píng): 主要利用三角形的三角關(guān)系,關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角,合理利用邊角關(guān)系 例2已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B,設(shè)x=cos,f(x)=cosB() (1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域; (2)判斷其單調(diào)性,并加以證明; (3)求這個(gè)函數(shù)的值域 分析: 本題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)公式求出f(x)的解析式,公式主要是和差化積和積化和差公式 在求定義域時(shí)要注意||的范圍 解 (1)∵A+C=2B,∴B=60,A+C=120 ∵0≤||<60,∴x=cos∈(,1 又4x2-3≠0,∴x≠,∴定義域?yàn)?,)∪(,1] (2)設(shè)x1<x2, ∴f(x2)-f(x1)==, 若x1,x2∈(),則4x12-3<0,4x22-3<0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0 即f(x2)<f(x1),若x1,x2∈(,1],則4x12-3>0 4x22-3>0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0 即f(x2)<f(x1),∴f(x)在(,)和(,1上都是減函數(shù) (3)由(2)知,f(x)<f()=-或f(x)≥f(1)=2 故f(x)的值域?yàn)?-∞,-)∪[2,+∞ 點(diǎn)評(píng):學(xué)生對(duì)三角函數(shù)中有關(guān)公式的靈活運(yùn)用是難點(diǎn),并且不易想到運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問(wèn)題 復(fù)習(xí)智略: 例3.已知△ABC中滿足()2=++,a、b、c分別是△ABC的三邊. (Ⅰ)試判斷△ABC的形狀并求sinA+sinB的取值范圍; (Ⅱ)若不等式a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)≥kabc,對(duì)任意的a、b、c都成立,求k的取值范圍. 7解:(Ⅰ)∵()2=++, ()2=(+)+ 即()2=+, 即=0,△ABC 是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形, ∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin(A+),A∈(0,) , ∴sinA+sinB的取值范圍為. (Ⅱ)在直角△ABC中, a=csinA,b=ccosA. 若a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)≥kabc,對(duì)任意的a、b、c都成立, 則有≥k,對(duì)任意的a、b、c都成立, ∵ =[c2sin2A(ccosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)] =[ sin2AcosA+cos2A sinA+1+cosA+sinA] =cosA+sinA+ 令t=sinA+cosA,t∈, 設(shè)f(t)==t+=t+=t-1++1. f(t)=t-1++1,當(dāng)t-1∈ 上時(shí) f(t)為單調(diào)遞減函數(shù), ∴當(dāng)t=時(shí)取得最小值,最小值為2+3,即k≤2+3, 所以k的取值范圍為(-∞,2+3). 點(diǎn)評(píng):本題是平面向量與三角函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題,運(yùn)用平面向量的運(yùn)算的意義轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的邊角關(guān)系,進(jìn)而運(yùn)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求值域.第Ⅱ小題將不等式恒成立的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值,其中運(yùn)用了換元法. 檢測(cè)評(píng)估: 1 給出四個(gè)命題 (1)若sin2A=sin2B,則△ABC為等腰三角形;(2)若sinA=cosB,則△ABC為直角三角形;(3)若sin2A+sin2B+sin2C<2,則△ABC為鈍角三角形;(4)若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,則△ABC為正三角形 以上正確命題的個(gè)數(shù)是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2.△ABC中,則△ABC的周長(zhǎng)為( ) A. B. C. D. 3.如果的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值,則( ) A.和都是銳角三角形 B.和都是鈍角三角形 C.是鈍角三角形,是銳角三角形 D.是銳角三角形,是鈍角三角形 4.在中,則滿足條件的三角形有( ) (A)一解 (B)兩解 (C)無(wú)解 (D)不能確定 5.已知兩個(gè)向量集合M={︱=(cos,),∈R},N={︱=(cos,+sin)∈R},若M∩N≠,則的取值范圍是( ) A.(-3,5) B.[,5] C.[2,5] D.[5,+∞] 解:由條件得:,故選B。 6 在△ABC中,已知A、B、C成等差數(shù)列,則的值為_(kāi)_________ 7 在△ABC中,A為最小角,C為最大角,已知cos(2A+C)=-,sinB=,則cos2(B+C)=__________ 8. 如右圖,在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈,桌子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比,角和這一點(diǎn)到光源的距離 r的平方成反比,即I=k,其中 k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù),那么電燈懸掛的高度h= ,才能使桌子邊緣處最亮. 9 在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且a、b、3c成等比數(shù)列,又∠A-∠C=,則∠A、∠B、∠C的值分別為 10..給出問(wèn)題:已知中,滿足,試判定的形狀.某學(xué)生 的解答如下:由條件可得,去分母整理可得 ,.故是直角三角形.該學(xué)生的解答是 否正確?若正確,請(qǐng)將他的解題主要依據(jù)填在下面橫線上;若不正確,將正確的結(jié)果填在 下面橫線上._______________________________________________________________ 11.在一很大的湖岸邊(可視湖岸為直線)停放著一只小船,由于纜繩突然斷開(kāi),小船被風(fēng) 刮跑,其方向與湖岸成15角,速度為2.5km/h,同時(shí)岸邊有一人,從同一地點(diǎn)開(kāi)始追趕小 船,已知他在岸上跑的速度為4km/h,在水中游的速度為2km/h.問(wèn)此人能否追上小船.若小 船速度改變,則小船能被人追上的最大速度是多少? 12.已知△ABC的面積S滿足 , 且 , 與的夾角為. (I) 求的取值范圍; (II)求函數(shù)的最小值. 點(diǎn)撥與全解: 1 解析 其中(3)(4)正確 答案 B 2.解:在中,由正弦定理得:化簡(jiǎn)得AC= ,化簡(jiǎn)得AB=, 所以三角形的周長(zhǎng)為:3+AC+AB=3++ =3+。故選D。 3.解:的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0,則是銳角三角形, 若是銳角三角形,由,得, 那么,,所以是鈍角三角形。故選D。 4.由得,故選C。 6 解析 ∵A+B+C=π,A+C=2B, 答案 7 解析 ∵A為最小角∴2A+C=A+A+C<A+B+C=180 ∵cos(2A+C)=-,∴sin(2A+C)= ∵C為最大角,∴B為銳角,又sinB= 故cosB= 即sin(A+C)=,cos(A+C)=- ∵cos(B+C)=-cosA=-cos[(2A+C)-(A+C)]=-, ∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)-1= 答案 8 解 R=rcosθ,由此得 , 9. 解 由a、b、3c成等比數(shù)列,得 b2=3ac ∴sin2B=3sinCsinA=3(-)[cos(A+C)-cos(A-C)] ∵B=π-(A+C) ∴sin2(A+C)=-[cos(A+C)-cos] 即1-cos2(A+C)=-cos(A+C),解得cos(A+C)=- ∵0<A+C<π,∴A+C=π 又A-C=∴A=π,B=,C= 10.不正確,失掉這一情形,故是等腰三角形或直角三角形。 O A B vt 2(1-k)t 4kt 15 11. 設(shè)船速為v,顯然時(shí)人是不可能追上小船,當(dāng)km/h時(shí),人不必在岸上跑,而只要立即從同一地點(diǎn)直接下水就可以追上小船,因此只要考慮的情況,由于人在水中游的速度小于船的速度,人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕,當(dāng)人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個(gè)封閉的三角形時(shí),人才能追上小船.設(shè)船速為v,人追上船所用時(shí)間為t,人在岸上跑的時(shí)間為,則人在水中游的時(shí)間為,人要追上小船,則人船運(yùn)動(dòng)的路線滿足如圖所示的三角形. 由余弦是理得 , 即, 整理得, 要使上式在(0,1)范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解, 則有且, 解得, 故當(dāng)船速在內(nèi)時(shí),人船運(yùn)動(dòng)路線可構(gòu)成三角形,即人能追上小船,船能使人追上的最大速度為,由此可見(jiàn)當(dāng)船速為2.5km/h時(shí)人可以追上小船. 12.解:(1)由題意知,, ………………① ,…………② 由②①, 得, 即 由得, 即. 又為與的夾角, ∴, ∴. (2) ∵, ∴. ∴, 即時(shí), 的最小值為3.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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