2019-2020年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.4向量的應(yīng)用2.4.2向量在物理中的應(yīng)用示范教案新人教B版必修4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.4向量的應(yīng)用2.4.2向量在物理中的應(yīng)用示范教案新人教B版必修4 教學(xué)分析　　　　　 向量與物理學(xué)天然相聯(lián)．向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及幾何中的有向線段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它與物理學(xué)中的力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)等有著天然的聯(lián)系，將向量這一工具應(yīng)用到物理中，可以使物理題解答更簡(jiǎn)捷、更清晰．并且向量知識(shí)不僅是解決物理許多問(wèn)題的有利工具，而且用數(shù)學(xué)的思想方法去審視相關(guān)物理現(xiàn)象，研究相關(guān)物理問(wèn)題，可使我們對(duì)物理問(wèn)題的認(rèn)識(shí)更深刻．物理中有許多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，這些物理現(xiàn)象都可以用向量來(lái)研究． 用向量研究物理問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)．(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量，那么它們的合成與分解就是向量的加、減法，運(yùn)動(dòng)的疊加亦用到向量的合成；(2)動(dòng)量是數(shù)乘向量；(3)功即是力與所產(chǎn)生位移的數(shù)量積． 用向量知識(shí)研究物理問(wèn)題的基本思路和方法．①通過(guò)抽象、概括，把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問(wèn)題；②認(rèn)真分析物理現(xiàn)象，深刻把握物理量之間的相互關(guān)系；③利用向量知識(shí)解決這個(gè)向量問(wèn)題，并獲得這個(gè)向量的解；④利用這個(gè)結(jié)果，對(duì)原物理現(xiàn)象作出合理解釋，即用向量知識(shí)圓滿解決物理問(wèn)題．教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)原型的觀察、分析和比較，得出抽象的數(shù)學(xué)模型．例如，物理中力的合成與分解是向量的加法運(yùn)算與向量分解的原型．同時(shí)，注重向量模型的運(yùn)用，引導(dǎo)解決現(xiàn)實(shí)中的一些物理和幾何問(wèn)題．這樣可以充分發(fā)揮現(xiàn)實(shí)原型對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念的支撐作用． 三維目標(biāo)　　　　　 1．通過(guò)力的合成與分解的物理模型，速度的合成與分解的物理模型，掌握利用向量方法研究物理中相關(guān)問(wèn)題的步驟，明了向量在物理中應(yīng)用的基本題型，進(jìn)一步加深對(duì)所學(xué)向量的概念和向量運(yùn)算的認(rèn)識(shí)． 2．通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題的探究解決，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力．體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的重要作用．養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)，善于發(fā)現(xiàn)物理及其他科目中的數(shù)學(xué)及思考領(lǐng)悟各學(xué)科之間的內(nèi)在聯(lián)系的良好習(xí)慣． 重點(diǎn)難點(diǎn)　　　　　 教學(xué)重點(diǎn)： 1．運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)對(duì)物理中力的作用、速度的分解進(jìn)行相關(guān)分析和計(jì)算． 2．歸納利用向量方法解決物理問(wèn)題的基本方法． 教學(xué)難點(diǎn)：將物理中有關(guān)矢量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中向量的問(wèn)題． 課時(shí)安排　　　　　 1課時(shí) 導(dǎo)入新課　　　　　 思路1.(情景引入)章頭圖中，道路、路標(biāo)體現(xiàn)了向量與位移、速度、力等物理量之間的密切聯(lián)系．章頭引言說(shuō)明了向量的研究對(duì)象及研究方法．那么向量究竟是怎樣應(yīng)用于物理的呢？它就像章頭圖中的高速公路一樣，是一條解決物理問(wèn)題的高速公路．在學(xué)生渴望了解的企盼中，教師展示物理模型，由此展開(kāi)新課． 思路2.(問(wèn)題引入)你能舉出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，學(xué)生很容易就舉出來(lái)．進(jìn)一步，你能舉出應(yīng)用向量來(lái)分析和解決物理問(wèn)題的例子嗎？你是怎樣解決的？教師由此引導(dǎo)：向量是有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具，對(duì)向量在物理中的研究，有助于進(jìn)一步加深對(duì)這方面問(wèn)題的認(rèn)識(shí)．我們可以通過(guò)對(duì)下面若干問(wèn)題的研究，體會(huì)向量在物理中的重要作用．由此自然地引入新課． 推進(jìn)新課　　　　　 (1)力向量與前面所學(xué)的自由向量一樣嗎？ (2)作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力的合力怎樣表示？ 活動(dòng)： 力向量與前面學(xué)過(guò)的自由向量有些不同，它不僅包括大小、方向兩個(gè)要素，而且還有作用點(diǎn)．大小和方向相同的兩個(gè)力，如果作用點(diǎn)不同，那么它們是不相等的．但力是具有大小和方向的量，在不考慮作用點(diǎn)的情況下，可利用向量運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．例如，求作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力的合力，可用向量求和的平行四邊形法則(圖1)． 圖1 同一平面上，作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力F1，F(xiàn)2或三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3處于平衡狀態(tài)(圖2)，可分別用等式來(lái)表示 圖2 F1＋F2＝0，F(xiàn)1＋F2＋F3＝0. 討論結(jié)果：(略) 例 1在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力．你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？ 活動(dòng)：這個(gè)日常生活問(wèn)題可以抽象為如圖3所示的數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生由向量的平行四邊形法則，力的平衡及解直角三角形等知識(shí)來(lái)思考探究這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題．這樣物理中力的現(xiàn)象就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的向量問(wèn)題．只要分析清楚F、G、θ三者之間的關(guān)系(其中F為F1、F2的合力)，就得到了問(wèn)題的數(shù)學(xué)解釋． 圖3 在教學(xué)中要盡可能地采用多媒體，在信息技術(shù)的幫助下讓學(xué)生來(lái)動(dòng)態(tài)地觀察|F|、|G|、θ之間在變化過(guò)程中所產(chǎn)生的相互影響．由學(xué)生獨(dú)立完成本例后，與學(xué)生共同探究歸納出向量在物理中的應(yīng)用的解題步驟，也可以由學(xué)生自己完成，還可以用信息技術(shù)來(lái)驗(yàn)證． 用向量解決物理問(wèn)題的一般步驟是：①問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；②模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；③參數(shù)的獲得，即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值；④問(wèn)題的答案，即回到問(wèn)題的初始狀態(tài)，解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象． 解：不妨設(shè)|F1|＝|F2|，由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識(shí)，可以知道 cos＝|F1|＝. 通過(guò)上面的式子，我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)θ由0到180逐漸變大時(shí)，由0到90逐漸變大，cos的值由大逐漸變小，因此|F1|由小逐漸變大，即F1，F(xiàn)2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力． 點(diǎn)評(píng)：本例是日常生活中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，學(xué)生也會(huì)有兩人共提一個(gè)旅行包以及在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)．本例的關(guān)鍵是作出簡(jiǎn)單的受力分析圖，啟發(fā)學(xué)生將物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化成模型，從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行解釋，這就是本例活動(dòng)中所完成的事情．教學(xué)中要充分利用好這個(gè)模型，為解決其他物理問(wèn)題打下基礎(chǔ)．得到模型后就可以發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)很簡(jiǎn)單的向量問(wèn)題，這也是向量工具優(yōu)越性的具體體現(xiàn)． 例 2河水從東向西流，流速為2 m/s，一輪船以2 m/s垂直于水流方向向北橫渡，求輪船實(shí)際航行的方向和航速(精確到0.1 m/s)(圖4)． 圖4 解：設(shè)a＝“向西方向，2 m/s”，b＝“向北方向，2 m/s”，則|a＋b|＝＝2≈2.8(m/s)． 由|a|＝|b|，可得a＋b的方向?yàn)槲鞅狈较颍? 答：輪船實(shí)際航行速度為“向西北方向，2.8 m/s”． 活動(dòng)：本例通過(guò)速度向量，說(shuō)明向量的應(yīng)用，其實(shí)向量在電學(xué)、力學(xué)、工程和機(jī)械等各學(xué)科中都有著十分廣泛的應(yīng)用. 變式訓(xùn)練 　某人騎摩托車以20 km/h的速度向西行駛，感到風(fēng)從正南方向吹來(lái)，而當(dāng)其速度變?yōu)?0 km/h時(shí)，他又感到風(fēng)從西南方向吹來(lái)，求實(shí)際的風(fēng)向和風(fēng)速． 解：如圖5所示．設(shè)v1表示20 km/h的速度，在無(wú)風(fēng)時(shí)，此人感到的風(fēng)速為－v1，實(shí)際的風(fēng)速為v，那么此人所感到的風(fēng)速為v＋(－v1)＝v－v1. 圖5 令＝－v1，＝－2v1，實(shí)際風(fēng)速為v. ∵＋＝， ∴＝v－v1，這就是騎車人感受到的從正南方向吹來(lái)的風(fēng)的速度． ∵＋＝，∴＝v－2v1， 這就是當(dāng)車的速度為40 km/h時(shí)，騎車人感受到的風(fēng)速． 由題意得∠DCA＝45，DB⊥AB，AB＝BC， ∴△DCA為等腰三角形，DA＝DC，∠DAC＝∠DCA＝45. ∴DA＝DC＝BC＝20.∴|v|＝20 km/h. 答：實(shí)際的風(fēng)速v的大小是20 km/h，方向是東南方向. 例 3如圖6所示，利用這個(gè)裝置(沖擊擺)可測(cè)定子彈的速度，設(shè)有一砂箱懸掛在兩線下端，子彈擊中砂箱后，陷入箱內(nèi)，使砂箱擺至某一高度h.設(shè)子彈和砂箱的質(zhì)量分別為m和M，求子彈的速度v的大小． 圖6 解：設(shè)v0為子彈和砂箱相對(duì)靜止后開(kāi)始一起運(yùn)動(dòng)的速度，由于水平方向上動(dòng)量守恒，所以m|v|＝(M＋m)|v0|.① 由于機(jī)械能守恒，所以(M＋m)v＝(M＋m)gh.② 聯(lián)立①②解得|v|＝. 又因?yàn)閙相對(duì)于M很小，所以|v|≈， 即子彈的速度大小約為. 1．與學(xué)生共同歸納總結(jié)利用向量解決物理問(wèn)題的步驟． ①問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題； ②模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型； ③參數(shù)的獲得，即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值； ④問(wèn)題的答案，即回到問(wèn)題的初始狀態(tài)，解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象． 2．與學(xué)生共同歸納總結(jié)向量在物理中應(yīng)用的基本題型． ①力、速度、加速度、位移都是向量； ②力、速度、加速度、位移的合成與分解對(duì)應(yīng)相應(yīng)向量的加減； ③)動(dòng)量mv是數(shù)乘向量，沖量ΔtF也是數(shù)乘向量； ④功是力F與位移s的數(shù)量積，即W＝Fs. 課本本節(jié)練習(xí)B組　1、2、3；習(xí)題2—4A組　4. 1．本教案設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是：由于本節(jié)重在解決兩個(gè)問(wèn)題，一是如何把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，也就是將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型；二是如何用建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型解釋和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象．因此本教案設(shè)計(jì)的重點(diǎn)也就放在怎樣讓學(xué)生探究解決這兩個(gè)問(wèn)題上．而把這個(gè)探究的重點(diǎn)又放在這兩個(gè)中的第一個(gè)上，也就是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析物理現(xiàn)象、準(zhǔn)確把握物理量之間的相互關(guān)系．通過(guò)抽象、概括，把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問(wèn)題，然后利用向量知識(shí)解決這個(gè)向量問(wèn)題． 2．經(jīng)歷是最好的老師．充分讓學(xué)生經(jīng)歷分析、探究并解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟思想方法的最好載體．學(xué)生這種經(jīng)歷的實(shí)踐活動(dòng)越多，解決實(shí)際問(wèn)題的方法就越恰當(dāng)而簡(jiǎn)捷．教科書(shū)中對(duì)本節(jié)的兩個(gè)例題的處理方法，都不是先給出解法，而是先進(jìn)行分析，探索出解題思路，再給出解法，就足以說(shuō)明這一點(diǎn)． 3．突出數(shù)形結(jié)合的思想．教科書(shū)例題都是先畫(huà)圖進(jìn)行分析的，本教案的設(shè)計(jì)中也突出了這一點(diǎn)．讓學(xué)生在活動(dòng)的時(shí)候就先想到畫(huà)圖，并在這個(gè)活動(dòng)中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用，體會(huì)向量這個(gè)工具的優(yōu)越性． 一、向量與重心問(wèn)題 假如有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)M1，M2，它們的質(zhì)量分別是m1，m2，由物理學(xué)知識(shí)，這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心M在線段M1M2上，并且分此線段為與質(zhì)量成反比例的兩部分，即 ＝，或m1＝m2. 現(xiàn)設(shè)點(diǎn)M1、M2、M，對(duì)應(yīng)的向量分別是r1、r2、r，則上式可以寫成 m1(r－r1)＝m2(r2－r)．所以r＝，點(diǎn)M處的質(zhì)量為m1＋m2. 現(xiàn)求三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心問(wèn)題． 三個(gè)質(zhì)點(diǎn)M1、M2、M3的質(zhì)量分別是m1、m2、m3，所對(duì)應(yīng)的向量分別是r1、r2、r3， 我們可設(shè)M1，M2的重心在點(diǎn)D處，該處對(duì)應(yīng)的向量為rD＝，該點(diǎn)的質(zhì)量為m1＋m2，然后求點(diǎn)D與點(diǎn)M3的重心M所對(duì)應(yīng)的向量r，易得r＝. 二、備用習(xí)題 1．作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力F1和F2，|F1|＝5，|F2|＝3，夾角為60，則F1＋F2的大小為_(kāi)_____． 2．一條漁船距對(duì)岸為4 km，現(xiàn)正以2 km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向劃去，到達(dá)對(duì)岸時(shí)，船的實(shí)際航程為8 km，求河水的流速. 3．在半徑為15 cm的均勻鐵板上，挖出一個(gè)圓洞，已知圓洞的圓心和鐵板中心相距8 cm，圓洞的半徑是5 cm，求挖去圓洞后所剩下鐵板的重心． 4．如圖7所示，重力為G的均勻小球放在傾角為α的斜面上，球被與斜面夾角為θ的木板擋住，球面、木板均光滑，若使球?qū)δ景宓膲毫ψ钚?，求木板與斜面間夾角θ的大小. 圖7 參考答案： 1．7 2．解：如圖8所示，設(shè)表示船垂直于對(duì)岸的速度，則＋＝， 圖8 知就是漁船實(shí)際航行的速度．因?yàn)楹叫械臅r(shí)間為42＝2(h)， 所以在Rt△ABC中，|A|＝2 km/h，||＝82＝4(km/h)，則|B|＝2 km/h. 答：河水的流速為2 km/h. 3．解：如圖9所示，建立平面直角坐標(biāo)系，兩圓的圓心分別為O1(0,0)，O2(8,0)，圓O2是挖去的圓，不妨設(shè)鐵板的密度為ρ＝1，則小圓的質(zhì)量m1＝25π，挖去圓洞后，鐵板的質(zhì)量為m2＝(225－25)π＝200π，設(shè)所求的重心為O3. 圖9 根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，知O3在直線O1O2上，即可設(shè)O3(x3,0)，且滿足＝λ， 其中λ＝＝＝.由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式知0＝，解得x3＝－1， 即O3(－1,0)為挖去圓洞后所剩下鐵板的重心． 4．解：對(duì)小球的受力分析如圖9所示，重力為G，斜面彈力為N2(垂直于斜面向上)，木板彈力N1(垂直于木板)，其中N1與N2的合力的大小恒為|G′|，方向向上，N2的方向始終不變，隨著木板的轉(zhuǎn)動(dòng)，N1的方向始終垂直于木板，N1的大小在變化，且滿足＝， 又|G′|＝|G|，∴|N1|＝. ∴當(dāng)sinθ取最大值1時(shí)，|N1|min＝|G|sinα，此時(shí)θ＝.