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2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 限時訓練6 導數(shù)的應用 理
1．已知函數(shù)f(x)＝ax＋＋(1－a)ln x.
(1)當a＝2時，求曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程；
(2)若a≤0，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．
解：(1)當a＝2時，f(x)＝2x＋－ln x，f′(x)＝2－－，又f′(1)＝0，f(1)＝3，所以曲線f(x)在x＝1處的切線方程為y＝3.
(2)f′(x)＝a－＋＝(x>0)，
①當a＝0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增；若a≠0，f′(x)＝＝0，
解得x1＝1，x2＝－，
②當－1
0；
∴f(x)在(1,2)上是單調(diào)減函數(shù)，在(2,3)上是單調(diào)增函數(shù)，
∴f(x)在x＝2處取得極小值f(2)＝－ln 2；
又f(1)＝，f(3)＝－ln 3，
∵ln 3>1，∴－＝ln 3－1>0，
∴f(1)>f(3)，
∴x＝1時f(x)的最大值為，x＝2時函數(shù)取得最小值為－ln 2.
(2)由(1)知當x∈[1,3]時，f(x)≤，故對任意x∈[1,3]，
f(x)<4－at恒成立，
只要4－at>對任意t∈[0,2]恒成立，即at<恒成立，記g(t)＝at，t∈[0,2]．
，解得a<，
即實數(shù)a的取值范圍是.
3．已知函數(shù)f(x)＝a(x2＋1)＋ln x.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)若對任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a2成立，求實數(shù)m的取值范圍．
解：(1)由已知，得f′(x)＝2ax＋＝(x>0)．
①當a≥0時，恒有f′(x)>0，則f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
②當a<0時，若00，故f(x)在上是增函數(shù)；
若x> ，則f′(x)<0，
故f(x)在上是減函數(shù)．
綜上，當a≥0時，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；
當a<0時，f(x)在上是增函數(shù)，
在上是減函數(shù)．
(2)由題意，知對任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，
恒有ma－f(x)>a2成立，等價于ma－a2>f(x)max.
因為a∈(－4，－2)，所以< <<1.
由(1)，知當a∈(－4，－2)時，f(x)在[1,3]上是減函數(shù)，
所以f(x)max＝f(1)＝2a，
所以ma－a2>2a，即m0時，x∈∪(0，＋∞)時，f′(x)>0，
x∈時，f′(x)<0，
所以函數(shù)f(x)在，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當a<0時，x∈(－∞，0)∪時，f′(x)>0，
x∈時，f′(x)<0，
所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個極值為f(0)＝b，
f＝a3＋b，則函數(shù)f(x)有三個零點等價于f(0)f＝b<0，從而
或
又b＝c－a，所以當a>0時，a3－a＋c>0或當a<0時，a3－a＋c<0.
設g(a)＝a3－a＋c，因為函數(shù)f(x)有三個零點時，a的取值范圍恰好是(－∞，－3)∪∪，
則在(－∞，－3)上g(a)<0，
且在∪上g(a)>0均恒成立，
從而g(－3)＝c－1≤0，且g＝c－1≥0，因此c＝1.
此時，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]．
因為函數(shù)有三個零點，則x2＋(a－1)x＋1－a＝0有兩個異于－1的不等實根，
所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3>0，且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0，
解得a∈(－∞，－3)∪∪.
綜上c＝1.
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