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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 2.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教案 理 新人教A版
xx高考會這樣考 1.考查對數(shù)函數(shù)的圖象、性質；2.對數(shù)方程或不等式的求解；3.考查和對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)．
復習備考要這樣做 1.注意函數(shù)定義域的限制以及底數(shù)和1的大小關系對函數(shù)性質的影響；2.熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象、性質，搞清復合函數(shù)的結構以及和對數(shù)函數(shù)的關系．
1． 對數(shù)的概念
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中__a__
叫做對數(shù)的底數(shù)，__N__叫做真數(shù)．
2． 對數(shù)的性質與運算法則
(1)對數(shù)的運算法則
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝logaM.
(2)對數(shù)的性質
①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．
(3)對數(shù)的重要公式
①換底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推廣logablogbclogcd＝logad.
3． 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質
a>1
0
1時，y>0
當01時，y<0
當00
(6)在(0，＋∞)上是增函數(shù)
(7)在(0，＋∞)上是減函數(shù)
4. 反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線__y＝x__對稱．
[難點正本 疑點清源]
1． 對數(shù)值取正、負值的規(guī)律
當a>1且b>1或00；
當a>1且01時，logab<0.
2． 對數(shù)函數(shù)的定義域及單調性
對數(shù)函數(shù)y＝logax的定義域應為{x|x>0}．對數(shù)函數(shù)的單調性和a的值有關，因而，在研究對數(shù)函數(shù)的單調性時，要按01進行分類討論．
3． 關于對數(shù)值的大小比較
(1)化同底后利用函數(shù)的單調性；
(2)作差或作商法；
(3)利用中間量(0或1)；
(4)化同真數(shù)后利用圖象比較．
1． (xx江蘇)函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調增區(qū)間是__________．
答案
解析 函數(shù)f(x)的定義域為，
令t＝2x＋1 (t>0)．
因為y＝log5t在t∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，t＝2x＋1在上為增函數(shù)，所以函
數(shù)y＝log5(2x＋1)的單調增區(qū)間為.
2． 函數(shù)y＝loga(x＋3)－1 (a>0且a≠1)的圖象恒過點A，若點A在直線mx＋ny＋1＝0上(其中mn>0)，則＋的最小值為________．
答案 8
解析 y＝loga(x＋3)－1 (a>0且a≠1)的圖象恒過點A(－2，－1)，A(－2，－1)在直線mx＋ny＋1＝0上，
即2m＋n＝1.
∴＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，
當且僅當4m2＝n2時取等號．
3． (xx安徽)(log29)(log34)等于 ( )
A. B. C．2 D．4
答案 D
解析 方法一 原式＝＝＝4.
方法二 原式＝2log23＝22＝4.
4． (xx重慶)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，則a，b，c的大小關
系是 ( )
A．a(chǎn)＝bc
C．a(chǎn)b>c
答案 B
解析 ∵a＝log23＋log2＝log23，b＝log29－log2＝log23，
∴a＝b.
又∵函數(shù)y＝logax(a>1)為增函數(shù)，
∴a＝log23>log22＝1，c＝log32c.
5． (xx安徽)若點(a，b)在y＝lg x圖象上，a≠1，則下列點也在此圖象上的是 ( )
A. B．(10a,1－b)
C. D．(a2,2b)
答案 D
解析 由點(a，b)在y＝lg x圖象上，知b＝lg a.
對于A，點，當x＝時，y＝lg ＝－lg a＝－b≠b，∴不在圖象上．
對于B，點(10a,1－b)，當x＝10a時，y＝lg(10a)＝lg 10＋lg a＝1＋b≠1－b，∴不在圖
象上．
對于C，點，當x＝時，y＝lg ＝1－lg a＝1－b≠b＋1，∴不在圖象上．
對于D，點(a2,2b)，當x＝a2時，y＝lg a2＝2lg a＝2b，
∴該點在此圖象上.
題型一 對數(shù)式的運算
例1 計算下列各式：
(1)lg 25＋lg 2lg 50＋(lg 2)2；
(2)；
(3)(log32＋log92)(log43＋log83)．
思維啟迪：(1)lg 2lg 50沒有辦法直接化簡，可考慮提取公因數(shù)lg 2.(2)將根號下配成完全平方的形式，開根號．(3)利用換底公式，是本題的切入口．
解 (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52
＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
(2)原式＝
＝＝－.
(3)原式＝
＝
＝＝.
探究提高 (1)在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后再運用對數(shù)運算法則化簡合并，在運算中要注意化同底或指數(shù)與對數(shù)互化．
(2)熟練地運用對數(shù)的三個運算性質并配以代數(shù)式的恒等變形是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧．
求值：(1)；(2)(lg 5)2＋lg 50lg 2；
(3)lg －lg＋lg.
解 (1)原式＝＝.
(2)原式＝(lg 5)2＋lg(105)lg
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)
＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1.
(3)原式＝lg －lg 4＋lg(7)
＝lg ＝lg＝.
題型二 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質
例2 已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是增函數(shù)，設a＝f(log47)，
b＝f(log3)，c＝f(0.2－0.6)，則a，b，c的大小關系是 ( )
A．c＝2>log49，又f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，且在(－∞，
0]上是增函數(shù)，故f(x)在[0，＋∞)上是單調遞減的，∴f(0.2－0.6)0且a≠1)的圖象過兩點(－1，0)和(0,1)，則a＝________，
b＝________.
答案 2 2
解析 f(x)的圖象過兩點(－1,0)和(0,1)．
則f(－1)＝loga(－1＋b)＝0且f(0)＝loga(0＋b)＝1，
∴，即.
題型三 對數(shù)函數(shù)的綜合應用
例3 已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)．
(1)當x∈[0,2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．
思維啟迪：f(x)恒有意義轉化為“恒成立”問題，分離實數(shù)a來解決；探究a是否存在，
可從單調性入手．
解 (1)∵a>0且a≠1，設y＝3－ax，則y＝3－ax為減函數(shù)，x∈[0,2]時，t最小值為3
－2a，當x∈[0,2]，f(x)恒有意義，即x∈[0,2]時，3－ax>0恒成立．
∴3－2a>0.∴a<
又a>0且a≠1，∴a>∈(0,1)∪.
(2)t＝3－ax，
∵a>0，∴函數(shù)t(x)為減函數(shù)，
∵f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，
∴y＝logat為增函數(shù)，
∴a>1，x∈[1,2]時，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)，
∴，即，故不存在．
探究提高 解決對數(shù)函數(shù)綜合問題的方法
無論討論函數(shù)的性質，還是利用函數(shù)的性質
(1)要分清函數(shù)的底數(shù)a∈(0,1)，還是a∈(1，＋∞)；
(2)確定函數(shù)的定義域，無論研究函數(shù)的什么性質或利用函數(shù)的某個性質，都要在其定義域上進行；
(3)如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價性，否則結論錯誤．
已知f(x)＝log4(4x－1)．
(1)求f(x)的定義域；
(2)討論f(x)的單調性；
(3)求f(x)在區(qū)間上的值域．
解 (1)由4x－1>0，得x>0.
∴f(x)的定義域為{x|x>0}．
(2)設00且a≠1)．
求證：(1)函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的一側；
(2)函數(shù)f(x)圖象上任意兩點連線的斜率都大于0.
審題視角 (1)要證明f(x)的圖象總在y軸的一側，說明f(x)的自變量只能在(0，＋∞)或(－∞，
0)內取值．(2)可以在f(x)上任取兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，證明k＝>0即可．
規(guī)范解答
證明 (1)由ax－1>0，得ax>1，[1分]
∴當a>1時，x>0，即函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，
此時函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的右側；[3分]
當01時，由(1)知00.[9分]
當0ax2>1，
∴ax1－1>ax2－1>0.[10分]
∴>1，∴y1－y2<0.又x1－x2<0，∴k>0.
∴函數(shù)f(x)圖象上任意兩點連線的斜率都大于0.[12分]
溫馨提醒 說到數(shù)形結合思想，我們想到是更多的以“形”助“數(shù)”來解決問題．事實上，
本題是以“數(shù)”來說明“形”的問題，同樣體現(xiàn)著數(shù)形結合的思想．本題的易錯點：①
找不到證明問題的切入口．如第(1)問，不知道求其定義域．②不能正確進行分類討論．若
對數(shù)或指數(shù)的底數(shù)中含有參數(shù)，一般要進行分類討論.
方法與技巧
1． 指數(shù)式ab＝N與對數(shù)式logaN＝b的關系以及這兩種形式的互化是對數(shù)運算法則的關鍵．
2． 多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過圖象與直線y＝1交點的橫坐標進行判
定．
3． 注意對數(shù)恒等式、對數(shù)換底公式及等式logambn＝logab，logab＝在解題中的靈活應用．
失誤與防范
1． 在運算性質logaMn＝nlogaM中，要特別注意條件，在無M＞0的條件下應為logaMn＝
nloga|M|(n∈N*，且n為偶數(shù))．
2． 指數(shù)函數(shù)y＝ax (a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，應從概念、圖象和性質三個方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別．
3． 解決與對數(shù)函數(shù)有關的問題時需注意兩點
(1)務必先研究函數(shù)的定義域；
(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍.
(時間：60分鐘)
A組 專項基礎訓練
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． 已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，則 ( )
A．xln e，∴x>1.
∵y＝log52＝，∴f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是 ( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案 C
解析 f(a)>f(－a)?或
?或
?a>1或－10，且a≠1，∴u＝ax－3為增函數(shù)，
∴若函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則f(x)＝logau必為增函數(shù)，
因此a>1.又y＝ax－3在[1,3]上恒為正，
∴a－3>0，即a>3，故選D.
4． 設函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上，f(2－x)＝f(x)，且當x≥1時，f(x)＝ln x，則有
( )
A．f()|－1|>|－1|，∴f()4.
即實數(shù)a的取值范圍是(4，＋∞)，∴c＝4.
三、解答題(共25分)
8． (12分)已知函數(shù)f(x)＝loga(a>0，b>0，a≠1)．
(1)求f(x)的定義域；(2)討論f(x)的奇偶性．
解 (1)使f(x)有意義，則>0，
∵b>0，∴x>b或x<－b，
∴f(x)的定義域為{x|x>b或x<－b}．
(2)由(1)知f(x)的定義域關于原點對稱，
∵f(－x)＝loga＝loga＝loga－1
＝－loga＝－f(x)．
∴f(x)為奇函數(shù)．
9． (13分)若函數(shù)y＝lg(3－4x＋x2)的定義域為M.當x∈M時，求f(x)＝2x＋2－34x的最值及相應的x的值．
解 ∵y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2>0，
解得x<1或x>3，∴M＝{x|x<1或x>3}，
f(x)＝2x＋2－34x＝42x－3(2x)2.
令2x＝t，∵x<1或x>3，∴t>8或08或08時，f(t)∈(－∞，－160)，
當2x＝t＝，即x＝log2時，f(x)max＝.
綜上可知，當x＝log2時，f(x)取到最大值，無最小值．
B組 專項能力提升
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． 設f(x)＝lg是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是 ( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由f(x)是奇函數(shù)可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定義域為(－1,1)．
由f(x)<0，可得0<<1，∴－10，a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值之和為
loga2＋6，則a的值為 ( )
A. B. C．2 D．4
答案 C
解析 當x>0時，函數(shù)y＝ax，y＝logax的單調性相同，因此函數(shù)f(x)＝ax＋logax是(0，
＋∞)上的單調函數(shù)，f(x)在[1,2]上的最大值與最小值之和為f(1)＋f(2)＝a2＋a＋loga2，由題意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)．
二、填空題(每小題4分，共12分)
4． 函數(shù)f(x)＝log(x2－2x－3)的單調遞增區(qū)間是__________．
答案 (－∞，－1)
解析 設t＝x2－2x－3，則y＝logt.
由t>0解得x<－1或x>3，
故函數(shù)的定義域為(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
又t＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞，1)上為減函數(shù)，
在(1，＋∞)上為增函數(shù)．
而函數(shù)y＝logt為關于t的減函數(shù)，
所以，函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(－∞，－1)．
5． (xx南京質檢)若log2a<0，則a的取值范圍是____________．
答案
解析 當2a>1時，∵log2a<0＝log2a1，
∴<1.∵1＋a>0，∴1＋a2<1＋a，
∴a2－a<0，∴01.∵1＋a>0，∴1＋a2>1＋a，
∴a2－a>0，∴a<0或a>1，此時不合題意．
綜上所述，a∈.
6． 設函數(shù)f(x)＝logax (a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 015)＝8，則f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝
________.
答案 16
解析 f(x1x2…x2 015)＝loga(x1x2…x2 015)＝8，
f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2…x2 015)2＝2loga(x1x2…x2 015)＝16.
三、解答題(13分)
7． 已知函數(shù)f(x)＝－x＋log2.
(1)求f＋f的值；
(2)當x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常數(shù)時，函數(shù)f(x)是否存在最小值？若存在，求
出f(x)的最小值；若不存在，請說明理由．
解 (1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2
＝log21＝0.∴f＋f＝0.
(2)f(x)的定義域為(－1,1)，
∵f(x)＝－x＋log2(－1＋)，
當x1
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2.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教案
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