2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《二項(xiàng)式定理與多項(xiàng)式》.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《二項(xiàng)式定理與多項(xiàng)式》 1.二項(xiàng)工定理 2.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) 它是展開式的第r+1項(xiàng). 3.二項(xiàng)式系數(shù) 4.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) (1) (2) (3)若n是偶數(shù),有,即中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. 若n是奇數(shù),有,即中項(xiàng)二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大. (4) (5) (6) (7) (8) 以上組合恒等式(是指組合數(shù)滿足的恒等式)是證明一些較復(fù)雜的組合恒等式的基 本工具.(7)和(8)的證明將在后面給出. 5.證明組合恒等式的方法常用的有 (1)公式法,利用上述基本組合恒等式進(jìn)行證明. (2)利用二項(xiàng)式定理,通過賦值法或構(gòu)造法用二項(xiàng)式定理于解題中. (3)利用數(shù)學(xué)歸納法. (4)構(gòu)造組合問題模型,將證明方法劃歸為組合應(yīng)用問題的解決方法. 例題講解 1.求的展開式中的常數(shù)項(xiàng). 2.求的展開式里x5的系數(shù). 3.已知數(shù)列滿足 求證:對于任何自然數(shù)n, 是x的一次多項(xiàng)式或零次多項(xiàng)式. 4.已知a,b均為正整數(shù),且求證:對一切,An均為整數(shù). 5.已知為整數(shù),P為素?cái)?shù),求證: 6.若,求證: 7.?dāng)?shù)列中,,求的末位數(shù)字是多少? 8.求N=1988-1的所有形如為自然數(shù))的因子d之和. 9.設(shè),求數(shù)x的個(gè)位數(shù)字. 10.已知試問:在數(shù)列中是否有無窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng)?證明你的結(jié)論. 課后練習(xí) 1.已知實(shí)數(shù)均不為0,多項(xiàng)的三根為,求 的值. 2.設(shè),其中為常數(shù),如果求的值. 3.定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足: 4.證明:當(dāng)n=6m時(shí), 5.設(shè)展開式為,求證: 6.求最小的正整數(shù)n,使得的展開式經(jīng)同類項(xiàng)合并后至少有1996項(xiàng). 7.設(shè),試求: (1)的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和. (2)的展開式中奇次項(xiàng)的系數(shù)和. 8.證明:對任意的正整數(shù)n,不等式成立. 例題答案: 1.解:由二項(xiàng)式定理得 ① 其中第項(xiàng)為 ② 在的展開式中,設(shè)第k+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),記為 則 ③ 由③得r-2k=0,即r=2k,r為偶數(shù),再根據(jù)①、②知所求常數(shù)項(xiàng)為 評述:求某一項(xiàng)時(shí)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng). 2. 解:因?yàn)? 所以的展開式里x5的系數(shù)為 評述:本題也可將化為用例1的作法可求得. 3. 分析:由是等差數(shù)列,則從而可將表示成的表達(dá)式,再化簡即可. 解:因?yàn)? 所以數(shù)列為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d 有 從而 由二項(xiàng)定理,知 又因?yàn)? 從而 所以 當(dāng)?shù)囊淮味囗?xiàng)式,當(dāng)零次多項(xiàng)式. 4. 分析:由聯(lián)想到復(fù)數(shù)棣莫佛定理,復(fù)數(shù)需要,然后分析An與復(fù)數(shù)的關(guān)系. 證明:因?yàn)? 顯然的虛部,由于 所以從而的虛部. 因?yàn)閍、b為整數(shù),根據(jù)二項(xiàng)式定理,的虛部當(dāng)然也為整數(shù),所以對一切,An為整數(shù). 評述:把An為與復(fù)數(shù)聯(lián)系在一起是本題的關(guān)鍵. 5. 證明: 由于為整數(shù),可從分子中約去r!,又因?yàn)镻為素?cái)?shù),且,所以分子中的P不會紅去,因此有所以 評述:將展開就與有聯(lián)系,只要證明其余的數(shù)能被P整除是本題的關(guān)鍵. 6. 分析:由已知 猜想,因此需要求出,即只需要證明為正整數(shù)即可. 證明:首先證明,對固定為r,滿足條件的是惟一的.否則,設(shè) 則矛盾.所以滿足條件的m和是惟一的. 下面求. 因?yàn)? 又因?yàn)? 所以 故 評述:猜想進(jìn)行運(yùn)算是關(guān)鍵. 7. 分析:利用n取1,2,3,…猜想的末位數(shù)字. 解:當(dāng)n=1時(shí),a1=3, ,因此的末位數(shù)字都是7,猜想, 現(xiàn)假設(shè)n=k時(shí), 當(dāng)n=k+1時(shí), 從而 于是 故的末位數(shù)字是7. 評述:猜想是關(guān)鍵. 8. 分析:尋求N中含2和3的最高冪次數(shù),為此將19變?yōu)?0-1和18+1,然后用二項(xiàng)式定理展開. 解:因?yàn)镹=1988-1=(20-1)88-1=(1-45)88-1 =- 其中M是整數(shù). 上式表明,N的素因數(shù)中2的最高次冪是5. 又因?yàn)镹=(1+29)88-1 =32288+34P=32(288+9P)其中P為整數(shù). 上式表明,N的素因數(shù)中3的最高次冪是2. 綜上所述,可知,其中Q是正整數(shù),不含因數(shù)2和3. 因此,N中所有形如的因數(shù)的和為(2+22+23+24+25)(3+32)=744. 9. 分析:直接求x的個(gè)位數(shù)字很困難,需將與x相關(guān)數(shù)聯(lián)系,轉(zhuǎn)化成研究其相關(guān)數(shù). 解:令 ,由二項(xiàng)式定理知,對任意正整數(shù)n. 為整數(shù),且個(gè)位數(shù)字為零. 因此,x+y是個(gè)位數(shù)字為零的整數(shù).再對y估值, 因?yàn)椋?且, 所以 故x的個(gè)位數(shù)字為9. 評述:轉(zhuǎn)化的思想很重要,當(dāng)研究的問題遇到困難時(shí),將其轉(zhuǎn)化為可研究的問題. 10. 分析:先求出,再將表示成與15有關(guān)的表達(dá)式,便知是否有無窮多項(xiàng)能被15整除. 證明:在數(shù)列中有無窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng),下面證明之. 數(shù)列的特征方程為它的兩個(gè)根為, 所以 (n=0,1,2,…) 由 則 取,由二項(xiàng)式定理得 由上式知當(dāng)15|k,即30|n時(shí),15|an,因此數(shù)列中有無窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng). 評述:在二項(xiàng)式定理中,經(jīng)常在一起結(jié)合使用.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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