2019-2020年高中數學第一冊(上)空間向量的直角坐標及其運算(II).doc

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2019-2020年高中數學第一冊(上)空間向量的直角坐標及其運算(II) 教學目的： 1.進一步掌握空間向量的夾角、距離等概念，并能熟練運用； 2.能綜合運用向量的數量積知識解決有關立體幾何問題； 3.了解平面法向量的概念 教學重點：向量的數量積的綜合運用 教學難點：向量的數量積的綜合運用 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、復習引入： 1 空間直角坐標系： （1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示； （2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸．我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量 都叫坐標向量．通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面； 2．空間直角坐標系中的坐標： 在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序實數組，使，有序實數組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標． 3．空間向量的直角坐標運算律： （1）若，，則， ，， ， ， ． （2）若，，則． 一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 4 模長公式：若，， 則，． 5．夾角公式：． 6．兩點間的距離公式：若，， 則， 或 二、講解范例： 例1 求證：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行 已知：直線于，于． 求證：． 證明：以為原點，射線為非負軸，建立空間直角坐標系， 分別為沿軸，軸，軸的坐標向量， 設， ∵，∴，， ， ， ∴，即， 又知，為兩個不同的點，∴． 點評：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，記作，此時向量叫做平面的法向量． 例2．在棱長為的正方體中，分別是中點，在棱上，，是的中點， （1）求證：； （2）求與所成的角的余弦； （3）求的長 解：如圖以為原點建立直角坐標系， 則，，，， ，，， （1），， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ，， ∴， ∴與所成的角的余弦． （3）∵， ∴． 例3．已知點是平行四邊形所在平面外一點，如果，， （1）求證：是平面的法向量； （2）求平行四邊形的面積． （1）證明：∵， ， ∴，，又，平面， ∴是平面的法向量． （2），， ∴， ∴， ∴， ∴． 例4　在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，AA1＝c，求異面直線BD1和B1C所成角的余弦值 分析一：利用，以及數量積的定義，可求出cos＜＞，從而得到異面直線BD1和B1C所成角的余弦值 分析二：建立空間直角坐標系，利用向量，且將向量的 運算轉化為實數（坐標）的運算，以達到證明的目的 　　解：建立如圖所示空間直角坐標系，使D為坐標原點， 則B(b,a,0),D1(0,0,c),B1(b,a,c),C(0,a,0) 設異面直線BD1和B1C所成角為θ，則 三、課堂練習： 1設，，且，記， 求與軸正方向的夾角的余弦值 解：取軸正方向的任一向量，設所求夾角為， ∵ ∴，即為所求 2．　在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，則∠ABC＝＿＿＿ 解： ∴∠ABC＝45 3．已知空間三點A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5) ⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S； ⑵若向量分別與向量垂直，且||＝，求向量的坐標 分析：⑴ ∴∠BAC＝60， ⑵設＝(x,y,z)，則 解得x＝y(tǒng)＝z＝1或x＝y(tǒng)＝z＝－1，∴＝(1,1,1)或＝(－1，－1，－1). 四、小結 ：在計算和證明立體幾何問題時，如果能夠在原圖中建立適當的空間直角坐標系，將圖形中有關量用坐標來表示，利用空間向量的坐標運算來處理，則往往可以在很大程度上降低對空間相象的要求；求向量坐標的常用方法是先設出向量坐標，再待定系數 五、課后作業(yè)： 六、板書設計（略） 七、課后記：