2019-2020年高中數(shù)學知識精要 9.函數(shù)教案 新人教A版.doc
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x y 65 43 21 -1-2 -3-4 -6 -4 -2 2 4 6 8 2019-2020 年高中數(shù)學知識精要 9.函數(shù)教案 新人教 A 版 1.映射: AB 的概念.在理解映射概念時要注意:⑴A 中元素必須都有象且唯一;⑵B 中元 素不一定都有原象(B 中元素可以無原象) ,但原象不一定唯一(A 中不同元素在 B 中可以有 相同的象). 如①設(shè)是集合到的映射,下列說法正確的是 A、中每一個元素在中必有象 B、中每一個元素在中必有原象 C、中每一個元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合(答:A) ; ②點在映射的作用下的象是,則在作用下點的原象為點________(答:(2,-1) ) ; ③若, , ,則到的映射有 個,到的映射有 個,到的函數(shù)有 個(答:81,64,81) ; 更一般地:若 A 中含有 m 個元素 B 中含有 n 個元素,從 A 到 B 能建立多少個映射?() ④設(shè)集合 ,映射滿足條件“對任意的,是奇數(shù)” ,這樣的映射{,0}1,2345}MN?? 有____個(答:12) ; ⑤設(shè)是集合 A 到集合 B 的映射,若 B={1,2},則一定是_____(答:或{1}). 2.函數(shù): AB 是特殊的映射.特殊在定義域 A 和值域 B 都是非空數(shù)集!據(jù)此可知函數(shù)圖像 與軸的垂線至多有一個公共點,但與軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個. 如①已知函數(shù), ,那么集合 中所含元素的個數(shù)有 {(,)|(),}{(,)|1}xyfxFxy???? 個(答:0 或 1) ; ②若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間,則= (答:2) 3. 同一函數(shù)的概念.構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域,值域和對應(yīng)法則.而值域可由定義域 和對應(yīng)法則唯一確定,因此當兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同時,它們一定為同一函數(shù). 如若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同,但其定義域不同,則稱這些函數(shù)為“天一函 數(shù)” ,那么解析式為,值域為{4,1}的“天一函數(shù)”共有______個(答:9) 4.分段函數(shù)的概念.分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上,分別用幾個不同的式子來表 示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù),它是一類較特殊的函數(shù).注意分段函數(shù)是一個函數(shù),而不是幾個函數(shù).在 求分段函數(shù)的值時,一定首先要判斷屬于定義域的哪個子集,然后再代相應(yīng)的關(guān)系式;求分 段函數(shù)的定義域,先選定所有分段的區(qū)間,然后取這些區(qū)間的并集所得到的集合就是分段函數(shù) 的定義域,分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集. 如①設(shè)函數(shù) , 2(1).)4()xf????????? 則使得的自變量的取值范圍是__________(答:) ; ②已知,則不等式的解集是________(答:) ③作出分段函數(shù)的圖像 解:根據(jù)“零點分段法”去掉絕對值符號,即: = ??? ???123)(x12????x 作出圖像如圖. ④作出函數(shù)的函數(shù)圖像 解: ????????03)(232xxy 步驟:(1)作出函數(shù) y=?2x?3 的圖象 (2)將上述 圖象 x 軸下方部分以 x 軸為對稱軸向上翻折 (上方部分不 變) ,即得 y=|?2x?3| 的圖象 ⑤作函數(shù) y=|x-2|(x+1)的圖像 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 分析 顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點有些困難,除去對其函數(shù)性質(zhì)分析外, 我們還應(yīng)想到對已知解析式進行等價變形. 解:(1)當 x≥2 時,即 x-2≥0 時, 當 x<249)1(2)1(22?????xxxy 時,即 x-2<0 時, 49)1(22???xy ∴ ??? ??????????92142xy??x 這是分段函數(shù), 每段函數(shù)圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出 5.求函數(shù)解析 式的常用方法: (1)待定系 數(shù)法――已知所求函數(shù)的類型(二次函數(shù)的表 達形式有三種: 一般式:; 頂點式:; 零點式:,要 會根據(jù)已知條件的特點,靈活地選用二次函數(shù) 的表達形式). 如已知為二次函數(shù),且 ,且 f(0)=1,圖象在 x 軸上截得的線段長為 2,求的解析式 .(答:) (2)代換(配湊)法――已知形如的表達式,求的表達式. 如①已知求的解析式(答: ) ;242(),[,2]fx????? ②若,則函數(shù)=_____(答:) ; ③若函數(shù)是定義在 R 上的奇函數(shù),且當時, ,那么當時,=________(答:). 這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性,即的定義域應(yīng)是的值域. (3)方程的思想――已知條件是含有及另外一個函數(shù)的等式,可抓住等式的特征對等 式的進行賦值,從而得到關(guān)于及另外一個函數(shù)的方程組. 如①已知,求的解析式(答:) ; ②已知是奇函數(shù),是偶函數(shù),且+= ,則= __(答:). (4)分段函數(shù)解析式分段求解. 如函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象如右圖所示,則求此函數(shù)的解析式. 解: . 1(0)()2xf????????? (5)實際應(yīng)用問 題 把長為的鐵絲 折成矩形,設(shè)矩形的一邊長為,面積 為,求矩形面 積與一邊長的函數(shù)關(guān)系式. 解:設(shè)矩形一邊長 為,則另一邊長為, ∴() . 說明:在解決實際問題時,求出函數(shù)解析式后,一定要寫出定義域. 6. 求函數(shù)定義域的常用方法(在研究函數(shù)問題時要樹立定義域優(yōu)先的原則): (1)約定:如果不單獨指出函數(shù)的定義域是什么集合,那么函數(shù)的定義域就是能使這 個式子有意義的所有實數(shù) x 的集合. 有這個約定,我們在用解析式給出函數(shù)的對應(yīng)法則的同 時也就給定了定義域,而求函數(shù)的定義域就是在這個意義之下寫出使式子有意義的所有實數(shù) 組成的集合. 根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零,分母不能為零,對數(shù)中且,三角形中, 最 大角,最小角等. 如①函數(shù)的定義域是____(答:); ②若函數(shù)的定義域為 R,則_______(答:); ③函數(shù)的定義域是, ,則函數(shù)的定義域是_ (答:); (4)設(shè)函數(shù),①若的定義域是 R,求實數(shù)的取值范圍;②若的值域是 R,求實數(shù)的取值 范圍(答:①;②) (2)根據(jù)實際問題的要求確定自變量的范圍. (3)復(fù)合函數(shù)的定義域:若已知的定義域為,其復(fù)合函數(shù)的定義域由不等式解出即可; 若已知的定義域為,求的定義域,相當于當時,求的值域(即的定義域). 如①若函數(shù)的定義域為,則的定義域為________. (答:) ; ②若函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為________(答:[1,5]) . (4) 求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時,注明函數(shù)的定義域了嗎? ??如 : , 求fxefxx??1(). ??∴ ()??210 用解析式 y=f(x)表示的函數(shù)的定義域時,常有以下幾種情況: ①若 f(x)是整式,則函數(shù)的定義域是實數(shù)集 R; ②若 f(x)是分式,則函數(shù)的定義域是使分母不等于 0 的實數(shù)集; ③若 f(x)是二次根式,則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于 0 的實數(shù)集合; ④若 f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構(gòu)成的,則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的 實數(shù)集合; ⑤若 f(x)是由實際問題抽象出來的函數(shù),則函數(shù)的定義域應(yīng)符合實際問題. 7.求函數(shù)值域(最值)的方法: (1)配方法——二次函數(shù) 主要有兩類:一是求閉區(qū)間上的最值;二是求區(qū)間定(動) ,對稱軸動(定)的最值 問題. 如①求函數(shù) 的值域(答:[4,8]) ;25,[1,2]yx???? ②當時,函數(shù) 在時取得最大值,則的取值范圍是___(答:) ;3)(4)(?xaf ③已知的圖象過點(2,1) ,則 的值域為__(答:[2, 5])212(()Fffx?? 注:給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題的解題步驟 (1)配方—找軸 (2)判斷軸與所給區(qū)間的相對位置—確定在所給區(qū)間上的單調(diào)性(軸的左右單調(diào)性不同) (3)畫出草圖 (4)結(jié)合草圖,利用單調(diào)性得出結(jié)論. 求二次函數(shù)的最值問題,勿忘數(shù)形結(jié)合,注意“兩看”:一看開口方向;二看對稱軸 與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系. 閉區(qū)間上的二次函數(shù)必有最值,最值在端點處或頂點處取得. (2)換元法 通過換元把一個較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)(如 ) ,其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型, 如①的值域為_____(答:) ; ②的值域為_____(答:) (令,.運用換元法時,要特別要注意新元的范圍) ; ③ 的值域為____(答:) ;sincosincyxx??A ④的值域為____(答:) ; (2)函數(shù)有界性法――直接求函數(shù)的值域困難時,可以利用已學過函數(shù)的有界性,來 確定所求函數(shù)的值域,最常用的就是三角函數(shù)的有界性. 如求函數(shù), ,的值域(答: 、 (0,1) 、 ) ; (3)單調(diào)性法――利用一次函數(shù),反比例函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性. 如求, ,的值域為______(答:、 、 ) ; (4)數(shù)形結(jié)合法――函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義,如兩點的距離、直線斜率、 等等, 如①已知點在圓上,求及的取值范圍(答:、 ) ; ②求函數(shù)的值域(答:) ; ③求函數(shù) 及 的值域(答:、 )2261345yxx???? 注意:求兩點距離之和時,要將函數(shù)式變形,使兩定點在軸的兩側(cè),而求兩點距離之差 時,則要使兩定點在軸的同側(cè). (5)函數(shù)的值域是自變量 X 在定義域中取每一個值時,所對應(yīng)的函數(shù)值的集合,也就是 對 Y 在且只在值域中的每一個取值,X 在定義域中一定有一個值之對應(yīng).這樣求函數(shù)的值域就 是把函數(shù)解析式看作關(guān)于 X 的方程后,此方程在定義域內(nèi)有解的參數(shù) Y 的取值范圍.從而在 函數(shù)與方程間建立了一種關(guān)系“適當條件下可互(但不能解決方程根的個數(shù)問題,方程根的 個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)圖象交點問題(一曲線、一直線,曲線定,直線動)一元二次函 數(shù)根的個數(shù)問題可考慮根的分布來解)由此: ①y=型的所謂反函數(shù)法(也可按分母整理,用反比例函數(shù)處理 同樣處理的有 y=) ②y=型的判別式法:第一步,判斷分子分母有無公因式;第二步,有時約分化為上面 y=型, 但要注意定義域改變所引起的后果,無時考察是否自然定義.第三步,自然定義的可考慮判 別式法,但注意二次項是否為零,不是的不能簡單用判別式法,而應(yīng)化為在定義域內(nèi)有解, 用根的分布來解. (6)不等式法――利用基本不等式求函數(shù)的最值,其題型特征解析式是和式時要求積 為定值,解析式是積時要求和為定值,不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。 如設(shè)成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,則的取值范圍是____________.(答:) 。 (7)導(dǎo)數(shù)法――一般適用于高次多項式函數(shù),如求函數(shù),的最小值。 (答:-48) 提醒:(1)求函數(shù)的定義域、值域時,你按要求寫成集合形式了嗎?(2)函數(shù)的最值 與值域之間有何關(guān)系? 8.函數(shù)的單調(diào)性。 (1)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法: ①在解答題中常用: 定義法:取值――作差――變形――定號 注:為便于判斷差的符號對差變形的方向是:完全平方的和或因式的積. 導(dǎo)數(shù)法:在區(qū)間內(nèi),若總有,則為增函數(shù);反之,若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),則,請注意兩 者的區(qū)別所在。 如已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則的取值范圍是____(答:)); ②在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等,特別要注意,型函數(shù)的圖象和單 調(diào)性在解題中的運用:增區(qū)間為,減區(qū)間為. 如(1)若函數(shù) 在區(qū)間(-∞,4) 上是減函數(shù),那么實數(shù)的取值范圍是______(答:)); (2)已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍_____(答:); (3)若函數(shù) 的值域為 R,則實數(shù)的取值范圍是????log40,1afxax???????????且 ______(答:且)); ③復(fù)合函數(shù)法:復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點是先外后內(nèi)、同增異減. ??如 : 求 的 單 調(diào) 區(qū) 間yx???log12 ,log221uyxu????, 則解 : 設(shè) , ) 上 是 減 函 數(shù) ,,在 (又 ?0l21u 0-02??xu得即由 為 增 函 數(shù) ,時 ,,當 xx?2-]( 為 減 函 數(shù)時 ,,當 ux?2-)1[ ∴ 為,單調(diào)遞減區(qū)間為.??的 單 調(diào) 增 區(qū) 間ylog21??? 提醒:判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性. ??( 內(nèi) 層 )( 外 層 ) , 則,令 )()()( xfyxufy??? 先外后內(nèi):先求外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再在其基礎(chǔ)上求內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性. 同增異減:當 , .同 時內(nèi) 、 外 層 函 數(shù) 單 調(diào) 性 相 ????為 減 函 數(shù)為 增 函 數(shù) , 否 則 )()(xfxf ? (2)特別提醒:求單調(diào)區(qū)間時,一是勿忘定義域,如若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),求的 取值范圍(答:);二是在多個單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號“”和“或”;三是單調(diào)區(qū) 間應(yīng)該用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示. (3)你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?(①比較大小;②解不等式;③求參數(shù) 范圍). 如已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若,求實數(shù)的取值范圍。(答:) 9.函數(shù)的奇偶性。 (1)具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征:定義域必須關(guān)于原點對稱!為此確定函數(shù)的 奇偶性時,務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱。如若函數(shù), 為奇函數(shù),其中,則的值是 (答:0) ; (2)確定函數(shù)奇偶性的常用方法(若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先化簡,再判斷 其奇偶性): ①定義法:如判斷函數(shù)的奇偶性____(答:奇函數(shù)) 。 ②利用函數(shù)奇偶性定義的等價形式:或() 。 如判斷的奇偶性___.(答:偶函數(shù)) ③圖像法:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱;偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。 (3)函數(shù)奇偶性的性質(zhì): ①奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性完全相同;偶函數(shù)在關(guān)于原 點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性恰恰相反. ②如果奇函數(shù)有反函數(shù),那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù). ③若為偶函數(shù),則. 如若定義在 R 上的偶函數(shù)在上是減函數(shù),且=2,則不等式的解集為______. (答:) ④若奇函數(shù)定義域中含有 0,則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。如若為奇 函數(shù),則實數(shù)=____(答:1). ⑤定義在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù),都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù) 的和(或差) ”。 如設(shè)是定義域為 R 的任一函數(shù), , 。 ①判斷與的奇偶性; ②若將函數(shù),表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和,則 =____(答:①為偶函數(shù),為奇函數(shù);②=) ⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是:“內(nèi)偶則偶,內(nèi)奇同外”. u O 1 2 x ⑦既奇又偶函數(shù)有無窮多個(,定義域是關(guān)于原點對稱的任意一個數(shù)集). ⑧在公共定義域內(nèi):兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù);兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù);一個偶 函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。 上 的 奇 函 數(shù) ,,為 定 義 在如 : )1()(?xf ,時 ,,當 142)()10(???xfx??求 在 , 上 的 解 析 式 。 ?142)(10????xfxx,,, 則,( 令 又 為 奇 函 數(shù) , ∴f x() 10.函數(shù)的周期性??又 , ∴ ,, )ffxx()()()02410????????? (1) 由周期函數(shù)的定義“函數(shù)滿足,則是周期為的周期函數(shù)”得: ①函數(shù)滿足,則是周期為 2 的周期函數(shù); ②若恒成立,則; ③若 恒成立,則.1()(0)fxafx??? 提醒:(1)函數(shù)滿足, , , (m、n、p∈R,且 p≠0,) 則函數(shù)是周期為 2 的周期函數(shù); (2)函數(shù)對 x∈R 時,對于非零實數(shù) a,恒有 f(x+a)=,則 f(x)是周期函數(shù)且 3a 是函數(shù) 的一個周期. 如(1) 設(shè)是上的奇函數(shù), ,當時, ,則等于_____(答:); (2)定義在上的偶函數(shù)滿足,且在上是減函數(shù),若是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則的大小關(guān) 系為_________(答:); (3)已知是偶函數(shù),且=993,=是奇函數(shù),求的值(答:993); (4)設(shè)是定義域為 R 的函數(shù),且,又,則= . (答:) (2)類比“三角函數(shù)圖像”得: ①若圖像有兩條對稱軸,則必是周期函數(shù),且一周期為; 特別地:若 y=f(x)是偶函數(shù),其圖像又關(guān)于直線 x=a 對稱,則 f(x)是周期為的周期函 數(shù); ②若圖像有兩個對稱中心,則是周期函數(shù),且一周期為; ③如果函數(shù)的圖像有一個對稱中心和一條對稱軸,則函數(shù)必是周期函數(shù),且一周期為; 特別地:若 y=f(x)奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線 x=a 對稱,則 f(x)是周期為的周期函數(shù); 如已知定義在上的函數(shù)是以 2 為周期的奇函數(shù),則方程在上至少有__________個實數(shù)根 (答:5) 11.常見的圖象變換 (1)平移變換:圖進標退(變的只是解析式中的). ①函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位得到的。注意 x 的系數(shù)非 1 時的情 況. 如設(shè)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱,的圖像由的圖像向右平移 1 個單位得到,則為 __________(答: ) ②函數(shù)(的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位得到的。 如(1)若,則函數(shù)的最小值為____(答:2); (2)要得到的圖像,只需作關(guān)于_____軸對稱的圖像,再向____平移 3 個單位而得到 (答:;右); (3)函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)有____個(答:2) ③函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上平移個單位得到的; ④函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向下平移個單位得到的; 如將函數(shù)的圖象向右平移 2 個單位后又向下平移 2 個單位,所得圖象如果與原圖象關(guān)于 直線對稱,那么 (答:C) (2)伸縮變換:圖伸標縮(變的只是解析式中的). ⑤函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。 如(1)將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變) ,再將此圖像沿軸方 向向左平移 2 個單位,所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為_____(答:); (2)如若函數(shù)是偶函數(shù),則函數(shù)的對稱軸方程是_______(答:). ⑥函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的. 12. 函數(shù)的對稱性。 ①滿足條件的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。 特別地:若 x∈R 時,f(a+x)=f(a-x)恒成立,則 y=f(x)圖像關(guān)于直線 x=a 對稱; 如已知二次函數(shù)滿足條件且方程有等根,則=_____(答:); 函數(shù) y=f(x-a)與 y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線 x=對稱; 函數(shù) y=f(a+x)與 y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線 x=對稱. 特別地 對 稱的 圖 象 關(guān) 于 直 線與 axxaf ??)2() (1)已知函數(shù)的圖象過點(1,1) ,則的反函數(shù)的圖象過點 。 (2)由函數(shù)的圖象,通過怎樣的變換得到的圖象? ②點關(guān)于軸的對稱點為;函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為; ③點關(guān)于軸的對稱點為;函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為; ④點關(guān)于原點的對稱點為;函數(shù)關(guān)于原點的對稱曲線方程為; ⑤點關(guān)于直線的對稱點為;曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為。特別地,點關(guān)于直線的 對稱點為;曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為 ;點關(guān)于直線的對稱點為;曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為。 如己知函數(shù),若的圖像是,它關(guān)于直線對稱圖像是關(guān)于原點對稱的圖像為對應(yīng)的函數(shù)解析式是 ___________(答:) ; ⑥曲線關(guān)于點的對稱曲線的方程為。特別地 如若函數(shù)與的圖象關(guān)于點(-2,3)對稱,fxaa())()與 的 圖 象 關(guān) 于 點 , 對 稱?20 則=______(答:) ⑦形如 的圖像是雙曲線,其兩漸近線分別直線(由分母為零(,)xbycdbc??? 確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定),對稱中心是點。 如已知函數(shù)圖象與 關(guān)于直線對稱,且圖象關(guān)于點2:11Cyax?? (2,-3)對稱,則 a 的值為______(答:2) ⑧的圖象先保留原來在軸上方的圖象,作出軸下方的圖象關(guān)于軸的對稱圖形,然后擦去 軸下方的圖象得到;的圖象先保留在軸右方的圖象,擦去軸左方的圖象,然后作出軸右方的 圖象關(guān)于軸的對稱圖形得到。 如(1)作出函數(shù)及的圖象; (2)若函數(shù)是定義在 R 上的奇函數(shù),則函數(shù)的圖象關(guān)于____對稱 (答:軸) 提醒:(1)從結(jié)論②③④⑤⑥可看出,求對稱曲線方程的問題,實質(zhì)上是利用代入法 轉(zhuǎn)化為求點的對稱問題;(2)證明函數(shù)圖像的對稱性,即證明圖像上任一點關(guān)于對稱中心 (對稱軸)的對稱點仍在圖像上;(3)證明圖像與的對稱性,需證兩方面:①證明上任意 點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在上;②證明上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對 稱點仍在上。 如(1)已知函數(shù)。求證:函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱圖形;(2)設(shè)曲線 C 的方程是,將 C 沿軸, 軸正方向分別平行移動單位長度后得曲線。①寫出曲線的方程(答:) ;②證明曲線 C 與關(guān)于點對稱。 13. 函數(shù)零點與二分法 (1)函數(shù)零點定義:對于函數(shù),把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點. 若函數(shù)的圖象在處與軸相切,則零點通常稱為不變號零點; 若函數(shù)的圖象在處與軸相交,則零點通常稱為變號零點. (2)函數(shù)零點的意義: 函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標.即:方程有實數(shù)根函 數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點. (3)函數(shù)零點的求法: ①(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根; ②(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函 數(shù)的性質(zhì)找出零點. 提醒:很多情況下,通過導(dǎo)數(shù)來確定圖像的大致形狀. (4)圖像連續(xù)的函數(shù)的零點的性質(zhì) ①函數(shù)的圖像是連續(xù)的,當它通過零點時(變號零點) ,函數(shù)值變號. 函數(shù)零點存在定理:函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)的,且,那么函數(shù)在區(qū)間上至少有一個零點. ②相鄰兩個零點之間的函數(shù)值保持同號 (5)二分法及步驟: 對于在區(qū)間,上連續(xù)不斷,且滿足的函數(shù),通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分 為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法. 給定精度,用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下: 1.確定區(qū)間, ,驗證,給定精度; 2.求區(qū)間,的中點; 3.計算:二分法 通過每次把 f(x)的零點所在的小區(qū)間收縮一半的方法,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近函數(shù)的零 點,以求得零點的近似值,這種方法叫做兩分法. 若=,則就是函數(shù)的零點;○ 1 若<,則令=(此時零點) ;○ 2 若0 1 [1,1.5] <0 0.5 [1.25,1.5] 0,a≠1,b>0,n∈R +); (2) ( a>0,a≠1,b>0,b≠1); (3) ( a>0,a≠1,N>0 ); 提醒:指數(shù)、對數(shù)的運算法則要求參與運算的指數(shù)對數(shù)式是同底的. (4) 的符號由口訣“同正異負”記憶; 注意公式從)0,;1,(logllog????NMaMNaa )0,;1,(logllog????NMaaa 左→右應(yīng)用,也注意右→左運用,以及在此過程中的對的要求. 強調(diào)利用對數(shù)運算法則時要注意各字母值的范圍 a>0,a≠1,M,N>0 (4) 的符號由口訣“同正異負”記憶; 口訣“同大異小” 可用來比較與 1 的大小. 如(1)的值為________(答:8); (2)的值為________(答:) 15. 指數(shù)、對數(shù)值的大小比較: (1)化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性;(2)作差或作商法;(3)利用中間量(0 或 1) ; (4)化同指數(shù)(或同真數(shù))后利用圖象比較。 比較兩個冪值的大小是常見的題型,也是一類容易出錯的問題 .解決這類問題,首先要 分清是底數(shù)相同還是指數(shù)相同,如果底數(shù)相同,可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;如果指數(shù)相同, 可利用圖像(時,底大圖高) ;如果底數(shù)、指數(shù)都不同,則要利用中間變量 基本思維程序是: ①中間量(0 再 1) ②化為同底利用單調(diào)性(可引進中間量:以保證同底、同真或同指) ③作差或作商法(必要時可轉(zhuǎn)化) 16.指數(shù)函數(shù) 與對數(shù)函數(shù) y= (a > 0,a≠1) ①互為反函數(shù),②其單調(diào)性與 a 的大小有關(guān), ③圖像特征: 底大圖高, 底大圖低 . 滿 足那的 圖 像 如 圖 所 示函 數(shù) dcbayxy xxa,,,logl ?? C 17.冪函數(shù)及其性質(zhì)(只要求 ).1223,,yxyx?? (1)都過點(1,1). (2)時,圖像過點(0,0) ,且在第一象限中逐漸上升,時,圖像不過(0,0) ,且在 第一象限中逐漸下降. 提醒:可用來判斷指數(shù)是正還是負. (3)時,指大圖高. 時,指大圖低. 18.函數(shù)的圖象和性質(zhì); 定義域 值域 奇偶性 奇函數(shù) 單調(diào)性 在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞增; 19. 函數(shù)的應(yīng)用 (1)求解數(shù)學應(yīng)用題的一般步驟: ①審題――認真讀題,確切理解題意,明確問題的實際背景,尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系; ②建模――通過抽象概括,將實際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學問題,別忘了注上符合實際意義 的定義域; ③解模――求解所得的數(shù)學問題; ④回歸――將所解得的數(shù)學結(jié)果,回歸到實際問題中去。 (2)常見的函數(shù)模型有:①建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型;②建立分段函數(shù)模型;③ 建立指數(shù)函數(shù)模型;④建立型。 20. 抽象函數(shù):抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式,只給出了其它一些條 件(如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等)的函數(shù)問題。求解抽象函數(shù)問題的 常用方法是: (1)借鑒模型函數(shù)進行類比探究。幾類常見的抽象函數(shù) : ①正比例函數(shù)型: ---------------; ②冪函數(shù)型: --------------,--------------; ③指數(shù)函數(shù)型: ------------,--------------; ④對數(shù)函數(shù)型: ---------------,--------------; ⑤三角函數(shù)型: ----------- 。 ----- 如已知是定義在 R 上)2()(2)(1211 xfxfxff ????? 的奇函數(shù),且為周期函數(shù),若它的最小正周期為 T,則____(答:0) (2)利用函數(shù)的性質(zhì)(如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等)進行演繹探究: 如(1)設(shè)函數(shù)表示除以 3 的余數(shù),則對任意的,都有 A、 B、 C、 o y x D、 (答:A) ; (2)設(shè)是定義在實數(shù)集 R 上的函數(shù),且滿足 ,如果, ,求)(1()2(xffxf??? (答:1) ; (3)如設(shè)是定義在上的奇函數(shù),且,證明:直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸; (4)已知定義域為的函數(shù)滿足,且當時,單調(diào)遞增。如果,且,則的值的符號是 ____(答:負數(shù)) (3)利用一些方法(如賦值法(令=0 或 1,求出或、令或等) 、遞推法、反證法等) 進行邏輯探究。 如(1)若,滿足,則的奇偶性是______(答:奇函數(shù)) ; (2)若,滿足,則的奇偶性是______(答:偶函數(shù)) ; (3)已知是定義在上的 奇函數(shù),當時,的圖像如右圖所示,那么不 等式的解集是 _____________ (答:) ; (4)設(shè)的定義域為,對 任意,都有,且時, ,又,①求證為減函數(shù); ②解不等式.(答:) . O 1 2 3 x y- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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