2019-2020年高中數(shù)學知識精要 11.不等式教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高中數(shù)學知識精要 11.不等式教案 新人教A版 1、不等式的性質： （1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；（3）左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若，則或；（4）若，，則；若，，則。 特別提醒：如果對不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式，要注意它的正負號，如果正負號未定，要注意分類討論。 如（1）對于實數(shù)中，給出下列命題：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，則。其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知，，則的取值范圍是______（答：）；（3）已知，且則的取值范圍是______（答：） 2. 不等式大小比較的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；（2）作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調性；（7）尋找中間量（一般先把要比較的代數(shù)式與“0”比，與“1”比，然后再比較它們的大?。┗蚍趴s法 ；(8)圖象法：利用有關函數(shù)的圖象（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)的圖象），直接比較大小。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。 如（1）設，比較的大?。ù穑寒敃r，（時取等號）；當時，（時取等號））； （2）設，，，試比較的大?。ù穑海?； （3）比較1+與的大小（答：當或時，1+＞；當時，1+＜；當時，1+＝） 特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用于不成立的命題。 3. 利用重要不等式求函數(shù)最值時，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針。常用的方法為：拆、湊、平方。 如（1）下列命題中正確的是 A、的最小值是2 B、的最小值是2 C、的最大值是 D、的最小值是 （答：C）； （2）若，則的最小值是______（答：）； （3）正數(shù)滿足，則的最小值為______（答：）； 4.常用不等式有： （1） (根據(jù)目標不等式左右的運算結構選用) ； （2）a、b、cR，（當且僅當時，取等號）； （3）若，則（糖水的濃度問題）。 如如果正數(shù)、滿足，則的取值范圍是_________（答：） 5．一元一次不等式的解法 Ⅰ、：⑴若，則 ；⑵若，則 ； Ⅱ、： ⑴若，則 ； ⑵若，則 ； 5．一元二次不等式的解法 ①化為標準式（二次系數(shù)為零），判斷判別式的正負（優(yōu)先考慮因式分解），時求根，比較根的大小，寫出結論 則（Ⅰ） （Ⅱ）若二次函數(shù)系數(shù)含參數(shù)且未指明不為零時，需驗證 若解集為R呢？ 如：關于x的不等式對x∈R恒成立，則a的取值范圍 。 略解（Ⅰ）（Ⅱ） 6．確定二元一次不等式表示的區(qū)域的步驟： ①在平面直線坐標系中作出直線 . ②在直線的一側任取一點，特殊地，當C≠0時，常把原點作為特殊點 .③將代入 Ax+ By+ C 求值若 ，則包含此點 P 的半平面為不等式所表示的平面區(qū)域，不包含此點 P 的半平面為不等式 所表示的平面區(qū)域. 也可采用：把二元一次不等式改寫成或的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域。 提醒：（1）畫不等式 Ax+ By+ C≥0所表示的平面區(qū)域時，區(qū)域包括邊界線，因此，將邊界直線畫成實線；無等號時區(qū)域不包括邊界線，用虛線表示不包含直線. （2）表示直線的上方，表示直線的下方. （3）設點，，若與同號，則P，Q在直線的同側，異號則在直線的異側。 如已知點A（—2，4），B（4，2），且直線與線段AB恒相交，則的取值范圍是__________（答：） 7．簡單的線性規(guī)劃： （1）線性規(guī)劃問題中的有關概念： ①滿足關于的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。 ②關于變量的解析式叫目標函數(shù)，關于變量一次式的目標函數(shù)叫線性目標函數(shù)； ③求目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題； ④滿足線性約束條件的解（）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域； ⑤使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解； （2）求解線性規(guī)劃問題的步驟是什么？①根據(jù)實際問題的約束條件列出不等式；②作出可行域，寫出目標函數(shù)；③確定目標函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。 如（1）線性目標函數(shù)z=2x－y在線性約束條件下，取最小值的最優(yōu)解是____（答：（－1，1））；（2）點（－２，）在直線2x－3y+6=0的上方，則的取值范圍是_________（答：）；（3）不等式表示的平面區(qū)域的面積是_________（答：8）； （4）如果實數(shù)滿足，則的最大值_________（答：21） （3）在求解線性規(guī)劃問題時要注意：①將目標函數(shù)改成斜截式方程；②尋找最優(yōu)解時注意作圖規(guī)范。 8．簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。 如（1）解不等式。（答：或）； （2）不等式的解集是____（答：或）； （3）設函數(shù)、的定義域都是R，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為______（答：）； （4）要使?jié)M足關于的不等式（解集非空）的每一個的值至少滿足不等式中的一個，則實數(shù)的取值范圍是______.（答：） 9．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。如（1）解不等式（答：）；（2）關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為____________（答：）. 10．含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎，分類討論是關鍵．”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…”。注意：按參數(shù)討論，最后應按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應求并集. 提醒：解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論，如果遇到下述情況則一般需要討論： ①不等式兩端乘除一個含參數(shù)的式子時，則需討論這個式子的正、負、零性. ②在求解過程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性時，則需對它們的底數(shù)進行討論. ③在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應的二次函數(shù)的開口方向，對應的一元二次方程根的狀況（有時要分析△），比較兩個根的大小,設根為（或更多）但含參數(shù)，要分、、討論。 如（1）若，則的取值范圍是__________（答：或）； （2）解不等式（答：時，；時，或；時，或） 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關于的不等式 的解集為，則不等式的解集為__________（答：（－1,2）） 11.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題，也可抓住所給不等式的結構特征，利用數(shù)形結合法） （1).恒成立問題 若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上 若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上 如（1）設實數(shù)滿足，當時，的取值范圍是______（答：）； （2）不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍_____（答：）； （3）若不等式對滿足的所有都成立，則的取值范圍_____（答：（,））； （4）若不等式對于任意正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_____（答：）； （5）若不等式對的所有實數(shù)都成立，求的取值范圍.（答：） （2). 能成立問題 若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上； 若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的. 如已知不等式在實數(shù)集上的解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍______（答：） （3). 恰成立問題 若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為； 若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為. 12．含絕對值不等式的性質： 同號或有； 異號或有. 如設，實數(shù)滿足，求證： 13．絕對值不等式的解法： （1）分段討論法（最后結果應取各段的并集）：如解不等式（答：）； （2）利用絕對值的定義； （3）數(shù)形結合； 如解不等式（答：） （4）兩邊平方： 如若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______。（答：） 14．證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結論。). 常用的放縮技巧有： ； （程度大） ； （程度?。? 如（1）已知，求證： ； (2) 已知，求證：； （3）已知，且，求證：； (4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：（5）已知，求證：； (6)若，求證：； (7)已知，求證：； （8）求證：。