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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.3圓的方程教案 理 新人教A版
xx高考會這樣考 1.考查圓的方程的形式及應(yīng)用；2.利用待定系數(shù)法求圓的方程．
復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.熟練掌握圓的方程的兩種形式及其特點(diǎn)；2.會利用代數(shù)法、幾何法求圓的方程，注意圓的方程形式的選擇．
1． 圓的定義
在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓．
2． 確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑．
3． 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)為圓心，r為半徑．
4． 圓的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F>0，其中圓心為，半徑r＝.
5． 確定圓的方程的方法和步驟
確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：
(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；
(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D、E、F的方程組；
(3)解出a、b、r或D、E、F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．
6． 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種．
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)
(1)點(diǎn)在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)點(diǎn)在圓外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(x0－a)2＋(y0－b)2
0時(shí)，圓心為，半徑r＝.
②當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，表示一個點(diǎn).
③當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，這樣的圓不存在．
1． 若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是______________．
答案
解析 方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0
轉(zhuǎn)化為2＋(y＋a)2＝－a2－a＋1，
所以若方程表示圓，則有－a2－a＋1>0，
∴3a2＋4a－4<0，∴－20，圓心坐標(biāo)為，半徑r＝.[12分]
方法二 如圖所示，設(shè)弦PQ中點(diǎn)為M，
∵O1M⊥PQ，∴kO1M＝2.[2分]
∴O1M的方程為y－3＝2，
即y＝2x＋4.[4分]
由方程組.
解得M的坐標(biāo)為(－1,2)．[6分]
則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x＋1)2＋(y－2)2＝r2.
∵OP⊥OQ，∴點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上．
∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，|MQ|2＝r2.
在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2.
∴＝2＋(3－2)2＋5.
∴m＝3.[9分]
∴半徑為，圓心為.[12分]
方法三 設(shè)過P、Q的圓系方程為
x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)＝0.[2分]
由OP⊥OQ知，點(diǎn)O(0,0)在圓上．
∴m－3λ＝0，即m＝3λ.[4分]
∴圓系方程可化為
x2＋y2＋x－6y＋3λ＋λx＋2λy－3λ＝0.
即x2＋(1＋λ)x＋y2＋2(λ－3)y＝0.[6分]
∴圓心M，又圓心在PQ上．
∴－＋2(3－λ)－3＝0，
∴λ＝1，∴m＝3.[9分]
∴圓心為，半徑為.[12分]
溫馨提醒 (1)在解決與圓有關(guān)的問題中，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會使得思路簡捷明了，簡化思路，簡便運(yùn)算．
(2)本題中三種解法都是用方程思想求m值，即三種解法圍繞“列出m的方程”求m值．
(3)本題的易錯點(diǎn)：不能正確構(gòu)建關(guān)于m的方程，找不到解決問題的突破口，或計(jì)算錯誤．
方法與技巧
1． 確定一個圓的方程，需要三個獨(dú)立條件．“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法，是指根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇圓的方程的形式，進(jìn)而確定其中的三個參數(shù)．
2． 解答圓的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，簡化運(yùn)算．
失誤與防范
1． 求圓的方程需要三個獨(dú)立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個獨(dú)立方程．
2． 過圓外一定點(diǎn)，求圓的切線，應(yīng)該有兩個結(jié)果，若只求出一個結(jié)果，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況．
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． 若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，那么直線x＋ay＋b＝0一定不經(jīng)過
( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心為，
則a<0，b>0.直線y＝－x－，k＝－>0，－>0，
直線不經(jīng)過第四象限．
2．若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( )
A．－11或a<－1 D．a(chǎn)＝1
答案 A
解析 因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓的內(nèi)部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－13
解析 令x＝0，可得y2＋2my＋m＋6＝0，由題意知，此方程有兩個不相等且同號的實(shí)數(shù)根，即
解得－63.
6． 以直線3x－4y＋12＝0夾在兩坐標(biāo)軸間的線段為直徑的圓的方程為________________．
答案 (x＋2)2＋2＝
解析 直線3x－4y＋12＝0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為
A(－4,0)、B(0,3)，
所以線段AB的中點(diǎn)為C，|AB|＝5.
故所求圓的方程為(x＋2)2＋2＝2.
7． 已知點(diǎn)M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點(diǎn)，那么過點(diǎn)M的最短弦所在直線的方程是__________．
答案 x＋y－1＝0
解析 過點(diǎn)M的最短弦與CM垂直，圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直線的方程為y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
三、解答題(共22分)
8． (10分)根據(jù)下列條件求圓的方程：
(1)經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上；
(2)過三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
解 (1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由題意列出方程組
，解之得
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(2)方法一 設(shè)圓的一般方程為
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則
解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95.
∴所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0.
方法二 由A(1,12)，B(7,10)，
得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11)，kAB＝－，
則AB的中垂線方程為3x－y－1＝0.
同理得AC的中垂線方程為x＋y－3＝0.
聯(lián)立，得，
即圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝＝10.
∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100.
9． (12分)一圓經(jīng)過A(4,2)，B(－1,3)兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個截距的和為2，求此圓的方程．
解 設(shè)圓心為(a，b)，圓與x軸分別交于(x1,0)，(x2,0)，與y軸分別交于(0，y1)，(0，y2)，根據(jù)題意知x1＋x2＋y1＋y2＝2，∵a＝，b＝，∴a＋b＝1.
又∵點(diǎn)(a，b)在線段AB的中垂線上，∴5a－b－5＝0.
聯(lián)立解得
∴圓心為(1,0)，半徑為＝.
∴所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝13.
B組 專項(xiàng)能力提升
(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． 若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則P(a，b) ( )
A．在圓上 B．在圓外
C．在圓內(nèi) D．以上都有可能
答案 B
解析 由已知條件<1，即a2＋b2>1.
因此點(diǎn)P(a，b)在圓外．
2． 已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x－y＋3＝0對稱，則實(shí)數(shù)m的值為
( )
A．8 B．－4 C．6 D．無法確定
答案 C
解析 圓上存在關(guān)于直線x－y＋3＝0對稱的兩點(diǎn)，則x－y＋3＝0過圓心，即－＋3＝0，∴m＝6.
3． 已知圓的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，且與直線3x＋4y＋4＝0相切，則圓的方程是 ( )
A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
答案 A
解析 設(shè)圓心為C(m,0) (m>0)，因?yàn)樗髨A與直線3x＋4y＋4＝0相切，所以＝2，整理得：|3m＋4|＝10，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故選A.
二、填空題(每小題5分，共15分)
4． 已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對稱，則a－b的取值范圍是
________．
答案 (－∞，1)
解析 圓的方程化為(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，
∴其圓心為(－1,2)，且5－a>0，即a<5.
又圓關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對稱，
∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.
5． 若PQ是圓O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中點(diǎn)是M(1,2)，則直線PQ的方程是____________．
答案 x＋2y－5＝0
解析 由圓的幾何性質(zhì)知kPQkOM＝－1.∵kOM＝2，∴kPQ＝－，故直線PQ的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
6． 已知AC、BD為圓O：x2＋y2＝4的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，)，則四邊形
ABCD的面積的最大值為________．
答案 5
解析 如圖，取AC的中點(diǎn)F，BD的中點(diǎn)E，
則OE⊥BD，OF⊥AC.
又AC⊥BD，
∴四邊形OEMF為矩形，
設(shè)|OF|＝d1，|OE|＝d2，
∴d＋d＝|OM|2＝3.
又|AC|＝2，|BD|＝2，
∴S四邊形ABCD＝|AC||BD|
＝2＝2
＝2.
∵0≤d≤3.∴當(dāng)d＝時(shí)，S四邊形ABCD有最大值是5.
三、解答題
7． (13分)圓C通過不同的三點(diǎn)P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為1，試求圓C的方程．
解 設(shè)圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則k、2為x2＋Dx＋F＝0的兩根，
∴k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F(xiàn)＝2k，
又圓過R(0,1)，故1＋E＋F＝0.∴E＝－2k－1.
故所求圓的方程為x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，
圓心坐標(biāo)為.
∵圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為1，
∴kCP＝－1＝，∴k＝－3.
∴D＝1，E＝5，F(xiàn)＝－6.
∴所求圓C的方程為x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
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